Zusatzparameter der Distanz

4.5.2.1 Abweichungen der Distanzmessung und Ursachen

Zur Herleitung möglicher Zusatzparameter zur Korrektur der Distanzmessung ΔD muss zwischen Geräten mit Distanzmessung nach dem Impulslaufzeit- und dem Phasenvergleichsverfahren unterschieden werden. Für alle elektrooptischen Distanzmessgeräte (EDM) wird von folgender Korrekturformel der gemessenen Schräg-distanz ausgegangen:

(4.57) Die einzelnen Korrekturterme werden in der Geodäsie als Korrektionen bzw. Reduktionen bezeichnet und sind entweder auf Fehler bzw. Abweichungen des Messinstruments oder auf atmosphärische bzw. geometri-sche Ursachen zurückzuführen [Joeckel & Stober 1999; Möser et. al., 2000; Deumlich & Staiger, 2002]:

kf . . . Frequenzkorrektion (Maßstabskorrektion) kz . . . Zyklische Korrektion

k0 . . . Nullpunktkorrektion

kn . . . Erste Geschwindigkeitskorrektion kΔn . . . Zweite Geschwindigkeitskorrektion r . . . Geometrische Reduktionen

• Frequenzkorrektion

Abweichungen der Modulationsfrequenz beim Phasenvergleichsverfahren bewirken eine Maßstabsabwei-chung der Distanzmessung. Eine Ursache dafür ist in der Alterung und Temperatur- bzw. Spannungsabhän-gigkeit des Quarzes, der zur Stabilisierung der Modulationsfrequenz eingesetzt wird bzw. für die Laufzeit-messung beim Laufzeitverfahren verantwortlich ist, zu suchen. Die sich daraus ergebende Frequenzkorrek-tion wird angegeben durch folgende Gleichung, wobei f0 die Sollfrequenz, f die tatsächliche Frequenz und Da die durch das Messinstrument gemessene Distanz ist:

(4.58)

Diese Korrektion wird beispielsweise für Präzisionsmessungen in der Ingenieurgeodäsie an die mit Tachy-metern gemessenen Strecken angebracht. Dazu wird entweder die Istfrequenz direkt gemessen oder aus ei-ner Vergleichsstreckenmessung abgeleitet. In der Praxis sind in den Messgeräten meist Korrekturwerte ge-speichert, die in Abhängigkeit von der im Gerät gemessenen Temperatur und Spannung an die Messwerte angebracht werden.

D=k_fk_zk₀k_nk_nr

kf=Da

f0−f f₀

• Zyklische Korrektion

Zyklische Abweichungen treten hauptsächlich bei der Distanzmessung nach dem Phasenvergleichsverfah-ren auf und entstehen durch Überlagerung hochfrequenter Anteile des gesendeten und empfangenen Signals sowie durch Reflexionen des Signals im Messgerät. Die dadurch hervorgerufenen Abweichungen erzeugen eine sinusförmige Variation der Distanzabweichung mit der Periode der Modulationsfrequenz, die zur Be-stimmung der Phasendifferenz verwendet wird:

(4.59) Diese Gleichung beschreibt die Korrektur der Distanz in Abhängigkeit von der Distanz und der Periode der Modulationsfrequenz U = λ/2. Die im Rahmen einer Kalibrierung zu ermittelnden Größen sind die Amplitu-de A Amplitu-des zyklischen Phasenfehlers und die Phasenverschiebung φ0. Die Kalibrierung dieses Fehlers bei Ta-chymetern erfolgt auf einer Messbahn mit zahlreichen sehr genau bekannten Messpunkten in unterschiedli-cher Entfernung. Neben dem Fehler mit der Periode U können auch Fehler höherer Ordnung (U/2, U/3) modelliert werden. Bei deutlich ausgeprägten Fehlerkurven kann unter Umständen auch die Periode U mit-bestimmt werden. Die Amplitude A kann mit der Entfernung variieren [Deumlich & Staiger, 2002]. Bei gut justierten Messinstrumenten ist die Amplitude der Funktion kleiner als 3 mm [Witte & Schmidt, 2000].

