Bei den uns vertrauten Strukturen spielen jeweils Addition und Multiplikation eine wichtige Rolle. Aus die-sem Grund wollen wir als nächstes algebraische Strukturen betrachten, deren unterliegende Mengen mit zwei Verknüpfungen versehen sind.
(6.39) Definition (Ring, kommutativer Ring, Körper).
(a) Ein Ring (genauer unitärer Ring oder Ring mit Eins oder Ring mit Einselement) besteht aus einer abelschen Gruppe Rzusammen mit einer Verknüpfung mauf Rso, dass die unterliegende Menge vonR ein Monoid mit Multiplikationmwird und so, dass folgendes Axiom gilt.
• Distributivität.Für allex, y, z∈Rist x m(y+z) = (x m y) + (x m z), (x+y)m z= (x m z) + (y m z).
Unter Missbrauch der Notation bezeichnen wir sowohl den besagten Ring als auch die unterliegende abelsche Gruppe mitR. Die VerknüpfungmwirdMultiplikation vonRgenannt.
Für einen RingR mit Multiplikationmschreiben wir wie üblich ·=·R:=mundxy=x·y fürx, y∈R.
(b) Ein RingRheißt kommutativ, falls die Multiplikation vonR kommutativ ist.
(c) EinKörper ist ein kommutativer RingK, in welchem16= 0gilt und in welchem jedes Element vonK\ {0}
invertierbar (bzgl. der Multiplikation ·K) ist.
(6.40) Konvention. In Ringen lassen wir die Klammern um Produkte meistens weg, d.h. es geltePunkt- vor Strichrechnung.
Wir verwenden die in Definition (6.18)(a) bzw. Definition (6.17)(a) eingeführten Notationen für die Addition einer abelschen Halbgruppe (und also insbesondere einer abelschen Gruppe) bzw. für die Multiplikation einer Halbgruppe (und also insbesondere eines Monoids) auch weiterhin für Ringe. Ebenso verwenden wir die Notatio-nen und Begriffe für die neutralen und inversen Elemente bzgl. dieser Verknüpfungen, vgl. Definition (6.25)(a) und Definition (6.35).
Die Axiome eines RingsR in Standardnotation lesen sich also wie folgt:
• Assoziativität der Addition.Fürx, y, z∈Ristx+ (y+z) = (x+y) +z.
• Existenz der Null.Es existiert einn∈Rderart, dass für x∈Rstetsn+x=x+n=xgilt. Diesesnist nach Bemerkung (6.11) eindeutig bestimmt und wird mit0bezeichnet. Wir haben also0 +x=x+ 0 =x für allex∈R.
• Existenz der Negativen. Für jedes x∈ R existiert einy ∈ R mit y+x =x+y = 0. Dieses y ist nach Korollar (6.16) eindeutig bestimmt und wird mit−xbezeichnet. Wir haben also(−x) +x=x+ (−x) = 0.
• Kommutativität der Addition.Fürx, y∈R istx+y=y+x.
• Assoziativität der Multiplikation.Fürx, y, z∈Ristx(yz) = (xy)z.
• Existenz der Eins. Es existiert eine∈Rderart, dass für x∈R stets ex=xe=xgilt. Dieseseist nach Bemerkung (6.11) eindeutig bestimmt und wird mit 1 bezeichnet. Wir haben also 1x=x1 = xfür alle x∈R.
• Distributivität.Fürx, y, z∈Ristx(y+z) =xy+xz und(x+y)z=xz+yz.
IstR kommutativ, so gilt zusätzlich noch:
• Kommutativität der Multiplikation.Fürx, y∈R istxy=yx.
IstR ein Körper, so istRkommutativ und es gilt ferner noch:
• Existenz der Inversen.Es ist16= 0. Für jedesx∈R\ {0}existiert einy∈Rmityx=xy= 1. Diesesyist nach Korollar (6.16) eindeutig bestimmt und wird mitx−1bezeichnet. Wir haben alsox−1x=xx−1= 1.
Selbstverständlich bleiben alle Aussagen über (abelsche) Gruppen für die einem Ring unterliegende abelsche Gruppe, bestehend aus der unterliegenden Menge zusammen mit der Addition des Rings, sowie alle Aussagen über Monoide für das einem Ring unterliegende Monoid, bestehend aus der unterliegenden Menge zusammen mit der Multiplikation des Rings, gültig.
Mit Hilfe der Begriffe aus Definition (6.39) lassen sich die Aussagen aus Satz (6.1)(c), (d) noch knapper zusam-menfassen:
(6.41) Beispiel.
