Als nächstes studieren wir mit den symmetrischen Gruppen eine Beispielklasse von Gruppen, welche als Gruppen der invertierbaren Elemente in Abbildungsmonoiden auftauchen.
Begriffsbildung
Es sei eine Menge X gegeben. Nach Bemerkung (6.22) wird Map(X, X) ein Monoid mit Monoidverknüp-fung (g, f) 7→ g◦f und Einselement idX. Wir interessieren uns für die Gruppe der invertierbaren Elemente inMap(X, X):
(14.1) Definition (symmetrische Gruppe).
(a) Es sei eine MengeX gegeben. Die Gruppe SX := Map(X, X)×
heißt symmetrische Gruppeauf X. Ein Element vonSX wird einePermutation vonX genannt.
(b) Es sein∈N0 gegeben. Wir nennen Sn:= S[1,n]
auch die symmetrische Gruppevom Gradn. Fürπ∈Sn schreiben wir
1 2 3 ... n
π(1)π(2)π(3)... π(n)
:=π.
Nach Satz (3.29)(c) bestehtSX für eine MengeX aus allen bijektiven Abbildungen vonX nachX.
Permutationen, also die Elemente einer symmetrischen Gruppe, tauchen in der Informatik etwa bei Sortieral-gorithmen (48) auf.
(14.2) Beispiel.
(a) Es ist
S0={id∅}={( )}.
(b) Es ist
S1={id{1}}={(11)}.
(c) Es ist
S2={id{1,2},(17→2,27→1)}={(1 21 2),(1 22 1)}.
48Sortieralgorithmen werden an der RWTH Aachen bspw. im Rahmen des Kurses Datenstrukturen und Algorithmen (etwa 2. Semester im Studiengang B.Sc. Informatik) studiert.
(d) Es ist
S3={(1 2 31 2 3),(1 2 32 1 3),(1 2 33 2 1),(1 2 31 3 2),(1 2 32 3 1),(1 2 33 1 2)}.
Man beachte, dass wir beim Bilden von Komposita – wie immer – von rechts nach links lesen:
(14.3) Beispiel. InS3ist (1 2 32 1 3)◦(1 2 33 2 1) = (1 2 33 1 2), (1 2 33 2 1)◦(1 2 32 1 3) = (1 2 32 3 1).
Zykelschreibweise
Die klassische Schreibweise für Permutationen ist für viele Zwecke noch etwas schwerfällig. Um die sogenannte Zykelschreibweise einzuführen, studieren wir die iterierte Anwendung einer gegebenen Permutation.
Betrachten wir etwaπ∈S7gegeben durchπ= (1 2 3 4 5 6 7
2 4 3 1 7 6 5). Die iterierte Anwendung vonπauf das Element1 ergibt
π(1) = 2,
π2(1) =π(π(1)) =π(2) = 4, π3(1) =π(π2(1)) =π(4) = 1, π4(1) =π(π3(1)) =π(1) = 2, π5(1) =π(π4(1)) =π(2) = 4, π6(1) =π(π5(1)) =π(4) = 1, π7(1) =π(π6(1)) =π(1) = 2,
und so weiter. Wir erhalten also periodisch immer wieder die Werte1, 2, 4, wobei sich die Werte nach jeder dritten Anwendung wiederholen. Bei der iterierten Anwendung vonπ−1erhalten wir wieder nur die Werte1,2, 4im Wechsel, lediglich die Reihenfolge des Auftretens ändert sich. Somit gilt also
{πk(1)|k∈Z}={1,2,4}.
Dasselbe Resultat ergibt sich, wenn wir mit dem Element2oder dem Element4beginnen, lediglich das Auftreten der einzelnen Werte ist um ein oder zwei Stellen verschoben. Wenn wir hingegen mit dem Element5 oder dem Element 7 beginnen, so erhalten wir abwechselnd die Werte 5 und 7, und wenn wir mit dem Element 3 oder dem Element6beginnen, so bleibt der jeweilige Wert nach Anwendung vonπerhalten, also auch nach iterierter Anwendung vonπ.