Eine Abweichung dieser Größenordnung sollte bei terrestrischen Laserscannern bereits Berücksichtigung finden. Auch wenn die Einzelpunktgenauigkeit meist geringer ist, können aus Punktwolken terrestrischer Laserscanner abgeleitete Objekte (z.B. Ebenen) von diesem Fehler beeinflusst werden.

• Nullpunktkorrektion

Die Abweichung des elektronischen und mechanischen Nullpunktes der Distanzmessung wird durch eine Nullpunktkorrektion kompensiert, die sowohl bei Geräten mit Distanzmessung nach dem Phasenvergleichs- als auch dem Impulslaufzeitverfahren auftreten kann. In praktischen Untersuchungen wurde gezeigt, dass die Nullpunktkorrektion keine konstante Größe ist, sondern aufgrund von Phaseninhomogenitäten und an-deren Effekten auch einen linearen bzw. polynomischen Verlauf haben kann [Witte & Schmidt, 2000]. Des-halb wird die Nullpunktkorrektion in einen konstanten, linearen und quadratischen Anteil aufgeteilt, wes-halb auch die Bezeichnung 'Additionskonstante' nicht zutreffend ist:

(4.60) Je kürzer die Strecke ist, desto stärker wirkt sich eine falsche bzw. nicht berücksichtigte Nullpunktkorrekti-on auf die relative Genauigkeit aus [Möser et. al., 2000]. Bestimmt wird diese Abweichung bei Tachyme-tern auf Eichstrecken mittels Soll-Ist-Vergleich (Distanzmessung in allen Kombinationen). Die Nullpunkt-korrektion ist nicht allein vom Messinstrument abhängig, sondern wird auch von den Materialeigenschaften und der Geometrie des reflektierenden Objektes beeinflusst.

• Geschwindigkeitskorrektionen

In die Bestimmung der Distanz beim Phasenvergleichs- und Impulslaufzeitverfahren geht die Ausbreitungs-geschwindigkeit des Messsignals ein, die ihrerseits von dem Brechungsindex des durchlaufenen Mediums abhängt. Der Brechungsindex ist nicht konstant, sondern kann als Funktion der atmosphärischen Parameter Temperatur, Luftdruck und Luftfeuchtigkeit dargestellt werden (z.B. durch die empirisch ermittelte Formel von BARREL und SEARS). Ausgehend von einer Normatmosphäre mit dem Brechungsindex n0 und dem aus den gemessenen atmosphärischen Größen ermittelten tatsächlichen Brechungsindex n kann die Abweichung der Distanzmessung (erste Geschwindigkeitskorrektion kn) wie folgt berechnet werden:

(4.61)

In der Praxis werden die atmosphärischen Parameter meist nur am Gerätestandpunkt durch Sensoren im Messinstrument erfasst. Dies führt nur bei extrem großen Unterschieden dieser Parameter entlang des

Si-kz=AsinDa−₀2

U 

k₀=k_0,ak_0,bD_ak_0,cD_a²

kn=Da

n0−n n₀

4.5 Terrestrischer Laserscanner

gnalweges zu signifikanten Abweichungen. Bei terrestrischen Laserscannern ist die erste Geschwindigkeits-korrektion unter normalen Messbedingungen meist zu vernachlässigen, weil die Abweichungen einer 100 m langen Strecke kleiner als 1 mm sind. Allerdings kann bei der Nutzung von terrestrischen Laserscannern in Umgebungen mit großen Temperaturgradienten, beispielsweise in Dachstühlen oder Industriehallen, die Berücksichtigung dieser Korrektion notwendig sein [Kern, 2003]. Die zweite Geschwindigkeitskorrektion ist nur bei sehr großen Distanzen (> 30 km) anzubringen und ist für terrestrische Laserscanner nicht rele-vant.

