Gewichtete, essenziell nicht-oszillierende Schemata (WENO-LF)

Folgende Ausführungen zu gewichteten, essenziell nicht-oszillierenden Rechenschemata (Abk.

WENO²) basieren auf den Arbeiten von Shu [135] und dienen der Herleitung des Interpolations-schemas.

Es ist bekannt, dass die klassischen, linearen Diskretisierungsverfahren im Falle steiler Gradi-enten zu Über-, Unterschwingungen oder, allgemein, zu nicht-physikalischem numerischem Ver-halten neigen [41]. Um diese Mängel zu kompensieren, wurden zahlreiche, erweiterte Verfahren entwickelt. Bis in die 80er-Jahre kamen zur Begrenzung von Oszillationen nahe Unstetigkeitsstel-len zwei Methoden zur Anwendung. In der Ersten sorgte ein künstlicher, sorgfältig und problem-spezifisch ausgelegter Viskositätsterm für eine ausreichende Dämpfung, um Oszillationen als Folge von steilen Gradienten zu unterdrücken. Für die zweite Methode wurden Begrenzungsfunktionen eingeführt, welche unstetige Bereiche mit nicht-oszillierenden Verfahren niedriger Ordnung ap-proximierten mit dem Ziel, durch die Wahl der lokalen Approximationsmethode entsprechende Oszillationen zu unterbinden. Für Details zu diesen Methoden sei auf LeVeque [84] verweisen.

L R

1 2 . . . 𝒾 . . . 𝑁𝑥−1 𝑁𝑥

𝒾+¹₂

Polynom:𝑄(𝑥)mit𝑥 ∈ S

𝑃⁽¹⁾(𝑥)mit𝑥 ∈ S1

𝑃⁽²⁾(𝑥)mit𝑥 ∈ S2

𝑃⁽³⁾(𝑥) mit𝑥 ∈ S3

Flussrichtung

𝐿

Geister-Knoten Geister-Knoten

Abbildung 2.3: Rechengitter und -stern für Interpolation 5. Ordnung im Ortsgitterpunkt 𝑥_𝒾+¹₂ (Kreuz). blau: Zusammengesetzter Rechenstern, 5. Ordnung. rot: Teil-Rechensterne 𝑃⁽¹⁾(𝑥), 𝑃⁽²⁾(𝑥), 𝑃⁽³⁾(𝑥), mit Bias in Flussrichtung, jew. 3. Ordnung. Gestrichelt: sog. Geister-knoten außerhalb der Rechendomäne. Grau: (theoretische) Zellgrenzen als Äquivalent zur FV-Approximation. Bei umgekehrter Flussrichtung sind die Rechensterne entsprechend um𝑥_𝒾+¹₂ zu spiegeln.

WENO-Schemata entwickelten sich aus den sog. ENO Verfahren (engl. Akronym: essentially non-oscillatory schemes), welche – durch Harten et al. [55] begründet – erstmalig eine von Git-tergrößen unabhängige, nicht oszillierende Interpolation bei gleichbleibend hoher Approximati-onsordnung ermöglichten. ENO- und WENO-Verfahren nutzen auf die Glattheit der numerischen Lösung angepasste, adaptive Rechensterne, um eine konstant hohe Ordnung und Oszillationsfrei-heit (besonders) in Gegenwart von Unstetigkeiten sicherzustellen.

Die Werte an den Zellgrenzen der Zelle𝒾, z. B. also in𝑥_𝒾+¹₂ (Abbildung 2.3,rotesKreuz) sollen aus den bekannten Knotenwerten approximiert werden. Folgende Ausführungen beziehen sich zu-nächst auf den Fall, dass ein positiver Fluss (in Abbildung 2.3 vonlinksnachrechts) vorliegt. Für die Adaption auf einen negativen Nettoflusses sind nachfolgende Ausführungen um den Knoten-wert𝑥_𝒾+¹

