Das Kompetenzstufenmodell für das Fach Mathematik

Das auf ca. 500 normierten Items basierende Kompetenzstufenmodell im Fach Mathema-tik ist eine empirisch entwickelte Abbildung der Standards in Ergänzung zum Kompe-tenzmodell, das auf eine Kommunikation über den Leistungsstand der Schülerinnen und Schüler abzielt und ebenso die Voraussetzung für eine Definition von Mindest-, Regel und Maximalstandards bildet. Die Festlegungen der Kompetenzerwartungen genügen inhaltlichen, testtheoretischen, fachlichen, curricularen und fachdidaktischen Kriterien, womit konkret eine enge Orientierung an den Bildungsstandards gemeint ist, die zusätz-lich aber das gesamte Kompetenzspektrum umfasst. Das Stufenmodell ermögzusätz-licht ferner

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eine Anbindung an internationale Vorarbeiten, kategorisiert die Kompetenz in fünf gleich breite Stufen mit fachdidaktisch gut interpretierbaren und vertretbaren Grenzen und er-gänzt die Leitideenspezifischen Beschreibungen der Kompetenzstufen. Ein solches globa-les Kompetenzstufenmodell lässt sich auf alle inhaltlichen Kompetenzen anwenden, wo-bei in der allgemeinen Kompetenzbeschreibung die vorhandenen Kompetenzen betont werden und die damit verbundenen Defizite geschlussfolgert werden.

Abbildung 5. Lage von Mindest- und Regelstandards der HSA- und MSA-Population auf dem integrierten Kompetenzstufenmodell Mathematik, Quelle: KMK, 2012.

Die Datenbasis des Kompetenzstufenmodells bilden zum einen ca. 300 Items, die im Rahmen der PISA-Studie 2006 an etwa 10.000 Neuntklässlern normiert wurden. Zusätz-lich wurden Testaufgaben für die Jahrgangsstufen 8 und 10 entwickelt, deren Daten in einer Nachnormierung im Umfang von ca. 4.400 Schülerinnen und Schülern den Aufga-benpool ergänzten. Auf Basis dieser repräsentativen Aufgabenlösungen erfolgte die Transformation der Schülerleistungen auf eine Kompetenzskala mit dem Mittelwert 500 und einer Standardabweichung von 100¹⁰ (KMK, 2012). Das Charakteristikum eines sol-chen Vorgehens besteht darin, dass die aus den Schülerlösungen gewonnene Aufgaben-schwierigkeit in direkter Beziehung zu der Fähigkeit der Schülerinnen und Schüler steht und beide Eigenschaften auf derselben Skala abgebildet werden können. Damit ist es

10 Zum genaueren Vorgehen bei der Skalierung von Kompetenzwerten siehe Abschnitt 5.3.6

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möglich, mathematisch-inhaltliche Beschreibungen der Fähigkeiten von Schülerinnen und Schülern aus der Rangfolge der Aufgabenschwierigkeiten und den zu deren Lösung not-wendigen Kompetenzen zu generieren. Sinnvolle Kompetenzbeschreibungen entstehen durch die Setzung von Grenzen auf diesem Kontinuum, innerhalb derer die in den Stan-dards beschriebenen Ziele als erreicht gelten. Die Stufensetzung folgt im Rahmen der Arbeit mit den Bildungsstandards dem Prinzip eines kumulativen Kompetenzaufbaus, obwohl eine theoretische Fundierung im Grunde nicht gegeben ist¹¹. Die Stufen sind vielmehr als ein Konsens zu verstehen zwischen verschiedenen Vertretern der Fachdiszip-linen und der Bildungspolitik. „Es handelt sich dabei um konsensuelle Festlegungen, wel-che die Interpretation von Testwerten erleichtern, die aber weit davon entfernt sind, grundlagenwissenschaftlich fundiert zu sein.“ (Köller, 2008, S. 170).

