Varianzkomponentenschätzung

eingestellte Winkelauflösung möglich ist, ähnlich wie bei der Subpixel-Koordinatenmessung in digitalen Bil-dern. Der Vergleich der ermittelten Distanzen mit Soll-Strecken zeigt allerdings deutlich größere Abweichun-gen, insbesondere bei der Vertikalwinkelmessung wird die Abweichung zur Soll-Distanz umso größer, je stei-ler die Visur ist. Dies deutet auf einen systematischen Fehstei-lereinfluss hin, der durch Zusatzparameter im geo-metrischen Modell (z.B. Parameter der vertikalen Teilkreisexzentrizität cT1) kompensiert werden kann (vgl.

Kapitel 4.5.3).

Mit den angeführten Herstellerangaben bezüglich der Winkelmessung und den durchgeführten Tests zur Winkelmessgenauigkeit wird die Schwierigkeit deutlich, eine a-priori Standardabweichung abzuschätzen. In der Praxis ist es empfehlenswert, von der verwendeten Winkelauflösung auszugehen und je nach Signalisie-rung und Messmethode eine geringere (z.B. 1/3 der Scanauflösung bei intensitäts-gewichteter Schwerpunkt-bestimmung) oder höhere Standardabweichung (z.B. 2-fache Scanauflösung bei manueller Messung im Inten-sitätsbild) anzusetzen. Die Einheit der Winkelbeobachtungen und deren Standardabweichungen ist entweder Radiant oder Grad bzw. Gon, ggf. muss im stochastischen Modell der Umrechnungsfaktor ρ berücksichtigt werden (Gleichung 7.13).

7.2.5.2 Näherungswerte für die Varianzkomponentenschätzung

[Sieg & Hirsch, 2000a] schlägt für die Messung mit Tachymetern das folgende stochastische Modell (ana-log zu Gleichung 7.11) für die Varianzkomponentenschätzung vor, bei dem sich der konstante und der entfer-nungsabhängige Fehleranteil im Gegensatz zu Gleichung 7.13 auf die Varianzen anstatt auf die Standardab-weichungen beziehen:

(7.14) Damit lässt sich die Submatrix für die Horizontalwinkelmessung Σαα (und in gleicher Weise für die Verti-kalwinkelmessung Σββ) wie folgt in zwei Teilmatrizen unterteilen:

(7.15)

Die Trennung in einen konstanten und entfernungsabhängigen Anteil ist für die Winkelmessung terrestri-scher Laserscanner nicht unbedingt sinnvoll, kann allerdings innerhalb eines adaptiven Ansatzes für die Vari-anzkomponentenschätzung getestet werden, wenn genügend unterschiedliche Distanzen zur Verfügung ste-hen.

In jedem Fall sollte die Varianzkomponentenschätzung die Aufspaltung der horizontalen und vertikalen Beobachtungen in unterschiedliche Beobachtungsgruppen erlauben, für die dann jeweils eine individuelle Standardabweichung bzw. ein Beobachtungsgewicht geschätzt wird. Die weitere Aufspaltung entsprechend Gleichung (7.15) kann optional, zumindest zu Testzwecken, vorgenommen werden. Ein alternativer Ansatz wie bei den Distanzbeobachtungen entsprechend Gleichung (7.12) ist ebenfalls möglich.

7.3 Varianzkomponentenschätzung

tungen nicht ausschöpfen. Deshalb müssen Gewichte entsprechend der tatsächlichen Genauigkeitsverhältnisse der einzelnen Beobachtungstypen festgelegt werden (Kapitel 7.2). Das Problem dabei ist, dass diese a-priori Genauigkeiten meist nur unzureichend bekannt sind und außerdem sehr stark von den aktuellen Messbedin-gungen und nicht quantifizierbaren Faktoren abhängen, wodurch meist auch die Festlegung fester Gewichte nicht zu optimalen Ausgleichungsergebnissen führt [Welsch, 1984].

Eine Lösung bietet hier das Verfahren der Varianzkomponentenschätzung, bei der anstelle der a-posteriori Standardabweichung der Gewichtseinheit als einzige globale Größe des stochastischen Modells bei gewöhnli-chen Ausgleichungsansätzen, mehrere Varianzkomponenten geschätzt werden. Jeder Gruppe von gleichge-nauen Beobachtungen kann dabei eine Varianzkomponente zugeordnet werden, deren Wert ermittelt wird.

