Als Anwendung des Lemma von Bézout (12.22)(a) sowie des erweiterten euklidischen Algorithmus (12.27) betrachten wir folgendes Kriterium zur Bestimmung der Lösungen einer linearen Gleichung in2 Unbekannten überZbzw. über K[X]für einen Körper K an:
(12.29) Satz (Lösbarkeitskriterium und Lösungsbestimmung für lineare Gleichungen in2 Unbekannten). Es seiR=ZoderR=K[X]für einen KörperK. Ferner seiena, b, c∈Rgegeben.
(a) Genau dann gibt esx, y∈Rmit xa+yb=c, wenn gcd(a, b)|c
gilt.
(b) Es seienp, q, r∈Rmit a=pgcd(a, b),b=qgcd(a, b)undc=rgcd(a, b)gegeben. Ferner seien x0, y0∈R mit x0a+y0b= gcd(a, b)gegeben. Dann ist
{(x, y)∈R×R|xa+yb=c}=
(R×R, falls(a, b) = (0,0),
{(rx0+mq, ry0−mp)|m∈R}, falls(a, b)6= (0,0) )
=
(R×R, falls(a, b) = (0,0), (rx0, ry0) +R(q,−p), falls(a, b)6= (0,0).
Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
(12.30) Beispiel.
(a) Es ist
{(x, y)∈Z×Z|x·2238 +y·168 =−24}= (12,−160) +Z(28,−373).
(b) Es ist
{(x, y)∈Z×Z|x·2238 +y·168 = 4}=∅.
Beweis. Nach Beispiel (12.28)(a) istgcd(2238,168) = 6 = (−3)·2238 + 40·168.
(a) Wegen2238 = 373·6,168 = 28·6 und−24 =−4·6gilt
{(x, y)∈Z×Z|x·2238 +y·168 =−24}= (12,−160) +Z(28,−373).
nach Satz (12.29).
(b) Wegen6-4 gilt
{(x, y)∈Z×Z|x·2238 +y·168 = 4}=∅ nach Satz (12.29)(a).
Irreduzibilität
Zum Ende dieses Abschnittes wollen wir die elementaren Bausteine bzgl. der Teilbarkeitsrelation näher betrach-ten.
(12.31) Definition ((ir)reduzibles Element). Es sei R = Z oder R = K[X] für einen Körper K. Ferner seip∈R\({0}∪˙R×)gegeben. Wir nennenpirreduzibel, falls fürx, y∈Rausp=xystetsx∈R×odery∈R× folgt, ansonstenreduzibel.
Die folgende Bemerkung besagt, dass ein Element genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Teiler außer den unvermeidlichen hat: invertierbare und zum gegebenen Element assoziierte Elemente.
(12.32) Bemerkung. Es seiR=ZoderR=K[X]für einen KörperK. Ferner seip∈R\({0}∪R˙ ×)gegeben.
Die folgenden Bedingungen sind äquivalent.
(a) Es istpirreduzibel.
(b) Jeder Teiler vonpist entweder invertierbar oder assoziiert zup.
(c) Im FallR=Zist jeder positive Teiler vonpentweder gleich1 oder gleich|p|. Im FallR=K[X]ist jeder normierte Teiler von pentweder gleich1oder gleichlc(p)−1p.
Beweis. Zunächst gelte Bedingung (a), d.h.psei irreduzibel. Ferner sei ein Teilerdvon pgegeben, so dass es einq∈Rmit p=qdgibt. Die Irreduzibilität vonpimpliziertd∈R× oderq∈R×. Wennq∈R× ist, so istd nach Proposition (12.13) zupassoziiert. Folglich gilt Bedingung (b).
Umgekehrt gelte Bedingung (b), d.h. jeder Teiler von p sei entweder invertierbar oder assoziiert zup. Um zu zeigen, dass p irreduzibel ist, seien x, y ∈ R mit p = xy gegeben. Dann gilt y | p. Nach Voraussetzung ist also y ∈ R× oder y ist assoziiert zu p. Wenn y assoziiert zu p ist, so gibt es nach Proposition (12.13) ein u∈R× mity =upund daher mitp=xy=xup. Dap6= 0undR ein Integritätsbereich ist, folgtxu= 1 nach Bemerkung (6.50) und damitx=u−1∈R×. Somit giltx∈R× odery∈R×. Folglich istpirreduzibel, d.h. es gilt Bedingung (a).