• Phaseninhomogenität

Der Laserstrahl eines elektrooptischen Distanzmessers hat beim Verlassen des Messgerätes bereits einen bestimmten Durchmesser, der bei terrestrischen Laserscannern mehrere Millimetern betragen kann und sich mit zunehmender Entfernung vergrößert (Strahldivergenz). Die Phasenlage innerhalb eines Querschnittes durch den Strahl in einer bestimmten Entfernung ist nicht konstant, sondern kann im Millimeterbereich va-riieren. Je nach dem, welcher Bereich des Laserstrahls für die Distanzmessung genutzt wird, wird ein ande-rer Wert ermittelt. Dieser Effekt ist als Ursache für andere Distanzabweichungen (Nullpunktkorrektion, Ab-hängigkeit von der Zielpunktgeometrie) zu berücksichtigen. Zu beachten ist zusätzlich, dass die Phasenin-homogenität bei reflektorloser Messung kaum von Effekten, die durch die Objektoberfläche hervorgerufen werden, zu trennen ist.

• Geometrische Reduktionen

Geometrische Reduktionen werden bei geodätischen Messungen durchgeführt, um die auf der Erdoberflä-che gemessene gekrümmte Bahnkurve auf den Bogen im Niveau des sphärisErdoberflä-chen Bezugshorizonts zu trans-formieren. Die Krümmungsreduktion ist erst ab Distanzen >10 km notwendig und damit bei der Anwen-dung terrestrischer Laserscanner zu vernachlässigen. Die Neigungs- und Höhenreduktion dient der Umrech-nung der Raumsehne auf die Sehne im Niveau des Bezugshorizonts und ist nur dann anzubringen, wenn Di-stanzen im Bezugshorizont eines globalen Koordinatensystems beschrieben werden müssen. Bei terrestri-schen Laserscannern ist diese Reduktion in der Regel nicht relevant, weil Laserscanner selten im überordneten Koordinatensystem horizontiert werden und meist nur die Schrägstrecken für die Auswertung ge-nutzt werden.

4.5.2.2 Physikalische Zusatzparameter der Distanz

Das Ziel ist es nun, aus den im vorangegangen Kapitel beschriebenen Abweichungen der gemessenen von der wahren Distanz Korrekturterme zu entwickeln, die analog zur Vorgehensweise in der Photogrammetrie systematische Fehler des geometrischen Modells kompensieren und damit zur Kalibrierung des Messgerätes geeignet sind. Das Korrekturmodell soll später in einen räumlichen Rückwärtsschnitt bzw. in eine Bündel-blockausgleichung mit Selbstkalibrierung implementiert werden können.

Dazu müssen die beschriebenen Abweichungen so zusammengefasst werden, dass die verwendeten Zu-satzparameter möglichst wenig korreliert sind. Beispielsweise bewirken die Abweichungen aufgrund der Fre-quenzkorrektion, der ersten Geschwindigkeitskorrektion und dem linearen Anteil der Nullpunktkorrektion je-weils einen linear von der Distanz abhängigen systematischen Fehler. Diese werden deshalb in einem Zusatz-parameter a1 zusammengefasst. Wird ein Wert für a1 im Rahmen der Ausgleichung geschätzt, kann dieser al-lerdings nicht auf eine eindeutige Ursache zurückgeführt werden. Das gelingt nur, wenn die Messwerte (Di-stanzbeobachtungen) bereits vor der Ausgleichung um bekannte Fehleranteile korrigiert werden. So lässt sich der lineare Anteil der Nullpunktkorrektion beispielsweise nur bestimmen, wenn die Beobachtungen um die bekannte Geschwindigkeits- und Frequenzkorrektion, die vorab in einem separaten Kalibrierverfahren (z.B.

Laborkalibrierung) bestimmt wurden, berichtigt werden.

Das abgeleitete Korrekturmodell für das geometrischen Modell lautet:

(4.62)

D=a0a1Da2D²a3e^−a4Dsin





Die Distanz D entspricht hier dem Grundmodell ohne Korrekturterm ΔD (vgl. Gleichung 4.54). Das Kor-rekturmodell besteht aus den folgenden Komponenten, wobei die jeweiligen Ursachen (Kapitel 4.5.2.1) in Klammern stehen. Abbildung 4.21 stellt das Korrekturmodell schematisch dar.