1 2
4
3
5
7
6
π
π π
π
π π π
Wir wollen nun die Tatsache, dass1,2,4 bei iterierter Anwendung vonπ(undπ−1) ineinander übergehen, für eine alternative Notation vonπausnutzen.
(14.4) Bemerkung. Es seien eine Menge X und π ∈ SX gegeben. Für x, y ∈X gelte genau dann x∼π y, wenn es eink∈Zmity=πk(x)gibt. Dann ist ∼π eine Äquivalenzrelation auf X.
Beweis. Es seienx, y, z∈X mit x∼π y undy∼π zgegeben, so dass es k, l∈Zmit y=πk(x)undz =πl(y) gibt. Dann folgt
z=πl(y) =πl(πk(x)) =πk+l(x) und damitx∼π z. Folglich ist ∼π transitiv.
Fürx∈X giltπ0(x) = idX(x) =x, alsox∼πx. Folglich ist ∼π reflexiv.
Es seien x, y∈ X mit x∼π y gegeben, so dass es ein k ∈Z mit y =πk(x)gibt. Dann folgt x=π−k(y) und damity∼πx. Folglich ist∼π symmetrisch.
Insgesamt ist∼π eine Äquivalenzrelation auf X.
(14.5) Definition (Bahn). Es seien eine Menge X und π ∈ SX gegeben. Die Äquivalenzrelation ∼π auf X aus Bemerkung (14.4) heißt Bahnengleichheit unter π. Die Quotientenmenge X/π :=X/∼π heißt Menge der Bahnen unter π. Ein Element von X/π heißt Bahn in X unter π. Für x ∈ X heißt [x]π := [x]∼π die Bahn von xunter π. Für eine Bahn O in X unter π heißt |O|die Länge von O. Eine Transversale von X/∼π heißt Transversale der Bahnen unterπ.
Nach dem Hauptsatz über Äquivalenzrelationen (5.20) ist die Menge der Bahnen einer Permutation einer Men-geX eine Partition vonX.
(14.6) Beispiel. Es seiπ∈S7 gegeben durchπ= (1 2 3 4 5 6 7
2 4 3 1 7 6 5). Dann ist [1] = [2] = [4] ={1,2,4},
[3] ={3}, [5] = [7] ={5,7}, [6] ={6}
und
[1,7]/π={[1],[3],[5],[6]}={{1,2,4},{3},{5,7},{6}}.
Beweis. Fürk∈Zerhalten wir induktiv
πk(1) =
1, fallsk≡30, 2, fallsk≡31, 4, fallsk≡32, πk(3) = 3,
πk(5) =
(5, falls k≡20, 7, falls k≡21, πk(6) = 6.
Folglich gilt[1] = [2] = [4] ={1,2,4},[3] ={3},[5] = [7] ={5,7},[6] ={6}und damit [1,7]/π={[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]}={[1],[3],[5],[6]}={{1,2,4},{3},{5,7},{6}}.
(14.7) Bemerkung. Es seien eine MengeX,π∈SX,x∈X undk∈Z\ {0}mitπk(x) =xgegeben. Fürl∈Z gilt
πl(x) =πlmodk(x).
Beweis. Fürl∈Zgiltl= (ldivk)k+lmodkundπ(ldivk)k(x) =x, also πl(x) =π(ldivk)k+lmodk(x) =πlmodk(π(ldivk)k(x)) =πlmodk(x).
(14.8) Bemerkung. Es seien eine MengeX,π∈SX undx∈X gegeben. Genau dann ist[x]π endlich, wenn es eink∈Nmitπk(x) =xgibt.
Beweis. Wenn[x]π endlich ist, dann gibt esk, l∈Zmitk > lundπk(x) =πl(x)und folglich mit πk−l(x) =π−l(πk(x)) =x
inX. Gibt es umgekehrt eink∈Nmitπk(x) =x, so gilt
[x]π ={πl(x)|l∈Z}={πlmodk(x)|l∈Z}={πr(x)|r∈[0, k−1]}
nach Bemerkung (14.7), und insbesondere ist[x]π endlich.
