In het volgende voorbeeld wordt getoond hoe u de afgeleide van een curve grafisch kunt weergeven en de waarde van de afgeleide automatisch kunt laten bijwerken wanneer u een punt van de tangens langs de curve beweegt. De curve die wordt verkend, is y = 3sin(x).
156 Meetkunde
Aangezien de nauwkeurigheid van onze berekening in dit voorbeeld niet erg belangrijk is, wijzigen we eerst de getalnotatie in Vast op 3 decimalen. Dit zorgt er ook voor dat de werkruimte voor meetkunde overzichtelijk blijft.
Voorbereiding 1. Druk op SH.
2. Stel in het scherm Startmodi de getalnotatie in op Vast en het aantal decimalen op 3.
De app openen en de grafiek plotten
3. Druk op I en selecteer Meetkunde.
Als er objecten worden weergegeven die u niet nodig hebt, drukt u op SJ en bevestigt u de actie door te tikken op .
4. Selecteer het type grafiek dat u wilt plotten. In dit voorbeeld plotten we een eenvoudig sinusoïde functie, dus kiest u:
> Plot > Functie
5. Op de invoerregel wordt plotfunc( weergegeven en voert u 3*sin(x) in:
3seASsE
Let op: x moet in de app Meetkunde in kleine letters worden ingevoerd.
Als uw grafiek niet overeenkomt met de afbeelding rechts, past u de waarden voor X Rng en YRng aan in de weergave
Plotontwerp (SP).
We voegen nu een punt
toe aan de curve dat wordt beperkt om altijd de contour van de curve te volgen.
Een beperkt
punt toevoegen 6. Tik op en selecteer Punt op.
Als u Punt op in plaats van Punt kiest, wordt het punt beperkt tot het object waarop het is geplaatst.
7. Tik op de grafiek, druk op E en druk vervolgens op J. Er wordt een punt toegevoegd aan de grafiek waaraan een naam wordt gegeven (B in dit voorbeeld). Tik op
een leeg gebied op het scherm om alles te deselecteren.
(Cyaan gekleurde objecten zijn geselecteerd.) Een tangens
toevoegen. 8. We voegen nu een tangens toe aan de curve, waarbij punt B het punt van de tangens wordt:
> Meer > Tangens
9. Tik op punt B, druk op E en druk vervolgens op J.
Er wordt een tangens getekend door punt B.
(Afhankelijk van de locatie van punt B kan uw afbeelding verschillen van de afbeelding rechts.) We zorgen nu dat de
tangens opvalt door deze een heldere kleur te geven.
10. Als de curve is geselecteerd, tikt u op een leeg gebied van het scherm om te deselecteren en tikt u vervolgens op de tangens om die te selecteren.
11. Druk op Z en selecteer Kleur wijzigen.
12. Kies een kleur uit de kleurkiezer, druk op E en tik vervolgens op een leeg gebied van het scherm. De tangens moet nu gekleurd worden weergegeven.
13. Druk op E om punt B te selecteren.
Als er maar één punt op het scherm is, wordt deze automatisch geselecteerd wanneer u op E drukt.
Als er meerdere punten zijn, wordt een menu weergegeven waarin u een punt kunt kiezen.
158 Meetkunde
14. Zorg dat punt B is geselecteerd en gebruik de cursortoetsen om het punt te verplaatsen.
Hoe u punt B ook verplaatst, het blijft beperkt tot de curve. Bovendien wordt door punt B te bewegen, ook de tangens verplaatst. (Als de tangens van het scherm beweegt, kunt u deze altijd terughalen door met uw vinger in de juiste richting over het scherm te slepen.) 15. Druk op E om punt B te deselecteren.
Er zijn twee manieren om een punt te verplaatsen nadat het is geselecteerd: (a) gebruik de cursortoetsen, zoals hierboven beschreven, of (b) gebruik uw vinger. Als u de cursortoetsen gebruikt, wordt door op J te drukken de verplaatsing geannuleerd en het punt teruggeplaatst op de oorspronkelijke locatie. Als u op E drukt, wordt de verplaatsing bevestigd en het punt gedeselecteerd. Als u het punt verplaatst met uw vinger, wordt door uw vinger op te tillen de verplaatsing bevestigd en het punt gedeselecteerd. In dit geval is er geen manier om de verplaatsing te annuleren, tenzij u sneltoetsen hebt geactiveerd, waarmee u een herstelfunctie kunt uitvoeren. (Sneltoetsen worden beschreven op pagina 168.)
Een afgeleid
punt maken De afgeleide van een grafiek op een willekeurig punt is de helling van de tangens op dat punt. We maken nu een nieuw punt dat is beperkt tot punt B en met een ordinaatwaarde die de afgeleide is van de grafiek op punt B. We beperken het punt door in te stellen dat de x-coördinaat (de abscis) altijd overeenkomt met die van punt B en dat de y-coördinaat (de ordinaat) altijd gelijk is aan de helling van de tangens op dat punt.