• Konstanter Additionsterm a0 (konstanter Anteil der Nullpunktkorrektion)

• Maßstab a1 (Frequenzkorrektion, Geschwindigkeitskorrektion, linearer Anteil der Nullpunktkorr.)

• Quadratischer Korrekturparameter a2 (quadratischer Anteil der Nullpunktkorrektion)

• Amplitude a3, Periode a5 und Phase a6 der zyklischen Abweichung (zyklische Korrektion)

• Dämpfungsparameter a4 der zyklischen Abweichung (zyklische Korrektion)

Das vorgeschlagene Korrekturmodell gilt sowohl für Tachymeter als auch für terrestrische Laserscanner und enthält alle Parameter, die sich aus dem physikalischen Messprinzip ableiten lassen – unabhängig davon, ob die Abweichungen bei dem jeweiligen Messgerät tatsächlich vorhanden sind und ob sie überhaupt in der Ausgleichung signifikant geschätzt werden können bzw. als feste Parameter eingehen müssen. Die Anzahl der Parameter kann abhängig vom Distanzmessverfahren und von der Genauigkeit und Reichweite des Messgerä-tes reduziert werden. Beispielsweise ist davon auszugehen, dass die quadratische Abweichung der Nullpunkt-korrektion a2 nur selten signifikant bestimmt werden kann [Witte & Schmidt, 2000] und die Periode des zy-klischen Phasenfehlers a6 nicht geschätzt werden kann, sondern als fester Wert (z.B. als ganzzahliger Bruch-teil der Modulationswellenlänge) festgesetzt werden muss.

In [Lichti & Licht, 2006] wird für die zyklischen Abweichungen über das hier beschriebene Korrekturmo-dell hinaus vorgeschlagen, zwei sich überlagernde Schwingungen mit fester, von der Modulationsfrequenz abhängiger Periode zu modellieren. Dabei wird anstelle der Amplituden-Phasen-Notation einer Fourierreihe die allgemeine Form der Fourierreihe verwendet, bei der eine Schwingung durch die Summe aus einer Sinus- und Kosinusfunktion dargestellt wird. Statt der Amplitude p1 und der Phasenlage p2 werden dann die Ampli-tuden q1 und q2 der Sinus- und Kosinusfunktion geschätzt:

(4.63) Aufgrund der in [Deumlich & Staiger, 2002] getroffenen Aussage, dass die Amplitude des zyklischen Phasenfehlers variieren kann, wird im Korrekturmodell (Gleichung 4.62) unter Annahme einer gedämpften

Abbildung 4.21: Schematische Darstellung möglicher Modellabweichungen der Distanzmessung terrestrischer Laserscanner

p1sint−p2 ≙q1sintq2cost

4.5 Terrestrischer Laserscanner

Schwingung ein Dämpfungsparameter a4 verwendet, dessen Signifikanz jedoch in Frage steht. [Rietdorf, 2005] und [Klein, 2005] beschränken sich in ihren Distanzkorrekturmodellen auf eine Additionskonstante (entspricht a0) und einen Maßstabsparameter (entspricht a1).

Bei der Parametrisierung ist zusätzlich zu beachten, dass die Abweichungen nicht ausschließlich durch das Messinstrument hervorgerufen werden, sondern dass diese sich mit äußeren Fehlereinflüssen überlagern. So wird beispielsweise der Additionsterm a0 durch die Zielpunktgeometrie und die Beschaffenheit des reflektie-renden Materials, sowie der Maßstab a1 durch atmosphärische Bedingungen beeinflusst. Eine Unterscheidung zwischen konstanten Instrumentenfehlern und wechselnden äußeren Einflussfaktoren ist nur durch zahlreiche Vergleichsmessungen unter wechselnden Bedingungen (Temperatur, Material der Zielpunkte) möglich.