Erst dadurch wird der Informationsgehalt – insbesondere bei stark heterogenen Beobachtungsmaterial – voll-ständig genutzt, was zu optimalen Ausgleichungsergebnissen führt. Dies gilt vor allem auch für die Kombina-tion terrestrischer Laserscannerdaten und photogrammetrischer Bilddaten, deren Potenzial in einer gemeinsa-men Ausgleichung, welches aus der Komplegemeinsa-mentarität ihrer Eigenschaften hervorgeht, erst durch die Integra-tion der Varianzkomponentenschätzung in die Bündelblockausgleichung ausgereizt werden kann.

Um die zusätzlichen Parameter eines erweiterten stochastischen Modells durch eine Varianzkomponenten-schätzung zu ermitteln, wird vorausgesetzt, dass genügend redundante Informationen vorliegen. Dies sollte bei den meisten photogrammetrischen und geodätischen Netzen der Fall sein.

Die Aufteilung in unterschiedliche Beobachtungsgruppen mit einer individuell zu schätzenden Varianz-komponente kann insbesondere sinnvoll sein, bei der gemeinsamen Ausgleichung von:

• Beobachtungen unterschiedlichen Typs (z.B. Distanzen, Winkel, Bildkoordinaten)

• Beobachtungen mit unterschiedlichen zugrunde liegenden geometrischen Modellen,

• Beobachtungen des gleichen Typs, aber unterschiedlicher Genauigkeit der Messgeräte (z.B. bei Kameras mit unterschiedlicher Auflösung),

• Beobachtungen unterschiedlicher Messgeräte des gleichen Typs,

• Beobachtungen unterschiedlicher Objektpunkte (natürliche, signalisierte Punkte) oder

• unterschiedlichen Beobachtungen eines Messgerätes, mit individueller Charakteristik (z.B. Aufteilung der Horizontal- und Vertikalwinkelmessung oder Trennung der x'- und y'-Koordinaten bei Rotationszeilenkameras).

Entsprechend den Ausführungen in Kapitel 7.2 können die Varianzen bestimmter Beobachtungstypen auf verschiedene Fehleranteile zurückzuführen sein. In diesem Fall ist die Schätzung eines erweiterten stochasti-schen Modells mit adaptiven Varianzkomponenten möglich. Dabei werden die Kovarianzmatrizen eines Be-obachtungstyps in weitere Teilmatrizen aufgeteilt, z.B. bei der getrennten Schätzung einer konstanten und entfernungsabhängigen Varianzkomponente der Distanzmessung (Kapitel 7.2.4.2) oder der Winkelmessung (Kapitel 7.2.5.2).

Für die Schätzung der Varianzkomponenten werden Näherungswerte benötigt. Deshalb sollte für jede Be-obachtungsgruppe vorab entsprechend Kapitel 7.2 eine a-priori Standardabweichung bestimmt werden, die dann allerdings nicht unmittelbar zur Berechnung eines Beobachtungsgewichtes herangezogen wird, sondern nur als Startwert für die Varianzkomponentenschätzung dient. Aus den geschätzten Varianzkomponenten wird dann eine Gewichtsmatrix abgeleitet, die in der Ausgleichungsberechnung verwendet wird.

Die aus den geschätzten Varianzkomponenten abgeleiteten Standardabweichungen entsprechen bei einer konvergierenden Varianzkomponentenschätzung (per Definition) den a-posteriori Standardabweichungen der ursprünglichen Beobachtungen nach der Ausgleichungsberechnung. Diese lassen eine realistische Beurteilung der Genauigkeit der Beobachtungen zu. Dadurch ist beispielsweise ein Genauigkeitsvergleich unterschiedli-cher Messgeräte möglich oder die Untersuchung der Abhängigkeit der Genauigkeit einzelner Beobachtungen von bestimmten Faktoren. Ohne Varianzkomponentenschätzung wäre das Verhältnis zwischen den

a-posterio-ri Standardabweichungen und den empia-posterio-risch festgelegten a-pa-posterio-rioa-posterio-ri Standardabweichungen immer gleich, was deren Aussagekraft erheblich einschränken würde.