2 zu spiegeln. Zur Approximation des Knotenwertes in𝑥_𝒾+¹

2 können einfache Polynome𝑄

2engl. Akronym:Weighted Essentially Non-Oscillatory scheme

konstruiert werden, welche𝑟+1 Rechenknoten links bzw.𝑟Rechenknoten rechts der Zellengrenze 𝑥_𝒾+¹₂ einschließen (blauin Abbildung 2.3). Der Schätzfehler des gesuchten Knotenwertes nimmt in diesem Fall mit𝑘-ter Ordnung bei Reduktion der GitterweiteΔ𝑥ab:

𝜙ˆ_𝒾+¹

2 𝑄(𝜙_𝒾−𝑟, . . . , 𝜙_𝒾+𝑟), 𝒾 =1,2, . . . , 𝑁_𝑥 , (2.16) 𝜙ˆ_𝒾+¹

2 −𝜙_𝒾+¹

2 =O(Δ𝑥^𝑘), 𝑘=2𝑟+1. (2.17)

Die Gesamtspanne der bei der Berechnung abgedeckten Gitterpunkte wird alsgroßerRechenstern bezeichnet

S=

𝑥_𝒾−𝑟, . . . , 𝑥_𝒾, 𝑥_𝒾+¹

2, 𝑥_𝒾+1, . . . , 𝑥_𝒾+𝑟

. (2.18)

Zusätzlich können innerhalb der Spannbreite des großen Sterns(𝑘+1)/2 weitere Polynome,𝑃^(𝑠)(𝑥) mit𝑠 =0, . . . ,(𝑘+1)/2−1, konstruiert werden, welche𝑟 +1 Knotenwerte innerhalb vonkleinen Rechensternen S_𝑘 ⊆ S (rot in Abbildung 2.3) um die Zielposition 𝑥_𝒾+¹

2 einschließen und eine

Die Kernidee des ENO-Verfahrens besteht darin, zur Interpolation in𝒾+ ¹₂eine der möglichen po-lynomialen Approximationen ˆ𝜙_𝒾+^(𝑠)1

2

zu wählen, abhängig davon, wie lokal glatt die Knotenwerte sind bzw. ob im großen Rechenstern steile Gradienten vorhanden sind. Der Algorithmus bevor-zugt damit RechensterneS_𝑘, welche diese Diskontinuitäten nicht beinhalten. Dies sorgt global für eine Approximationsgüte mindestens(𝑘+1)/2-ter Ordnung, während durch die Wahl des kleinen Rechensterns um den Zielknoten Oszillationen vermieden werden. Dem WENO-Verfahren, als des-sen Erweiterung, liegt zusätzlich die Beobachtung zugrunde, dass sich die Approximation höchster Ordnung ˆ𝜙_𝒾+¹₂ als konvexe Linearkombination

𝜙ˆ_𝒾+¹₂ =

der Kleinapproximationen ˆ𝜙_𝒾+^(𝑠)1 2 𝜖wird zur Vermeidung der Nennernull typischerweise zu𝜖 =10⁻⁶gesetzt und hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit. Die Gewichte𝑤𝑠 konvergieren bei einer glatten Funktion gegen die Linear-gewichte𝑑_𝑠, welche nicht von den Funktionswerten, sondern von dem gewählten Interpolations-polynomen𝑃^(𝑠) abhängen. Im Fall einer Diskontinuität konvergieren die Gewichte𝑤_𝑠gegen 0 .

2.2 Lösung partieller, eindimensionaler Differentialgleichungen

Der lokale Glattheitsindikator𝛽_𝑠 errechnet sich über 𝛽_𝑠 =^𝑘

als die Summe aller skalierten𝐿²-Normen aller𝑙 Ableitungen des Interpolationspolynoms𝑃^(𝑠)(𝑥) im Intervall[𝑥_𝒾−¹

2, 𝑥_𝒾+¹

2]. Diese können analytisch aus den Interpolationspolynomen (Gleichung 2.19) bestimmt werden [135].