(a) Die MengeZzusammen mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation ist ein kommutativer Ring, aber kein Körper. Die Null von Z ist die übliche Null und die Eins von Z ist die übliche Eins.
Fürx∈Zist das Negative zuxinZdas übliche Negative.
(b) Die Menge Qzusammen mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation ist ein Körper. Die Null von Qist die übliche Null und die Eins von Qist die übliche Eins. Fürx∈Qist das Negative zux in Qdas übliche Negative und für x∈Q\ {0}ist das Inverse zu xin Qdas übliche Inverse.
(6.42) Konvention. Wenn wir in Zukunft vom (kommutativen) RingZsprechen, so meinen wir damit stetsZ mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation. Ähnlich fürQundR.
(6.43) Beispiel. Es gibt einen Körper mit genau zwei Elementen, der Null0und der Eins1, dessen Addition und Multiplikation durch folgende Verknüpfungstafeln gegeben sind. (35)
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
· 0 1 0 0 0 1 0 1
(6.44) Beispiel. Es gibt einen nicht-kommutativen Ring mit genau acht Elementen, dessen Addition und Multiplikation durch folgende Verknüpfungstafeln gegeben sind.
+ 0 1 e1 e2 n u s1 s2
0 0 1 e1 e2 n u s1 s2 1 1 0 e2 e1 u n s2 s1 e1 e1 e2 0 1 s1 s2 n u e2 e2 e1 1 0 s2 s1 u n n n u s1 s2 0 1 e1 e2 u u n s2 s1 1 0 e2 e1
s1 s1 s2 n u e1 e2 0 1 s2 s2 s1 u n e2 e1 1 0
· 0 1 e1 e2 n u s1 s2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 e1 e2 n u s1 s2 e1 0 e1 e1 0 n s1 s1 n e2 0 e2 0 e2 0 e2 0 e2
n 0 n 0 n 0 n 0 n
u 0 u e1 s2 n 1 s1 e2
s1 0 s1 e1 n n e1 s1 0 s2 0 s2 0 s2 0 s2 0 s2 35Dieser Körper wird in Definition (13.27) eingeführt, siehe auch Beispiel (13.28)(a).
Eine Axiomatisierung der Eigenschaften vonN0, welche Addition und Multiplikation involviert, wird manchmal Halbringgenannt. Da eine solche Struktur für uns im Folgenden nur von untergeordnetem Interesse sein würde, werden wir solche Strukturen nicht einführen und genauer betrachten.
Im Folgenden halten wir einige elementare Eigenschaften von Ringen und Körpern fest.
(6.45) Proposition. Es sei ein RingRgegeben.
(a) Füra∈R gilta·0 = 0·a= 0.
(b) Füra, b∈Rgilta(−b) = (−a)b=−ab.
(c) Füra, b∈Rgilt(−a)(−b) =ab.
Beweis.
(a) Füra∈R gilt
a·0 +a·0 =a·(0 + 0) =a·0 und damita·0 = 0nach Korollar (6.30).
(b) Füra, b∈Rgilt
a(−b) +ab=a((−b) +b) =a·0 = 0
nach (a) und damit −ab =a(−b) wegen der Kommutativität der Addition. Die andere Gleichung lässt sich analog zeigen.
(c) Füra, b∈Rgilt
(−a)(−b) =−a(−b) =−(−ab) =ab nach (b) und Proposition (6.27)(c).
Die RingeZundQsind nullteilerfrei, eine Eigenschaft, welche nicht in jedem Ring gilt. Nullteilerfreie kommu-tative Ringe sind unter folgendem Namen bekannt:
(6.46) Definition (Integritätsbereich). EinIntegritätsbereich ist ein kommutativer RingR mit16= 0und so, dass folgende Eigenschaft gilt:
• Nullteilerfreiheit. Füra, b∈Rfolgt ausab= 0stetsa= 0oderb= 0.
(6.47) Beispiel. Es gibt einen kommutativen Ring mit genau vier Elementen, dessen Addition und Multipli-kation durch folgende Verknüpfungstafeln gegeben sind, welcher kein Integritätsbereich ist. (36)
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
· 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Der Ring aus Beispiel (6.44) liefert ein Beispiel für einen nicht-kommutativen Ring, welcher nicht nullteilerfrei ist, d.h. in welchem es zwei (nicht notwendigerweise verschiedene) von Null verschiedene Elemente gibt, deren Produkt Null ist.
(6.48) Proposition. Jeder Körper ist ein Integritätsbereich.