Im Modellansatz lassen sich Parameter, die hauptsächlich durch konstante Einflüsse des Messinstrumentes begründet sind, von Parametern, die stark durch wechselnde äußere Einflüsse verursacht werden, unterschei-den, indem sie entweder als 'aufnahme-variant' oder 'aufnahme-invariant' definiert werden. Das bedeutet, dass bei einer Ausgleichung der Beobachtungen mehrerer Instrumentenaufstellungen der jeweilige Parameter ent-weder für jeden Standpunkt individuell geschätzt oder für alle Aufstellungen ein gemeinsamer Parameterwert bestimmt wird.

Eine wichtige Voraussetzung dafür, dass die zusätzlichen Parameter zur Kompensation von Distanzabwei-chungen überhaupt signifikant bestimmt werden können, ist, dass sich die verwendeten Punkte über den ge-samten Entfernungsbereich des verwendeten Streckenmessgerätes erstrecken. Dies lässt sich durch zahlreiche Objektpunkte in unterschiedlicher Entfernung sowie zusätzlich durch Beobachtungen von mehreren Stand-punkten realisieren. Werden Parameter durch Messungen in Testumgebungen mit einer bestimmten Objekt-ausdehnung signifikant ermittelt, können sie streng genommen auch nur für diesen Distanzbereich als gültig angesehen werden.

4.5.2.3 Empirische und weitere Zusatzparameter der Distanz

Zusätzlich zu den im vorangegangen Kapitel vorgeschlagenen Korrekturmodell für die Distanzmessung, werden in der Literatur noch weitere Parametrisierungen vorgeschlagen. Beispielsweise wird in [Lichti, 2007]

die Untersuchung und geometrische Modellierung des terrestrischen Laserscanners FARO 880 erörtert, der nach dem Phasenvergleichsverfahren mit Amplitudenmodulation arbeitet. Bei der Analyse der Entfernungsre-siduen wurden systematische Effekte gefunden, die sich nicht eindeutig physikalisch erklären lassen, es wer-den lediglich Vermutungen aufgestellt. Deshalb wird in Gleichung (4.62) zum einen ein Parameter zur Kom-pensation eines sinusförmigen Distanzfehlers in Abhängigkeit vom Vertikalwinkel eingeführt (a7) und zum anderen zwei Parameter (a8 und a9) zur Korrektur eines sinusförmigen Distanzfehlers als Funktion des Hori-zontalwinkels mit einer Periode von π/2:

(4.64) [Lichti, 2007] vermutet, dass a7 auf einen vertikalen Offset zwischen dem Laserstrahl und der Kippachse zurückzuführen ist. Der Fehler ist Null bei horizontaler Zielung und erreicht im Zenit des Instrumentes sein Maximum. Diese Begründung konnte durch Simulationen bestätigt werden, dennoch wird dieser Parameter als empirischer Parameter bezeichnet.

Bei terrestrischen Laserscannern ist es unter Umständen sinnvoll, Abhängigkeiten von der Zielgeometrie im geometrischen Modellansatz zu berücksichtigen. Dies wird möglich, wenn die Zielgeometrie aus der Ana-lyse der Punktwolke bestimmt werden kann. Beispielsweise lässt sich in vielen Fällen der Auftreffwinkel des Laserstrahls auf die Objektoberfläche aus der Betrachtung der benachbarten Laserscannerpunkte ableiten. In [Teschke, 2004] wird festgestellt, dass die mit dem terrestrischen Laserscanner Riegl LMS-Z420i über das Impulslaufzeitverfahren ermittelte Distanz vom Auftreffwinkel τ abhängig ist. Die Ursache dafür ist in Pha-seninhomogenitäten des Laserstrahls zu suchen. Diese Problematik kann durch folgende Modellerweiterung Berücksichtigung finden:

(4.65)

D=. .. a₇sin a₈sin4 a₉cos4

D=. . .a10cos

Trifft der Laserstrahl senkrecht auf die Oberfläche (τ = 90°) ist die Abweichung Null, trifft der Laserstrahl jedoch unter einem anderen Winkel auf die Oberfläche muss gegebenenfalls ein Korrekturwert an die Distanz angebracht werden. Der Winkel, bei dem die Abweichung theoretisch ihr Maximum erreichen würde (τ = 0°), ist praktisch nicht möglich.