Für die qualitative Beurteilung des stochastischen Modells ist es auch möglich, Genauigkeitsmaße für die Varianzkomponenten mitzuschätzen. Damit lässt sich die Signifikanz der einzelnen Varianzkomponenten der Beobachtungsgruppen überprüfen. Dies ist bei der Analyse bestimmter Fehleranteile in einem erweiterten sto-chastischen Modell mit adaptiven Varianzkomponenten sinnvoll, beispielsweise bei der Untersuchung der Frage, ob die Genauigkeit der Distanzmessung von der Distanz abhängig ist, also ob ein entfernungsabhängi-ger Fehleranteil existiert.

Für die theoretische Herleitung der Varianzkomponentenschätzung sei auf die entsprechende Literatur verwiesen. Erste Ansätze werden in [Kubik, 1967; Ebner, 1972] beschrieben. Diese wurden durch [Grafa-rend, 1978] aufgegriffen und weiter spezifiziert und in [Förstner, 1979; Oswald, 1992] optimiert. Eine detail-lierte Herleitung ist darüber hinaus z.B. in [Welsch, 1984] und [Koch, 2004] zu finden. Die praktische An-wendung der Varianzkomponentenschätzung findet man in zahlreichen Veröffentlichungen, z.B. in [Sieg &

Hirsch, 2000b] bei der Anwendung in ingenieurgeodätischen Netzen, in [Klein, 2001] für die Feldprüfung geodätischer Instrumente und in [Rietdorf, 2005] bei der Untersuchung eines terrestrischen Laserscanners.

Die Berücksichtigung einer Varianzkomponentenschätzung in einer photogrammetrischen Bündelblockaus-gleichung, namentlich dem Programmpaket BINGO, wird in [Kruck, 1983] beschrieben.

7.3.1 Modell der Varianzkomponentenschätzung

In diesem Kapitel soll das Modell der Varianzkomponentenschätzung (VKS) vorgestellt werden, insbe-sondere soll auf das Prinzip und das Berechnungsschema näher eingegangen werden. Es ist theoretisch mög-lich, neben den Varianzkomponenten auch Kovarianzkomponenten zu schätzen, um daraus Korrelationen zwischen den Beobachtungen ableiten zu können. Nach [Sieg & Hirsch, 2000] ist das Schätzen von Kovari-anzen in der Praxis allerdings nicht sinnvoll, zum einen, weil die Struktur der Kovarianzmatrix zu großen Tei-len bereits a-priori bekannt sein müsste, was oft nicht der Fall ist, und zum anderen, weil sehr viele Messwerte benötigt werden. Deshalb wird im Folgenden nur die Schätzung von Varianzkomponenten erläutert.

Ziel der Varianzkomponentenschätzung ist es, Werte für die Varianzkomponenten^i

2 der einzelnen in Kapitel 7.2 vorgestellten Teilmatrizen^i izu bestimmen. Der Index i steht dabei jeweils für eine Gruppe gleichgenauer Beobachtungen bzw. im erweiterten stochastischen Modell auch für jeweils einen bestimmten Fehleranteil einer Beobachtungsgruppe. Beispielsweise kann sich

• i = 1 auf den konstanten Fehleranteil der Laserscanner-Distanzmessung (^1

2=²_{D, k}),

• i = 2 auf den entfernungsabhängigen Fehleranteil der Laserscanner-Distanzmessung (^2

2=²_{D , e}),

• i = 3 auf die Horizontalwinkelmessung des Laserscanners (^3 2=_² ),

• i = 4 auf die Vertikalwinkelmessung des Laserscanners (^4 2=_²),

• i = 5 auf die horizontalen und Bildkoordinaten in einem Panoramabild (^5 2=²_{x '}),

• i = 6 auf die vertikalen Bildkoordinaten in einem Panoramabild (^6

2=²_{y '}) und

• i = 7 auf die horizontalen und vertikalen Bildkoordinaten in einem zentralperspektiven Bild (^7

2=²_{x ' , y'})

beziehen. Die Liste kann je nach beteiligten Aufnahmegeräten und entsprechenden Fehleranteilen beliebig erweitert werden, u.a. für die gleichzeitige Nutzung mehrerer (zentralperspektiver) Kameras mit unterschied-licher Genauigkeit. Allerdings erfordert das Schätzen sehr vieler Varianzkomponenten eine hohe Anzahl von Beobachtungen in jeder Beobachtungsgruppe.