(14.9) Proposition. Es seien eine MengeX,π∈SXundx∈X so gegeben, dass die Bahn[x]π vonxunterπ endlich ist. Ferner sei m:= min{k∈N|πk(x) =x}. Dann ist
Z/m→[x]π,[k]m7→πk(x)
eine wohldefinierte Bijektion. Insbesondere gilt|[x]π|=mund [x]π ={πk(x)|k∈[0, m−1]}.
Beweis. Wir betrachten die Abbildungf:Z→X,k7→πk(x). Nach dem Homomorphiesatz für Mengen (5.15) gibt es eine wohldefinierte Injektion f¯:Z/=f → X mit f = ¯f ◦quo, gegeben durch f¯([k]) = f(k) = πk(x) fürk∈Z, und es ist Im ¯f = Imf.
Um zu zeigen, dass =f =≡m ist, seien k, l ∈ Z gegeben. Genau dann gilt k =f l in Z, wennπk(x) = πl(x) in X ist. Dies ist äquivalent zu πk−l(x) =x. Nach Bemerkung (14.7) giltπk−l(x) =π(k−l) modm(x). Folglich gilt genau dannk =f l, wennπ(k−l) modm(x) =xist. Wegen(k−l) modm∈[0, m−1]und der Minimalität von mist dies äquivalent zu (k−l) modm= 0, nach Proposition (13.15)(b) also zuk≡ml. Somit gilt in der Tat=f =≡mund damitZ/=f =Z/≡m=Z/m.
Ferner gilt
Im ¯f = Imf ={f(k)|k∈Z}={πk(x)|k∈Z}= [x]π.
Folglich istf¯|Imf:Z/m→[x]πeine Bijektion. Da[0, m−1]nach Korollar (13.16)(a) eine Transversale vonZ/m ist, folgt insbesondere|[x]π|=|Z/m|=mund
[x]π = Im ¯f ={f¯([k]m)|k∈[0, m−1]}={πk(x)|k∈[0, m−1]}.
Um eine Permutation gemäß ihrer Bahnen zu zerlegen, betrachten wir nun solche Permutationen, die höchstens eine nicht-einelementige Bahn haben. Neben der Bahn müssen wir uns dann nur noch die Reihenfolge des Auftretens der Elemente in der Bahn bei der Anwendung von π merken, weswegen wir eine Tupelnotation wählen.
(14.10) Definition(Zykel). Es sei eine MengeX gegeben.
(a) Eine Permutation ζ von X heißt zyklisch (oder Zykel von X), falls jede Bahn unter ζ endlich ist und höchstens eine Bahn mehr als 1Element hat.
(b) Es sei ein Zykelζ vonX gegeben. DieLänge von ζist0, wennX =∅ ist, und das Maximum der Längen aller Bahnen unter ζ, wennX 6=∅ist.
Fürm∈N0 sagen wir, dassζ einm-Zykel ist, wennζdie Längem hat.
(c) Es seienm∈N0, einm-Zykelζ vonX undx∈X mit|[x]ζ|=m gegeben. Wir schreiben (x, ζ(x), . . . , ζm−1(x)) :=ζ.
(14.11) Beispiel. InS3 ist (1 2 32 1 3) = (1,2), (1 2 33 2 1) = (1,3), (1 2 32 3 1) = (1,2,3).
Wir betonen, dass die Bildung von Komposita weiterhin von rechts nach links gelesen wird:
(14.12) Beispiel.
(a) InS3 gilt
(1,3)(1,2) = (1,2,3).
(b) Die Permutation(1 2 3 4 52 3 1 5 4)in S5 ist kein Zykel. Es gilt (1 2 3 4 52 3 1 5 4) = (4,5)(1,2,3) = (1,2,3)(4,5).
Beweis.
(a) Es seienζ, η∈S3 gegeben durchζ= (1,2),η= (1,3). Dann gilt η(ζ(1)) =η(2) = 2,
η(ζ(2)) =η(1) = 3, η(ζ(3)) =η(3) = 1, also
ηζ = (1,3)(1,2) = (1 2 32 3 1) = (1,2,3).