Die in dieser Arbeit genutzten Rechensterne sind dritter bzw. insgesamt fünfter Ordnung (wie in Abb. 2.3 dargestellt), wobei das resultierende Schema als „WENO-35” abgekürzt wird. Die ver-wendeten Lagrange-Polynome 𝑄 bzw. 𝑃⁽⁰⁾, . . . , 𝑃⁽²⁾, die expliziten Formeln für 𝛽^+/−₀ , . . . , 𝛽₂^+/−

und ˜𝑤0,0, . . . ,𝑤˜2,0 und die Parameter 𝑤0, . . . ,𝑤2 bzw. 𝑑0, . . . ,𝑑2 dieser Polynome sind in An-hang A2, S. 151 zu finden.

Berechnung des Transports von Erhaltungsgrößen

Da WENO-Methoden typischerweise zur Lösung partieller Differentialgleichungen, insbesondere physikalischer, hyberbolischer Kontinuitätsgleichungen in differenzieller Form eingesetzt werden, soll an dieser Stelle die Anwendung auf ein Transportsystem folgen. Um mit gegebener Methode eindimensionale Erhaltungsgleichungen aus Zellwerten approximieren zu können, muss eine (im Wortsinne) konservative, d. h. erhaltende Schätzung der Ableitungen einer beliebigen Größe aus diskreten Gitterpunkten berechnet werden. Für die Herleitung wird an dieser Stelle die differen-tielle Form der Erhaltungsgleichung 2.1 mit𝑆_𝜙 = 0 genutzt. Eine an den Rechenknoten bekannte Größe𝜙(𝑥)werde damit durch

𝜕𝜙(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡 + 𝜕𝑓(𝜙(𝑥, 𝑡))

𝜕𝑥 =0 (2.23)

über die gegebene Flussfunktion𝑓 transportiert. Hierfür solle die Ortsableitung𝜕𝑓(𝜙(𝑥, 𝑡))/𝜕𝑥aus der Differenz der sog. numerischen Flüsse ˆ𝑓_𝒾±¹

2 𝑓(𝜙ˆ_𝒾±¹

2) mit einer Genauigkeit k-ter Ordnung approximiert werden wobei die numerischen Flüsse konsistent mit den physikalischen sein müssen. Mit Gl. 2.3 folgt daraus:

Die Berechnung der numerischen Flüsse ˆ𝑓_𝒾±¹

2 kann über das WENO-Verfahren gemäß Gl. 2.19, 2.20 und 2.21 aus den umgebenden Knotenwerten

𝑓ˆ_𝒾±¹₂ =𝑓

oder – im Falle einer linearen Flussfunktion 𝑓(𝜙) – direkt aus den an den Knotenwerten mit den nach Gleichung 2.21 errechneten Gewichten erfolgen.

Stabilität kann für advektionsdominante Probleme nur für Rechensterne garantiert werden, die aus überwiegend Knotenwerten stromauf, d. h. mit einem Bias entgegen der Strömungsrichtung, konstruiert werden [41]. Dies wurde bereits bei der Konstruktion der WENO-Polynome berück-sichtigt, siehe Abbildung 2.3. Die Rekonstruktion eines Knotenwertes in𝑥_𝒾+¹

2 auf Grundlage von ausschließlich Knotenwerten stromab dieses Knotens (im Falle eines reinen Advektionstransports) wäre – auch nach allgemeinem Verständnis – in hohen Maße unphysikalisch.

Um mit dem WENO-Verfahren auch bei einer Umkehr der Strömungsrichtung stabil die Werte an den Zellgrenzen schätzen zu können, muss die Schätzung des numerischen Flusses ˆ𝑓_𝒾+¹

2 mit einem Rechenstern erfolgen, der exakt um den Punkt𝑥_𝒾+¹₂ gespiegelt ist. Dies wird typischerweise durch einen Teilungsansatz (engl.: flux splitting) realisiert, der ˆ𝑓_𝒾+¹₂ in links- bzw. rechtsseitig wirkende Flussanteile (Superindex−bzw.+) aufteilt

𝑓ˆ_𝒾±¹

Für den bekanntesten, in dieser Arbeit verwendeten Ansatz nach Lax - Friedrich [82] gilt 𝑓ˆ_𝒾±^±1 Die Abkürzung des verwendeten Teilungsansatzes wird üblicherweise als Suffix (-LF) an den Na-men des Diskretisierungsverfahrens angehängt (hier: WENO-LF).