Im Fach Mathematik erfolgte die Festlegung der Kompetenzstufen unter der Leitung des führenden Fachdidaktikers Mathematik im Bereich der Bildungsstandards, Prof. Werner Blum (Universität Kassel) und lehnte sich stark an das Vorgehen bei PISA an. Die Arbten im Fach Mathematik stellen durch ihre frühzeitige Umsetzung der Ablaufschritte ei-nes solchen Modellentwicklungsverfahrens die Pionierarbeit dar, an die sich organisato-risch die anderen Fächer anlehnten. Nach anfänglichen fünf Kompetenzstufen ermöglicht es das integrierte Kompetenzstufenmodell, die Aufgabenschwierigkeiten und Schüler-kompetenzen in sechs Stufen zu verorten. Die unterste Stufe bleibt dabei nach unten hin offen definiert und die höchste Stufe nach oben hin offen. Die vier mittleren Stufen sind in Intervallen von 80 Kompetenzpunkten gesetzt. Mit festgesetzten Kompetenzstufen durch normierte Aufgaben lassen sich die Schülerleistungen anhand der normierten Auf-gabenschwierigkeiten berechnen. Für die Normierungsstudie wurde ein Lernzuwachs von der neunten zur zehnten Jahrgangsstufe von rund 50 Punkten beobachtet. Die Unterschie-de Unterschie-der Kompetenzwerte Unterschie-der Neunt- und Zehntklässler führte zu Unterschie-der vorsichtigen Annah-me, dass sich ein Lernjahr in etwa 30-50 Kompetenzpunkten ausdrückt (KMK, 2012)¹².

11Grundsätzlich kann man davon ausgehen, dass die komplexer strukturierten Kompetenzen am oberen Ende ohne die Grundkompetenzen der vorangegangenen Stufen nicht erreichtwerden können. Der bisheri-geKenntnisstand zur Struktur von Kompetenzen ist hier jedoch noch nicht ausreichend. Köller (2008, S.

172) führt dazu aus: „Die Annahme, es gäbe von Zeit zu Zeit qualitative Sprünge von einer zur nächsten Kompetenzstufe und dies sei entwicklungspsychologisch oder fachdidaktisch plausibel begründbar, steht dabei zumindest teilweise im Gegensatz zu den neueren Erkenntnissen der Lernpsychologie, in der Stufen-modelle keine Rolle spielen.“. Siehe dazu auch die Ausführungen von Helmke und Hosenfeld (2004, S. 63):

„Wo es theoretisch überzeugend und empirisch belegbar ist, ist das Stufenkonzept hilfreich. Wo es sich um kontinuierlich verteilte Merkmale handelt, lassen sich auch Abschnitte oder Zonen unterschiedlicher Aus-prägung definieren, ohne dass damit die Fiktion von Stufen im engeren Sinne verbunden wäre.“.

12 Zum Vergleich der Lernzuwächse in anderen Fächern siehe Köller und Baumert (2012).

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Eine solche Stufeneinteilung ist ebenso Voraussetzung für die in der Klieme-Expertise propagierte Setzung von Mindest-, Regel- und Maximalstandards, die es den Anwendern erlaubt, eine Diagnose über den Lernstand der Schülerinnen und Schüler herbeizuführen.

So kann von einem Erreichen der Mindestanforderungen im Hauptschulbereich erst ab einem Kompetenzwert von 330 Punkten gesprochen werden. Die Mindestanforderungen beim Ziel des Mittleren Schulabschlusses (MSA) liegen bei 410 Punkten (Abbildung 5)¹³. Die Verteilung der Schülerinnen und Schüler der Normierungsstichprobe zeigt, dass 7 % der Hauptschüler (9. Jahrgangsstufe) die Mindestanforderungen im Fach Mathematik verfehlt. Für diese so genannten Risikoschüler besteht ein besonderer Förderbedarf, der sie befähigen soll, in einfachen mathematikhaltigen schulischen, alltäglichen oder berufli-chen Situationen zurechtzukommen. Der Mindeststandard für den Hauptschulabschluss ist mit Kompetenzwerten zwischen 330 und 410 Punkten erreicht und wird durch Aufga-ben illustriert, die basale Anforderungen an die Schülerinnen und Schüler stellen. Am Ende der 10. Jahrgangsstufe lassen sich auf dieser Stufe nur vier Prozent der Leistungen der Schülerinnen und Schüler verorten¹⁴. Der Mindeststandard zur Erreichung des Mittle-ren Schulabschlusses ist auf der Kompetenzstufe 2 ab einem Wert von 410 bis zu einem Kompetenzwert von 490 gesetzt. Für Hauptschüler stellt sie bereits den Regelstandard dar. Diese Kompetenzstufe 2 ist hinsichtlich der allgemeinen mathematischen Kompeten-zen gekennzeichnet durch die Durchführung einfacher vertrauter Problemlösestrategien und direkt umsetzbarer Modellierungen, die Verwendung einfacher Darstellungen und die Herstellung von Beziehungen zwischen zwei solchen, die Anwendung wenigschrittiger Standardverfahren und die Fähigkeit, aus Texten bzw. Tabellen einzelne Informationen zu entnehmen. Hinsichtlich der Verteilung der Fähigkeitswerte der ca. 10.000 Schülerin-nen und Schüler aus der Normierungsstichprobe zeigt sich, dass 30 Prozent der Neunt-klässler und 18 Prozent der ZehntNeunt-klässler Mathematikkompetenzen auf dieser Stufe nachweisen.