(b) Es seienζ, η∈S5 gegeben durchζ= (1,2,3),η= (4,5). Dann gilt η(ζ(1)) =η(2) = 2,
η(ζ(2)) =η(3) = 3, η(ζ(3)) =η(1) = 1, η(ζ(4)) =η(4) = 5, η(ζ(5)) =η(5) = 4, und
ζ(η(1)) =ζ(1) = 2, ζ(η(2)) =ζ(2) = 3, ζ(η(3)) =ζ(3) = 1, ζ(η(4)) =ζ(5) = 5, ζ(η(5)) =ζ(4) = 4, also
(4,5)(1,2,3) =ηζ = (1 2 3 4 52 3 1 5 4) =ζη= (1,2,3)(4,5).
Die Schreibweise eines Zykels ist nicht eindeutig, sondern hängt von der Wahl eines Vertreters der zugehörigen Bahn (der erste Eintrag in einem Zykel) ab:
(14.13) Beispiel. InS4 gilt
(1,3,4,2) = (3,4,2,1) = (4,2,1,3) = (2,1,3,4).
(14.14) Proposition. Es seien eine endliche MengeX,π∈SX und eine Transversale T der Bahnen unter π gegeben. Fürx∈T sei fernermx:= min{k∈N|πk(x) =x}. Dann ist
π= Y
x∈T
(x, π(x), . . . , πmx−1(x)) = Y
x∈T π(x)6=x
(x, π(x), . . . , πmx−1(x)).
Beweis. Fürx∈T seimx:= min{k∈N|πk(x) =x}undζx:= (x, π(x), . . . , πmx−1(x)). Füry∈X gilt dann ζx(y) =
(π(y), fallsy∈[x]π, y, fallsy /∈[x]π.
Zunächst seien x, x0 ∈ T mit x 6= x0 gegeben. Dann sind [x]π und [x0]π disjunkt, d.h. für y ∈ X gilt ent-wedery∈[x]π odery∈[x0]π odery /∈[x]π∪˙ [x0]π und somit
ζx0(ζx(y)) =
(ζx0(π(y)), fallsy∈[x]π, ζx0(y), fallsy /∈[x]π
)
=
π(y), fallsy∈[x]π, π(y), fallsy∈[x0]π, y, fallsy /∈[x]π∪˙ [x0]π
=
(ζx(π(y)), fallsy∈[x0]π, ζx(y), fallsy /∈[x0]π
)
=ζx(ζx0(y)).
Folglich giltζx0ζx=ζxζx0 in SX. Umπ=Q
x∈Tζx zu zeigen, sei y∈X gegeben. DaT eine Transversale der Bahnen unterπ ist, gibt es genau einx0∈T mity∈[x0]π. Es giltζx0(y) =π(y)und damit
(Y
x∈T
ζx)(y) = ( Y
x∈T\{x0}
ζx)(ζx0(y)) = ( Y
x∈T\{x0}
ζx)(π(y)) =π(y).
Folglich ist in der Tatπ=Q
x∈Tζx.
Daζx= idX für allex∈T mit π(x) =xist, folgt π= Y
x∈T
ζx= Y
x∈T π(x)6=x
ζx.
Die in Proposition (14.14) verwendete Darstellung wird Zykelschreibweise genannt. Es lässt sich zeigen, dass sich jede Permutation einer endlichen Menge (bis auf Reihenfolge) eindeutig als Kompositum von paarweise disjunkten nicht-trivialen Zykeln schreiben lässt. Dabei heißt ein Zykelnicht-trivial, falls er mindestens Länge2 hat, und zwei nicht-triviale Zykel heißendisjunkt, falls die zugehörigen eindeutigen nicht-einelementigen Bahnen disjunkt sind.
(14.15) Beispiel. InS7 ist (1 2 3 4 5 6 7
2 4 3 1 7 6 5) = (1,2,4)(5,7).
Transpositionen
Die Zykel der Länge 2 bilden die „Grundbausteine“ in der symmetrischen Gruppe Sn fürn ∈N0, wie wir im Folgenden sehen werden.
(14.16) Definition(Transposition, Nachbartransposition).