16. Als u een punt wilt definiëren op basis van de kenmerken van andere geometrische objecten, moet u naar de symbolische weergave gaan:
Y
Elk object dat u tot nu toe hebt gemaakt, wordt in de symbolische weergave weergegeven. De naam voor een object in de symbolische weergave is de naam die in de plotweergave is gegeven, voorafgegaan door 'G'. De grafiek A in de plotweergave heeft dus het label GA in de symbolische weergave.
17. Markeer GC en tik op .
Wanneer u objecten maakt die afhankelijk zijn van andere objecten, is hun volgorde in de symbolische weergave van belang. Objecten worden in de plotweergave getekend in de volgorde waarin ze in de symbolische weergave staan.
Aangezien we een nieuw punt maken dat afhankelijk is van de kenmerken van GB en GC, is het belangrijk dat we de definitie ervan na die van zowel GB als GC plaatsen.
Daarom zorgen we dat we onder aan de lijst met definities staan voordat we op tikken. Als onze nieuwe definitie hoger in de symbolische weergave wordt weergegeven, kan het punt dat we willen maken, niet in de plotweergave worden getekend.
18. Tik op en kies Punt > punt
U moet nu de x- en y-coördinaten van het nieuwe punt opgeven. Het eerste moet worden beperkt tot de abscis van punt B (GB in de symbolische weergave) en het laatste moet worden beperkt tot de helling van C (GC in de symbolische weergave).
19. Op de invoerregel staat point(). Voeg tussen de haakjes het volgende toe:
abscissa(GB),slope(GC)
U kunt de opdrachten handmatig invoeren of uit een van de twee werksetmenu's kiezen: App > Meten of Catlg. 20.Tik op .
De definitie van uw nieuwe punt wordt toegevoegd aan de symbolische weergave.
Wanneer u teruggaat naar de plotweergave, ziet u een punt met de
160 Meetkunde
21. Druk op P. Als u punt D niet ziet, moet u pannen totdat het in beeld komt. De y-coördinaat van D is de afgeleide van de curve op punt B.
Aangezien coördinaten
moeilijk van het scherm kunnen worden gelezen, voegen we een berekening toe die de exacte afgeleide geeft (tot drie decimalen) en die we in de plotweergave kunnen weergeven.
Enkele berekeningen toevoegen
22. Druk op M.
U kunt berekeningen invoeren in de numerieke weergave.
23. Tik op .
24.Tik op en kies Meten > helling
25.Voeg tussen haakjes de naam toe van de tangens (GC) en tik op .
De huidige helling wordt berekend en weergegeven.
Deze waarde is dynamisch: wanneer de helling van de tangens wijzigt in de plotweergave, wordt de waarde van de helling automatisch bijgewerkt in de numerieke weergave.
26.Zorg dat de nieuwe berekening is gemarkeerd in de numerieke weergave en tik op .
Als u een berekening in de numerieke weergave selecteert, wordt deze ook weergegeven in de plotweergave.
27. Druk op P om terug te keren naar de
plotweergave.
De berekening die u zojuist in de numerieke weergave hebt gemaakt, wordt linksboven in het scherm weergegeven.
Laten we nu nog twee berekeningen in de numerieke weergave maken en ze laten weergeven in de plotweergave.
28.Druk op M om terug te keren naar de numerieke weergave.
29. Tik op , voer GB in en tik op . Wanneer u alleen de naam van een punt invoert, worden de coördinaten ervan weergegeven.
30.Tik op , voer GC in en tik op .
Wanneer u alleen de naam van een lijn invoert, wordt de vergelijking ervan weergegeven.
31. Zorg dat beide nieuwe vergelijkingen zijn geselecteerd (door elk te kiezen en op te drukken).
32. Druk op P om terug te keren naar de plotweergave.
Uw nieuwe
berekeningen worden weergegeven.
33.Druk op E en kies punt GB.
34.Gebruik de cursortoetsen om punt B langs de grafiek te bewegen. Met elke verplaatsing worden de resultaten van de berekeningen linksboven in het scherm gewijzigd.
De afgeleide
traceren Punt D is het punt met een ordinaatwaarde die overeenkomt met de afgeleide van de curve op punt B. U kunt eenvoudiger zien hoe de afgeleide wijzigt door een plot ervan te bekijken in plaats van opeenvolgende berekeningen te vergelijken.
We kunnen dit doen door punt D te traceren terwijl het wordt verplaatst als gevolg van bewegingen van punt B.
We verbergen eerst de berekeningen zodat we de traceercurve beter kunnen zien.
35.Druk op M om terug te keren naar de numerieke weergave.
36.Selecteer elke berekening en tik op . Alle berekeningen moeten nu zijn gedeselecteerd.
162 Meetkunde
37. Druk op P om terug te keren naar de plotweergave.
38.Druk op E en selecteer punt GD.
39. Tik op en selecteer Meer > Traceren 40.Druk op E en selecteer punt GB.
41. Gebruik de
cursortoetsen om B langs de curve te bewegen. U ziet dat er een
schaduwcurve wordt getraceerd wanneer u B beweegt. Dit is de curve van de afgeleide van 3sin(x).