Der Regelstandard für den MSA (und Regelstandard Plus für den Hauptschulabschluss) wird für Schülerinnen und Schüler mit einem Testergebnis auf der Kompetenzstufe 3 er-reicht. Aus der Normierungsstudie weiß man, dass sich dort ca. ein Viertel der

13 Globale Beschreibungen der Kompetenzstufen sind dem von der KMK 2012 verabschiedeten Papier zum

„Kompetenzstufenmodell zu den Bildungsstandards für den Hauptschulabschluss und den Mittleren Schu l-abschluss im Fach Mathematik“ zu entnehmen.

14 Es bleibt zu beachten, dass bei der Verteilung der Schülerinnen und Schüler der 10. Jahrgangsstufe keine Differenzierung in HSA und MSA vorgenommen wurde, da viele Hauptschüler die Schule nach der 9.

Jahrgangsstufe verlassen. Daher wurden keine Hauptschüler in die Stichprobe der Zehntklässler mit aufge-nommen (KMK, 2012).

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klässler und mehr als ein Drittel der Zehntklässler verorten lassen. Der Regelstandard bezieht sich auf Kompetenzen, die im Durchschnitt von den Schülerinnen und Schülern in einem bestimmten Bildungsabschnitt erreicht werden sollen. Konkret werden mit Kompe-tenzen auf dieser Stufe folgende allgemeinen mathematischen Kompetenzausprägungen benötigt:

• überschaubare eigene Argumentationen durchführen

• naheliegende Problemlösestrategien anwenden

• wenigschrittige Modellierungen in vertrauten Kontexten vornehmen

• Beziehungen zwischen unterschiedlichen Darstellungen herstellen

• mehrschrittige Standardverfahren oder einschrittige Verfahren mit Variablen an-wenden

• überschaubare Lösungswege verständlich darlegen.

Im Hinblick auf die Weiterentwicklung von Unterricht und die Definition eines Leis-tungsbereichs, der über den Regelstandard hinausgeht, wurde der Regelstandard Plus in Korrespondenz mit der Kompetenzstufe 4 für den MSA festgelegt. Hier können Schüle-rinnen und Schüler bereits mehrschrittige Argumentationen selbst entwickeln, Problemlö-sestrategien anwenden, die sie selbst entwickelt haben, mehrstufige Modellierungen vor-nehmen, eigene Darstellungen erstellen mehrschrittige Operationen mit Variablen ausfüh-ren und aus längeausfüh-ren Texten mehrere Informationen entnehmen. Diese durch kreative, komplexe Eigenaktivität gekennzeichnete Kompetenzstufe 4 wird von noch 13 Prozent der Neuntklässler und 30 Prozent der Zehntklässler erreicht.

Die verbleibenden vier Prozent der Schülerinnen und Schüler der neunten Jahrgangsstufe und elf Prozent der zehnten Jahrgangsstufe aus der Normierungsstichprobe verteilen sich auf die Kompetenzstufe 5, mit deren unterster Grenze von 650 Kompetenzpunkten der Maximalstandard beginnt. Die Stufe ist nach oben offen definiert, da dem Kompetenz-kontinuum theoretisch in der Komplexität und Anzahl von Denkprozessen keine Grenzen gesetzt sind (Tabelle 1: Verteilung der Schülerinnen und Schüler der 9. und 10. Jahrgangsstufe auf die Kompetenzstufen, Quelle: KMK, 2012, eigene Darstellung.). Ausgedrückt in den ma-thematischen Kompetenzen können Schülerinnen und Schüler auf dieser Stufe komplexe Argumentationen entwickeln und bewerten, anspruchsvolle Problemlösestrategien an-wenden und reflektieren, mehrschrittige komplexe Modellierungen vornehmen und beur-teilen, komplexe Darstellungen anfertigen bzw. kritisch beurbeur-teilen, komplexe

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thematische Verfahren anwenden und kritisch hinterfragen und aus komplexen Texten Sinn entnehmen Informationen gewinnen (KMK, 2012).