Beweis. Es sei ein KörperKgegeben. Füra, b∈Kmitab= 0unda6= 0gilta∈K×, nach Bemerkung (6.28)(a) und Proposition (6.45)(a) folgt alsob=a−10 = 0. Somit folgt füra, b∈Raus ab= 0stetsa= 0oder b= 0, d.h.K ist ein Integritätsbereich.
(6.49) Beispiel. Der RingZist ein Integritätsbereich.
36Dieser kommutative Ring wird in Definition (13.8) eingeführt, siehe auch Beispiel (13.20).
Beweis. Nach Proposition (6.48) ist Q als Körper ein Integritätsbereich, d.h. für a, b ∈ Q folgt aus ab = 0 stets a = 0 oder b = 0. Wegen Z ⊆ Q folgt dann aber insbesondere für a, b ∈ Z aus ab = 0 stets a = 0 oderb= 0. Folglich ist auchZein Integritätsbereich.
(6.50) Bemerkung. Es sei ein kommutativer Ring R mit 1 6= 0 gegeben. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:
(a) Es istR ein Integritätsbereich.
(b) Füra, x, y∈R folgt ausax=ay stetsa= 0oderx=y.
Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
Zusätzliche Konzepte
Im Folgenden geben wir einige zusätzliche Definitionen, deren Studium dem Leser zur Übung überlassen sei.
(6.51) Definition ((abelsche) Unterhalbgruppe, (abelsches) Untermonoid, (abelsche) Untergruppe).
(a) (i) Es sei eine Halbgruppe M gegeben. Eine Teilmenge U von M heißt Unterhalbgruppe von M, falls gilt:
• Füru, u0∈U istuu0∈U.
(ii) Es sei eine abelsche HalbgruppeAgegeben. Eineabelsche Unterhalbgruppe vonAist eine Unterhalb-gruppe von A.
(b) (i) Es sei ein MonoidM gegeben. Eine UnterhalbgruppeU vonM heißtUntermonoid vonM, falls gilt:
• Es ist1∈U.
(ii) Es sei ein abelsches MonoidAgegeben. Einabelsches Untermonoid vonAist ein Untermonoid vonA.
(c) (i) Es sei eine GruppeGgegeben. Ein UntermonoidU vonGheißtUntergruppevonG, falls (zusätzlich) gilt:
• Füru∈U istu−1∈U.
(ii) Es sei eine abelsche GruppeAgegeben. Eineabelsche UntergruppevonAist eine Untergruppe vonA.
Da wir abelsche Halbgruppen, abelsche Monoide und abelsche Gruppen additiv schreiben, ändern sich die Schreibweisen der definierenden Eigenschaften einer abelschen Halbgruppe, eines abelschen Untermonoids und einer abelschen Untergruppe.
(6.52) Definition (Homomorphismus).
(a) (i) Es seien HalbgruppenM undN gegeben. EinHalbgruppenhomomorphismus(oderHomomorphismus vonHalbgruppenoderHomomorphismus) vonM nachN ist eine Abbildungϕ:M →N derart, dass folgendes Axiom gilt:
• Fürx, x0∈M istϕ(xx0) =ϕ(x)ϕ(x0).
(ii) Es seien abelsche HalbgruppenAundBgegeben. EinHomomorphismus abelscher Halbgruppen(oder Homomorphismus) vonAnachB ist ein Halbgruppenhomomorphismus vonAnach B.
(b) (i) Es seien Monoide M und N gegeben. Ein Monoidhomomorphismus (oder Homomorphismus von MonoidenoderHomomorphismus) vonM nachN ist ein Halbgruppenhomomorphismusϕ:M →N derart, dass folgendes Axiom gilt:
• Es istϕ(1) = 1.
(ii) Es seien abelsche MonoideA undB gegeben. Ein Homomorphismus abelscher Monoide (oder Ho-momorphismus) vonAnachB ist ein Monoidhomomorphismus vonAnach B.
(c) (i) Es seien Gruppen G und H gegeben. Ein Gruppenhomomorphismus (oder Homomorphismus von Gruppen oderHomomorphismus) vonGnachH ist ein Monoidhomomorphismusϕ:G→H derart, dass folgendes Axiom gilt:
• Fürx∈Gistϕ(x−1) =ϕ(x)−1.
(ii) Es seien abelsche Gruppen A und B gegeben. Ein Homomorphismus abelscher Gruppen (oder Ho-momorphismus) vonAnachB ist ein Gruppenhomomorphismus von AnachB.
Da wir abelsche Halbgruppen, abelsche Monoide und abelsche Gruppen additiv schreiben, ändern sich die Schreibweisen der definierenden Eigenschaften eines Homomorphismus abelscher Halbgruppen, eines Homomor-phismus abelscher Monoide und eines HomomorHomomor-phismus abelscher Gruppen.