(a) Es sei n ∈ N0 gegeben. Eine Transposition (oder Vertauschung) von [1, n] ist ein Zykel von [1, n] der Länge 2.
(b) Es sei n ∈ N gegeben. Eine Nachbartransposition von [1, n] ist eine Transposition von [1, n] der Form (j, j+ 1)für einj∈[1, n−1].
(14.17) Bemerkung. Es sein∈N0 gegeben. Für verschiedenei, j, k∈[1, n]gilt (i, j) = (j, k)(i, k)(k, j)
inSn.
(14.18) Bemerkung. Es sein∈N0 gegeben.
(a) Es seil∈N0 gegeben. Für verschiedenej1, . . . , jl∈[1, n]gilt
(j1, . . . , jl) = (j1, jl)(j1, jl−1). . .(j1, j2) = (j1, j2)(j2, j3). . .(jl−1, jl) in Sn.
(b) Füri, j∈[1, n]miti < j gilt
(i, j) = (j, j−1). . .(i+ 2, i+ 1)(i, i+ 1)(i+ 1, i+ 2). . .(j−1, j).
Beweis.
(b) Es seii∈[1, n]gegeben. Wir führen Induktion nachj∈[i+ 1, n], wobei fürj=i+ 1nichts zu tun ist. Es sei alsoj∈[i+ 2, n]mit
(i, j−1) = (j−1, j−2). . .(i+ 2, i+ 1)(i, i+ 1)(i+ 1, i+ 2). . .(j−2, j−1) gegeben. Dann ist nach Bemerkung (14.17) aber auch
(i, j) = (j, j−1)(i, j−1)(j−1, j)
= (j, j−1)(j−1, j−2). . .(i+ 2, i+ 1)(i, i+ 1)(i+ 1, i+ 2). . .(j−2, j−1)(j−1, j).
Nach dem Induktionsprinzip gilt
(i, j) = (j, j−1). . .(i+ 2, i+ 1)(i, i+ 1)(i+ 1, i+ 2). . .(j−1, j) für allej ∈[i+ 1, n].
(14.19) Beispiel.
(a) InS9 ist
(1,4,7,3,5)(2,8,6,9) = (1,4)(4,7)(7,3)(3,5)(2,8)(8,6)(6,9).
(b) InS9 ist
(1,4) = (4,3)(3,2)(1,2)(2,3)(3,4).
(14.20) Proposition. Es sein∈N0 gegeben. Jede Permutation von [1, n]ist ein Kompositum von Nachbar-transpositionen von[1, n].
Beweis. Dies folgt aus Proposition (14.14) und Bemerkung (14.18).
Signum
Die Darstellung einer Permutation als Kompositum von Transpositionen ist nicht eindeutig, wie man bereits an Bemerkung (14.18) erkennt. Wir werden jedoch zeigen, dass zumindest die Parität der Anzahl der Transposi-tionen festgelegt ist: Lässt sich eine Permutation als ein Kompositum einer geraden Anzahl an PermutaTransposi-tionen schreiben, dann nicht als ein Kompositum einer ungeraden Anzahl an Permutationen (und umgekehrt).
Um dies zu zeigen, zählen wir diejenigen Paare, bei welchen unter einer Permutation die Ordnungsbeziehung vertauscht wird.
(14.21) Definition (Fehlstand). Es seien n∈ N0 und π∈ Sn gegeben. Die Menge der Fehlstände von π ist definiert als
Inv(π) :={(i, j)∈[1, n]×[1, n]|i < j,π(i)> π(j)}.
Ein Element vonInv(π)wirdFehlstand (oderInversionspaar) vonπgenannt.
(14.22) Beispiel. Es ist
Inv((1 2 3 43 4 1 2)) ={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}.
(14.23) Bemerkung. Es seienn∈Nundj∈[1, n−1]gegeben.
(a) Es ist
Inv((j, j+ 1)) ={(j, j+ 1)}.