Die einzelnen Teilmatrizen^i i(vgl. Gleichung 7.1) werden so zu einer Matrix Vi erweitert, dass ihre Di-mension der Anzahl aller Beobachtungen entspricht, wobei die Hauptdiagonalelemente der zugehörigen

7.3 Varianzkomponentenschätzung

obachtungen einen Wert entsprechend ihrem stochastischen Modell (z.B. Eins) erhalten und die der anderen Beobachtungsgruppen Null gesetzt werden (Gleichung 7.16):

(7.16)

Alle Matrizen Vi haben damit die gleiche Dimension und die Summe aller Matrizen Vi entspricht dann der Kovarianzmatrix der Beobachtungen (Gleichung 7.17). Werden für die einzelnen Varianzkomponenten^i

2

Näherungswerte als Startwerte für die Varianzkomponentenschätzung eingesetzt, so ergibt sich die genäherte Kovarianzmatrix der Beobachtungen:

(7.17)

Die Varianzkomponentenschätzung wird iterativ durchgeführt (Gleichung 7.18). In der 1. Iteration dienen

_i²₁als Näherungswerte für die Schätzungen^{ }i

2₁.Tatsächlich werden allerdings nur die Faktoren^{ }i 2₁ ge-schätzt, mit denen die ursprünglichen Näherungswerte multipliziert werden. Diese Produkte sind dann die Schätzungen^{ }i

2₁der Varianzkomponenten und gehen als neue Näherungswerte^i

2₂in die 2. Iteration ein.

Für den Fall, dass die Berechnung konvergiert, wird dieser Vorgang so lange wiederholt, bis die geschätzten Faktoren^i

2den Wert Eins hinreichend genau erreichen. Der Wert Eins bedeutet, dass die Schätzungen der Varianzkomponenten den Näherungswerten vor der letzten Iteration entsprechen. Es findet keine Änderung mehr statt. Das Ergebnis sind dann die Varianzkomponenten der iterierten Schätzung ^i

2.

(7.18)

Fasst man diese iterative Berechnung in einer einzigen Gleichung zusammen, ergeben sich die Varianz-komponenten ^i

2der iterierten Schätzung durch das Produkt aller Faktoren ^i

2der einzelnen Iterationen mul-tipliziert mit dem ursprünglichen Näherungswert^i

2₁(Gleichung 7.19). Durch die iterative Vorgehensweise bei der Schätzung der Varianzkomponenten können die Varianzen unabhängig von den gewählten Nähe-rungswerten bestimmt werden.

(7.19)

Anders als in der Literatur (z.B. [Koch, 1997]) werden die^i

2in dieser Arbeit nicht als Varianzkomponen-ten, sondern als Faktoren interpretiert, mit denen die Varianzkomponenten^i

2schrittweise zu multiplizieren sind. Diese Interpretation wird vom Autor als konsistenter und damit als besser nachvollziehbar bewertet und äußert sich in der Beschreibung des Berechnungsschemas praktisch in einem Vertauschen der Variablen σ und α.

V_i=

[

^{ii 0}

]

^{= i2⋅}

[

^{1 ⋱ 1 0 ⋱ 0}

]

1. Iteration: _i²₁  VKS   _i²₁ 2. Iteration: _i²₂=  _i²₁=  _i²₁⋅_i²₁  VKS   _i²₂ 3. Iteration: _i²₃=  _i²₂=  _i²₂⋅_i²₂  VKS   _i²₃

⋮

n. Iteration: _i²_n=  _i²_n−1=  _i²_n−1⋅_i²_n−1  VKS   _i²_n

⋮

Abbruch nach N Iterationen:  _i²_N~1  _i²= _i²_N

_i²= _i²_N= _i²₁⋅

∏

n=1 N−1

 _i²_n

_LL=

∑

i=1 k

V_i

7.3.2 Berechnungsschema

Zuerst wird die symmetrische Matrix W aus der genäherten Kovarianzmatrix der Beobachtungen ΣLL und der Koeffizientenmatrix A, die das funktionale Modell mit den aktuell verfügbaren Parametern enthält, be-rechnet:

(7.20) Anschließend werden die Hilfsgrößen

(7.21)

und der Vektor

(7.22)

zur Verfügung gestellt. Die geschätzten Faktoren ^i

2errechnen sich aus den Hilfsgrößen S und q wie folgt:

(7.23) Die Matrizen Vi bzw. die Varianzkomponenten^i

2werden durch Multiplikation mit den geschätzten Fak-toren^i

2 aktualisiert und dienen als neue Näherungswerte für die nächste Iteration:

(7.24) Aus den neuen Matrizen Vi werden für die nächste Iteration wieder eine genäherte Kovarianzmatrix der Beobachtungen ΣLL (Gleichung 7.17) erstellt und die Berechnungsschritte (Gleichungen 7.20 bis 7.24) mit den aktualisierten Werten wiederholt durchgeführt. Die Konvergenz ist erreicht, wenn die Elemente des Vek-tors ^sich ausreichend dem Wert Eins angenähert haben (nach n = N Iterationen). Dafür wird in der Regel ein Abbruchkriterium eingeführt, wie zum Beispiel:

(7.25) Die Varianzkomponenten der iterierten Schätzung _i²sind dann die gesuchten Ergebnisse, die für die Fest-legung der Gewichtsmatrix P entsprechend Gleichung (7.3) genutzt werden können. Für die a-priori Varianz der Gewichtseinheit^0

2kann dann ein beliebiger Wert (üblicherweise Eins) vorgegeben werden, der per Defi-nition dem Schätzwert der Varianz der Gewichtseinheit nach der Ausgleichungs^₀²entsprechen muss. Ist dies der Fall, wurde die Varianzkomponentenschätzung richtig durchgeführt, d.h. es wurden Beobachtungsge-wichte in die Ausgleichung eingeführt, die weder zu optimistisch noch zu pessimistisch sind.

Es ist auch möglich, für die einzelnen Varianzkomponenten _i²deren Varianzen V bzw. deren Standardab-weichungenV als Genauigkeitsmaß mitzuschätzen. Die Varianzen der Varianzkomponenten ergeben sich nach [Koch, 1997] aus den Diagonalelementen der invertierten Matrix S und können zur Beurteilung des ver-wendeten stochastischen Modells herangezogen werden:

(7.26) W = _LL⁻¹− _LL⁻¹A⋅



^ATLL

−1A



^⋅ATLL

−1

S=

[

^{spW V}symmetrisch^{1W V1 spspW VW V12W VW V22 ⋯ ⋯⋱ spW VspW V}spW V^⋮12k^{W VW V}W V^kkk^

]

q=

[

^{lllTTTW VW VW V⋮12kW lW lW l}

]

 =S⁻¹⋅q wobei  =

[

^1

2 ₂² ⋯ _k²

]

^T

V_i_n1=  _i²_n⋅V_i_n bzw. _i²_n1=  _i²_n⋅ _i²_n

1−10⁻⁴  _i²  110⁻⁴

V{ _i²} = V{ _i²_N_i²_N} = _i²_N²V{ _i²_N} mit V {_i²} =2s_ii und S⁻¹= s_{i j}

7.3 Varianzkomponentenschätzung

7.3.3 Alternative Schätzung für die ersten Iterationen

Die Schätzung nach Gleichung (7.23) kann bei ungünstig gewählten Näherungswerten für^i

2negative Werte annehmen [Koch, 1981]. Um das zu verhindern, wird durch [Förstner, 1979] eine alternative Schät-zung, insbesondere für die ersten Iterationen, vorgeschlagen:

(7.27)

Die Matrix H ist im Unterschied zu S nicht nur symmetrisch, sondern auch eine Diagonalmatrix:

(7.28)

Zur Berechnung des Vektors qH wird anstelle der Hilfsmatrix W die genäherte Kovarianzmatrix ΣLL verwen-det:

(7.29)

Im Falle der Konvergenz liefert diese Schätzung die gleichen Ergebnisse wie Gleichung (7.23). Jedoch er-geben sich hier auch bei ungünstigen Startwerten immer positive Werte. Außerdem ist der Rechenaufwand geringer, weil nur die Diagonalelemente der Matrix W genutzt werden müssen. Für diese Vorteile ist ein lang-sameres Konvergenzverhalten in Kauf zu nehmen. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, nur die erste(n) Iterati-on(en) mit Gleichung (7.27) zu berechnen und anschließend mit dem im vorangegangenen Kapitel beschrie-benen Berechnungsschema fortzufahren. Auf jeden Fall sollte zumindest die Berechnung der letzten Iteration mit Gleichung (7.23) erfolgen, weil aus der Matrix S auch Standardabweichungen für die geschätzten Vari-anzkomponenten abgeleitet werden können (Gleichung 7.26).

Im Dokument Geometrische und stochastische Modelle für die integrierte Auswertung terrestrischer Laserscannerdaten und photogrammetrischer Bilddaten (Seite 156-161)