Wir haben gezeigt, dass Bedingung (a) und Bedingung (b) äquivalent sind.
Um zu zeigen, dass Bedingung (b) und Bedingung (c) äquivalent sind, betrachten wir zunächst den FallR=Z. Nach Proposition (12.13) ist dann jeder Teiler von passoziiert zu einem positiven Teiler vonp. Jeder positive Teiler von p ist aber genau dann invertierbar, wenn er gleich 1 ist, und genau dann assoziiert zu p, wenn er gleich|p|ist. Somit sind Bedingung (b) und Bedingung (c) in diesem Fall äquivalent.
Schließlich betrachten wir den FallR=K[X]für einen KörperK. Nach Proposition (12.13) ist dann jeder Teiler vonpassoziiert zu einem normierten Teiler vonp. Jeder normierte Teiler vonpist aber genau dann invertierbar, wenn er gleich1ist, und genau dann assoziiert zup, wenn er gleichlc(p)−1pist. Somit sind Bedingung (b) und Bedingung (c) auch in diesem Fall äquivalent.
Wir haben gezeigt, dass Bedingung (b) und Bedingung (c) äquivalent sind.
Insgesamt sind Bedingung (a), Bedingung (b) und Bedingung (c) äquivalent.
InZist ein Elementp∈Z\ {−1,0,1}nach Bemerkung (12.32) genau dann irreduzibel, wenn für jeden positiven Teiler d von p stets d = 1 oder d = |p| gilt. Damit sind die positiven irreduziblen ganzen Zahlen genau die Primzahlen.
(12.33) Beispiel.
(a) InZist−3 irreduzibel und12reduzibel.
(b) InQ[X] istX2+ 1irreduzibel und X2−1 reduzibel.
Beweis.
(a) Es seiT :={d∈Z|d| −3} die Menge der Teiler von−3. Da fürd∈Zausd| −3 stets|d| ≤ |−3|= 3 folgt, gilt T ⊆[−3,3]. Durch Ausrechnen ergibt sichT ={−3,−1,1,3}. Nach Bemerkung (12.32) ist−3 irreduzibel.
Hingegen ist12 = 3·4und3,4∈/ Z×. Folglich ist12reduzibel.
(b) Es sei d ein Teiler von X2+ 1. Wegen a2+ 1 ≥0 + 1 = 1 > 0 für a∈ Q hatX2+ 1 keine Nullstelle.
Nach Proposition (12.16) ist daherdegd6= 1. Also istdegd= 0oderdegd= 2. Nach Bemerkung (12.32) istX2+ 1irreduzibel.
Hingegen istX2−1 = (X−1)(X+ 1)undX−1, X+ 1∈/Q[X]×. Folglich istX2−1reduzibel.
(12.34) Notation.
(a) Wir setzen
P=PZ:={p∈Z|pist irreduzibel und positiv}.
(b) Es sei ein KörperK gegeben. Wir setzen
PK[X]:={p∈K[X]|pist irreduzibel und normiert}.
Für Polynome über Körpern von kleinem Grad gibt es einfache Irreduzibilitätskriterien:
(12.35) Bemerkung. Es sei ein KörperK gegeben.
(a) Jedes lineare Polynom überKist irreduzibel.
(b) Jedes quadratische Polynom und jedes kubische Polynom über K ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstellen hat.
Beweis.
(a) Da jeder Teiler eines linearen Polynomsf überKden Grad0oder den Grad1hat, folgt die Irreduzibilität von f aus Bemerkung (12.32).
(b) Es sei f ∈ K[X] mit degf = 2 oder degf = 3 gegeben. Nach Bemerkung (12.32) ist f genau dann irreduzibel, wenn jeder Teiler vonf entweder invertierbar oder zuf assoziiert ist, also genau dann, wenn für jeden Teiler dvon f entwederdegd= 0 oder degd= degf gilt. Nach Bemerkung (11.8)(b) ist dies aber dazu äquivalent, dass es keine Linearfaktoren vonf gibt, nach Proposition (12.16) also dazu, dassf keine Nullstellen hat.