(b) Fürπ∈Sn ist
Inv(π◦(j, j+ 1)) ={(i, i0)|i, i0∈[1, n]\ {j, j+ 1}mit (i, i0)∈Inv(π)}
∪ {(i, j˙ + 1)|i∈[1, j−1]mit (i, j)∈Inv(π)}
∪ {(j˙ + 1, i)|i∈[j+ 2, n]mit(j, i)∈Inv(π)}
∪ {(i, j)˙ |i∈[1, j−1]mit(i, j+ 1)∈Inv(π)}
∪ {(j, i)˙ |i∈[j+ 2, n]mit (j+ 1, i)∈Inv(π)}∪˙ S, wobei
S=
({(j, j+ 1)}, falls(j, j+ 1)∈/ Inv(π),
∅, falls(j, j+ 1)∈Inv(π).
Beweis.
(b) Es seiπ∈Sn gegeben und es seiσ:=π◦(j, j+ 1). Füri∈[1, n]ist
σ(i) =
π(j+ 1), falls i=j, π(j), falls i=j+ 1, π(i), falls i /∈ {j, j+ 1}.
Folglich gilt: Füri, i0 ∈[1, n]\{j, j+1}ist genau dann(i, i0)∈Inv(σ), wenn(i, i0)∈Inv(π). Füri∈[1, j−1]
ist genau dann(i, j+ 1)∈Inv(σ), wenn(i, j)∈Inv(π). Füri∈[j+ 2, n]ist genau dann(j+ 1, i)∈Inv(σ), wenn (j, i) ∈ Inv(π). Für i ∈ [1, j −1] ist genau dann (i, j) ∈ Inv(σ), wenn (i, j + 1) ∈ Inv(π).
Füri∈[j+ 2, n]ist genau dann(j, i)∈Inv(σ), wenn(j+ 1, i)∈Inv(π). Genau dann ist(j, j+ 1)∈Inv(σ), wenn(j, j+ 1)∈/Inv(π).
(14.24) Definition(Signum). Es seienn∈N0undπ∈Sn gegeben. DasSignum (oder Vorzeichen) vonπist definiert als
sgnπ:= (−1)|Inv(π)|.
Das Signum von Permutationen wird in der Linearen Algebra zur Definition der Determinante benutzt.
(14.25) Beispiel. Es ist sgn (1 2 3 43 4 1 2) = 1.
Beweis. Nach Beispiel (14.22) ist
Inv((1 2 3 43 4 1 2)) ={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}, also
sgn (1 2 3 43 4 1 2) = (−1)4= 1.
(14.26) Bemerkung. Es sein∈N0 gegeben. Fürj∈[1, n−1]ist sgn (j, j+ 1) =−1.
Beweis. Nach Bemerkung (14.23)(a) istInv((j, j+ 1)) ={(j, j+ 1)}und damit sgn (j, j+ 1) = (−1)|Inv((j,j+1))|= (−1)1=−1.
fürj∈[1, n−1].
(14.27) Proposition (Produktsatz). Es sein∈N0gegeben. Fürπ, σ∈Sn gilt sgn(π◦σ) = (sgnπ)(sgnσ).
Beweis. Wir zeigen durch Induktion nach l ∈ N0: Für π, σ ∈ Sn so, dass σ ein Kompositum von l Nachbar-transpositionen ist, giltsgn(π◦σ) = (sgnπ)(sgnσ).
Fürl= 0,π, σ∈Sn so, dassσein Kompositum vonl Nachbartranspositionen ist, giltσ= id[1,n], also sgn(π◦σ) = sgn(π◦id[1,n]) = sgnπ= sgnπ·1 = (sgnπ)(sgn id[1,n]) = (sgnπ)(sgnσ).