Die per Definition geforderten Eigenschaften eines Gruppenhomomorphismus sind redundant:
(6.53) Bemerkung (Kriterium für Gruppenhomomorphismen). Es seien Gruppen GundH und eine Abbil-dungϕ: G→H gegeben. Genau dann istϕein Gruppenhomomorphismus, wennϕein Halbgruppenhomomor-phismus ist.
Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
(6.54) Bemerkung.
(a) Es sei ein Halbgruppenhomomorphismusϕ:M →Ngegeben. Dann istImϕeine Unterhalbgruppe vonN. (b) Es sei ein Monoidhomomorphismusϕ:M →N gegeben. Dann ist Imϕeine Untermonoid vonN.
(c) Es sei ein Gruppenhomomorphismusϕ:G→H gegeben. Dann istImϕeine Untergruppe vonH. Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
(6.55) Lemma. Es sei ein Gruppenhomomorphismusϕ: G→ H gegeben. Genau dann ist ϕ injektiv, wenn fürx∈Gausϕ(x) = 1bereitsx= 1folgt.
Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
7 Operationen
Neben (inneren) Verknüpfungen im Sinne von Definition (6.2) spielen auch sogenannte Operationen einer Struk-tur auf einer anderen eine wichtige Rolle.
Begriffsbildung
Wir beginnen mit der Definition einer Operation eines Monoids auf einer Menge.
(7.1) Definition (Operation). Es seien ein Monoid M und eine Menge X gegeben. Eine Operation (oder Aktion oderWirkung oderLinksoperation oderLinksaktion oderLinkswirkung) vonM auf X ist eine Abbil-dungo:M ×X →X derart, dass folgende Axiome gelten.
• Assoziativität der Operation.Füra, b∈M, x∈X isto(a, o(b, x)) =o(ab, x).
• Neutralität der Eins bzgl. der Operation. Fürx∈X isto(1, x) =x.
Füra∈M,x∈X schreiben wira o x:=o(a, x).
Mit der Infixnotation lesen sich die Axiome einer Operation wie folgt:
• Assoziativität der Operation.Füra, b∈M, x∈X ista o(b o x) =ab o x.
• Neutralität der Eins bzgl. der Operation. Fürx∈X ist1o x=x.
Neben Operationen von Monoiden auf Mengen gibt es weitere Sorten von Operationen, bei denen ggf. noch weitere Verträglichkeiten gefordert werden. Bspw. ist die Skalarmultiplikation eines VektorraumsV über einem KörperKeine Operation eines Körpers auf einer abelschen Gruppe. (37)
37Vektorräume werden in Vorlesungen überlineare Algebrastudiert; an der RWTH Aachen bspw. im KursLineare Algebra für Informatiker(etwa 2. Semester im Studiengang B.Sc. Informatik).
(7.2) Beispiel.
(a) Es ist
Q×(Q×Q)→Q×Q,(a, x)7→(ax1, ax2) eine Operation vonQaufQ×Q.
(b) Es ist
N0×N→N,(k, x)7→xk eine Operation vonN0 aufN. Beweis.
(a) Es seis:Q×(Q×Q)→Q×Q,(a, x)7→(ax1, ax2). Wir verifizieren die Axiome einer Operation.
• Assoziativität der Operation.Füra, b∈Q,x∈Q×Qist
s(a, s(b, x)) =s(a,(bx1, bx2)) = (a(bx1), a(bx2)) = ((ab)x1,(ab)x2) =s(ab, x).
• Neutralität der Eins bzgl. der Operation. Fürx∈Q×Qist s(1, x) = (1·x1,1·x2) = (x1, x2) =x.
Folglich ist seine Operation vonQaufQ×Q.
(b) Es seip:N0×N→N,(k, x)7→xk. Wir verifizieren die Axiome einer Operation.
• Assoziativität der Operation.Fürk, l∈N0, x∈Nist p(k, p(l, x)) =p(k, xl) = (xl)k=xlk =xkl=p(kl, x).
• Neutralität der Eins bzgl. der Operation. Fürx∈Nist p(1, x) =x1=x.
Folglich ist peine Operation vonN0 aufN.
Statt Linksoperationen werden manchmal auch Rechtsoperationen betrachtet. Die Axiome einer Rechtsoperation o:X×M →X eines MonoidsM auf einer MengeX lesen sich in Infixnotation wie folgt:
• Assoziativität der Rechtsoperation.Füra, b∈M, x∈X ist(x o a)o b=x o ab.
• Neutralität der Eins bzgl. der Rechtsoperation. Fürx∈X istx o1 =x.