Wir werden nun zeigen, dass sich von Null verschiedene Elemente vonZbzw.K[X]für einen KörperK eindeu-tig in irreduzible Elemente zerlegen lassen, siehe Satz (12.37). Der wesentliche Schritt im Beweis ist folgende Aussage:
(12.36) Lemma. Es seiR =Z oderR=K[X] für einen Körper K. Ferner seip∈R\({0}∪˙ R×)gegeben.
Genau dann istpirreduzibel, wenn füra, b∈R mitp|abstets auch p|aoderp|bgilt.
Beweis. Zunächst sei p irreduzibel und es seien a, b ∈ R mit p | ab gegeben. Ferner gelte p - a und damit insbesondere a 6= 0. Nach Bemerkung (12.32) ist gcd(p, a) als Teiler von p entweder invertierbar oder zu p assoziiert. Wegenp-aundgcd(p, a)|aistgcd(p, a)aber nicht zupassoziiert, also invertierbar. Nach Satz (12.25) ist daher lcm(p, a) assoziiert zu pa. Nun ist aber ab ein gemeinsames Vielfaches von p und a, also auch ein Vielfaches vonlcm(p, a)und damit von pa. Daa6= 0ist, folgt p|bnach Proposition (12.10).
Nun gelte umgekehrt für a, b∈R mit p| ab stetsp|a oderp| b. Ferner seienx, y ∈R mit p=xy gegeben.
Dann gilt insbesonderep|p=xynach Proposition (12.8), alsop|xoderp|y. Da wegenp=xyaber auchx|p und y | p gilt, istp assoziiert zu x oder zu y, nach Proposition (12.13) gibt es also ein u ∈ R× mit p= ux oderp=uy. DaR ein Integritätsbereich ist, folgty =u∈R× oderx=u∈R× und damit die Irreduzibilität vonp.
(12.37) Satz. Es seiR=ZoderR=K[X]für einen KörperK. Für jedesa∈R\ {0}gibt es genau einu∈R× und genau eink∈N(0PR)mit
a=u Y
p∈PR
pkp.
Im FallR=Zistudas Vorzeichen und im FallR=K[X]für einen Körper Kistuder Leitkoeffizient vona.
Beweis. Um zu zeigen, dass es für jedesa∈R\ {0} ein u∈R× und eink ∈N(0PR)mit a=uQ
p∈PRpkp = 1. Da irreduzible Elemente keine Einheiten sind, impliziert dies aber bereitslp= 0 für allep∈PR. Folglich ist k=l.
(b) InQ[X] gilt
2X2−2 = 2(X−1)(X+ 1).
(12.39) Definition (p-adische Bewertung). Es sei R = Z oder R = K[X] für einen Körper K. Ferner sei-en a ∈ R\ {0} und k ∈ N(0PR) derart gegeben, dass es ein u ∈ R× mit a = uQ
p∈PRpkp gibt. Für p ∈ PR
heißt
vp(a) :=kp
diep-adische Bewertung vona.
(12.40) Beispiel.
(a) Es ist
vp(−18) =
1, fürp= 2, 2, fürp= 3,
0, fürp∈P\ {2,3}.
(b) Es seif ∈Q[X]gegeben durchf = 2X2−2. Dann ist vp(f) =
(1, fürp∈ {X−1, X+ 1}, 0, fürp∈PQ[X]\ {X−1, X+ 1}.
Beweis.
(a) Es gilt −18 = (−1)·2·32. Folglich ist sgn(−18) = −1, v2(−18) = 1, v3(−18) = 2 und vp(−18) = 0 fürp∈P\ {2,3}.
(b) Es giltf = 2X2−2 = 2(X−1)(X+ 1). Folglich ist lc(f) = 2,vX−1(f) = 1, vX+1(f) = 1undvp(f) = 0 fürp∈PQ[X]\ {X−1, X+ 1}.
(12.41) Bemerkung. Es sei R =Z oderR =K[X] für einen Körper K. Ferner seien a∈R\ {0} gegeben.
Fürp∈PR ist
vp(a) = max{k∈N0|aist ein Vielfaches vonpk}.