Es sei also l ∈ N so gegeben, dass sgn(π◦σ0) = (sgnπ)(sgnσ0) für π, σ0 ∈ Sn derart, dass σ0 ein Kompo-situm von l−1 Nachbartransposition ist. Ferner seien π, σ ∈ Sn so gegeben, dass σ ein Kompositum von l Nachbartranspositionen ist. Dann ist σ = σ0 ◦(j, j+ 1) für ein σ0 ∈ Sn, welches ein Kompositum von l−1 Nachbartranspositionen ist, und einj∈[1, n−1]. Fürρ∈Sn gilt
|Inv(ρ◦(j, j+ 1))|=
(|Inv(ρ)|+ 1, falls(j, j+ 1)∈/Inv(ρ),
|Inv(ρ)| −1, falls(j, j+ 1)∈Inv(ρ), nach Bemerkung (14.23)(b) und damit
sgn(ρ◦(j, j+ 1)) = (−1)|Inv(ρ◦(j,j+1))|=
((−1)|Inv(ρ)|+1, falls(j, j+ 1)∈/Inv(ρ), (−1)|Inv(ρ)|−1, falls(j, j+ 1)∈Inv(ρ)
)
= (−1)|Inv(ρ)|·(−1)
= (sgnρ)(sgn (j, j+ 1))
nach Bemerkung (14.26). Mit der Induktionsvoraussetzung ergibt sich
sgn(π◦σ) = sgn(π◦σ0◦(j, j+ 1)) = (sgn(π◦σ0))(sgn (j, j+ 1)) = (sgnπ)(sgnσ0)(sgn (j, j+ 1))
= (sgnπ)(sgn(σ0◦(j, j+ 1))) = (sgnπ)(sgnσ).
Nach dem Induktionsprinzip und Proposition (14.20) giltsgn(π◦σ) = (sgnπ)(sgnσ)für alleπ, σ∈Sn. (14.28) Korollar. Es sein∈N0 gegeben. Fürπ∈Sn ist
sgnπ−1= sgnπ.
Beweis. Es seiπ∈Sn gegeben. Nach Proposition (14.27) gilt dann (sgnπ−1)(sgnπ) = sgn(π−1◦π) = sgn id[1,n] = 1
und damit
sgnπ−1= (sgnπ)−1=
(1−1, fallssgnπ= 1, (−1)−1, fallssgnπ=−1
)
=
(1, falls sgnπ= 1,
−1, falls sgnπ=−1 )
= sgnπ.
(14.29) Satz. Es seienn∈N0 undπ∈Sn gegeben und es seiO:= [1, n]/π. Dann ist
sgnπ= (−1)PO∈O(|O|−1)= (−1)PO∈O,|O|>1(|O|−1)= (−1)n−|O|= (−1)|{O∈O||O|ist gerade}|. Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
(14.30) Beispiel. Für(1,4,6)(3,8,5)(7,9)∈S9 gilt sgn((1,4,6)(3,8,5)(7,9)) =−1.
Beweis. Es ist{O∈[1,9]/π| |O|>1}={{1,4,6},{3,8,5},{7,9}}. Nach Satz (14.29) folgt sgn((1,4,6)(3,8,5)(7,9)) = (−1)(3−1)+(3−1)+(2−1)= (−1)2+2+1= (−1)5=−1.
Alternativer Beweis von Beispiel (14.30). Es ist [1,9]/π = {{1,4,6},{2},{3,8,5},{7,9}}. Nach Satz (14.29) folgt
sgn((1,4,6)(3,8,5)(7,9)) = (−1)9−4= (−1)5=−1.
Alternativer Beweis von Beispiel (14.30). Es ist {O ∈ [1,9]/π | |O|ist gerade} = {{7,9}}. Nach Satz (14.29) folgt
sgn((1,4,6)(3,8,5)(7,9)) = (−1)1=−1.
Zusätzliche Konzepte
Im Folgenden geben wir einige zusätzliche Definitionen, deren Studium dem Leser zur Übung überlassen sei.
(14.31) Definition (Ordnung). Es seien eine MengeX und eine PermutationπvonX gegeben. DieOrdnung vonπist definiert als
ordπ:= min{k∈N|πk = idX}.
(14.32) Definition(Fixpunkte, Träger). Es seien eine MengeX und eine PermutationπvonX gegeben.
(a) DieMenge der Fixpunkte unterπist definiert als Fix(π) :={x∈X|π(x) =x}.
Ein Element vonFix(π)wirdFixpunkt unterπ genannt.
(b) DerTräger vonπist definiert als Supp(π) :={x∈X |π(x)6=x}.
Fürx∈Supp(π)sagen wir, dassxunterπbewegt wird.
15 Matrixarithmetik
Bereits in Definition (2.52) wurde der Begriff einer Matrix als Spezialisierung des Begriffs einer Familie einge-führt. In diesem Abschnitt betrachten wir Matrizen mit Einträgen in einem gegebenen kommutativen Ring und führen für solche diverse Matrixoperationen ein.
Im Folgenden, bis zum Ende des Abschnitts und unter Ausnahme der Beispiele, sei stets ein kommutativer RingRgegeben.
Matrixaddition
Falls nicht anders erwähnt, fassen wir ohne weiteren Kommentar fürm, n∈N0die Menge der(m×n)-Matrizen überRals abelsche Gruppe im folgenden Sinne auf.
(15.1) Proposition. Es seienm, n∈N0 gegeben. Die MengeRm×n wird eine abelsche Gruppe mit Addition gegeben durch
A+Rm×nB = (Ai,j+RBi,j)i∈[1,m],j∈[1,n]
fürA, B∈Rm×n. Die Null von Rm×n ist gegeben durch 0Rm×n= (0R)i∈[1,m],j∈[1,n].
FürA∈Rm×n ist das Negative vonA inRm×n gegeben durch (−A)Rm×n= ((−Ai,j)R)i∈[1,m],j∈[1,n].
Beweis. Wir verifizieren die Axiome einer abelschen Gruppe.
• Assoziativität der Addition.FürA, B, C∈Rm×n gilt
A+ (B+C) =A+ (Bi,j+Ci,j)i∈[1,m],j∈[1,n]= (Ai,j+ (Bi,j+Ci,j))i∈[1,m],j∈[1,n]
= ((Ai,j+Bi,j) +Ci,j)i∈[1,m],j∈[1,n]= (Ai,j+Bi,j)i∈[1,m],j∈[1,n]+C
= (A+B) +C.
Folglich ist +assoziativ.
• Kommutativität der Addition.FürA, B∈Rm×n gilt
A+B= (Ai,j+Bi,j)i∈[1,m],j∈[1,n] = (Bi,j+Ai,j)i∈[1,m],j∈[1,n]=B+A.
Folglich ist +kommutativ.
• Existenz der Null.FürA∈Rm×n gilt
(0)i∈[1,m],j∈[1,n]+A= (0 +Ai,j)i∈[1,m],j∈[1,n]= (Ai,j)i∈[1,m],j∈[1,n]=A.
Wegen der Kommutativität von+ist(0)i∈[1,m],j∈[1,n] ein neutrales Element inRm×n bzgl.+.
• Existenz der Negativen.FürA∈Rm×n gilt
(−Ai,j)i∈[1,m],j∈[1,n]+A= (−Ai,j+Ai,j)i∈[1,m],j∈[1,n]= (0)i∈[1,m],j∈[1,n].
Wegen der Kommutativität von+ist(−Ai,j)i∈[1,m],j∈[1,n] ein zuAinverses Element inRm×n bzgl.+.
Insgesamt wird Rm×n eine abelsche Gruppe mit Addition gegeben durch A+B = (Ai,j+Bi,j)i∈[1,m],j∈[1,n]
fürA, B∈Rm×n, Null0 = (0)i∈[1,m],j∈[1,n] und Negativen−A= (−Ai,j)i∈[1,m],j∈[1,n] fürA∈Rm×n.
(15.2) Definition (Matrixaddition). Es seienm, n∈N0gegeben. FürA, B ∈Rm×n wird A+B gegeben wie in Proposition (15.1) dieSumme (oder Matrixsumme) vonA und B genannt. Die Null vonRm×n wird auch Nullmatrix (genauer (m×n)-Nullmatrix) überR genannt. Für A∈Rm×n wird das Negative vonA auch die negative Matrix von Agenannt.
Bei den in Definition (15.2) eingeführten Begriffen handelt es sich um komponentenweise definierte Konzepte;
wir sprechen von einer komponentenweisen Addition, einer komponentenweisen Null und komponentenweisen Negativen.