Neben der Verabschiedung eines globalen Kompetenzstufenmodells für eine allgemeine mathematische Kompetenz ist es möglich, eine Aufgabentrennung in Leitideen vorzu-nehmen und damit die mathematische Kompetenz für die fünf inhaltlichen mathemati-schen Kompetenzen zu differenzieren.

Tabelle 1: Verteilung der Schülerinnen und Schüler der 9. und 10. Jahrgangsstufe auf die Kompetenzstufen, Quelle: KMK, 2012, eigene Darstellung.

Kompetenz-stufe Wertebereich Kriterium Prozentanteile in der 9. Jahrgangsstufe

Prozentanteile in der 10. Jahrgangsstufe

1 < 410 unter Mindeststandard 28% < 4 %

2 410 - 490 Mindeststandard 30% 18%

3 490 - 570 Regelstandard 25% 37%

4 570 - 650 Regelstandard Plus 13% 30%

5 > 650 Maximalstandard 4% 11%

Anmerkung: die prozentualen Angaben zur Schülerverteilung wurden der aktuellen Fassung zum Kompetenz-stufenmodell von 2012 entnommen

Für das Fach Mathematik in der Sekundarstufe I (HSA und MSA) stehen diese differen-zierten Kompetenzstufenmodelle nach Leitideen noch aus. Winkelmann und Robitzsch (2009) konnten für das Fach Mathematik in der Primarstufe nachweisen, dass eine diffe-renzierte Betrachtung mathematischer Kompetenzen nach Inhaltsbereichen als gerechtfer-tigtes und legitimiertes Vorgehen zu betrachten ist. Die Autoren verglichen dabei eine eindimensionale Modellierung von 527 normierungstauglichen Items, die 10.328 Schüle-rinnen und Schülern zur Bearbeitung vorgelegt wurden, mit einer mehrdimensionalen Modellierung, in der jedes Item genau einer inhaltlichen Kompetenz (Between-Item-Dimensionalität) zugeordnet wurde. Im Ergebnis zeigen die Modellgüteindizes einer mehrdimensionalen Modellierung nach inhaltlichen mathematischen Kompetenzen die beste Passung.

Durch die eigene Bedeutung der Kompetenzstufenmodelle in Abgrenzung zu den Kompe-tenzmodellen werden sie im Rahmen der Kompetenzmessung auf der Grundlage von Bil-dungsstandards zu dem Kommunikationsmittel, das diagnostische Entscheidungen nach sich zieht und die Gestaltung des Unterrichts in wesentlicher Art beeinflusst. Wenngleich für den Kern der Bildungsstandards, die allgemeinen mathematischen Kompetenzen, auf-grund ihrer nicht trennscharfen Abgrenzung voneinander, keine Kompetenzstufenmodelle

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entwickelt werden können, so ist es doch unmittelbar einsichtig, „…dass jede Vorgabe in den Bildungsstandards direkte Konsequenzen für die empirischen Ergebnisse und damit auch für das Kompetenzstufenmodell hat.“ (Reiss & Winkelmann, 2009)¹⁵. Prinzipiell lassen sich die Kompetenzstufenmodelle durch eine erneute Normierungsstudie modifi-zieren, bisher gilt jedoch das hier beschriebene globale Modell mit den festgelegten Stu-fenbreiten und inhaltlichen Kompetenzbeschreibungen.

Die Abbildung komplexer Konstrukte wie den Kompetenzen in dimensionsreduzierten Modellen geht gemeinhin mit einem Informationsverlust einher. Trotzdem gilt es, ein handhabbares, kommunizierbares und letztlich doch differenzierendes Modell vorzustel-len, das die Realität möglichst nah durch umsetzbare Messbarkeit abbildet. So lassen sich die Aufgaben zur Messung der mathematischen Kompetenzen in einem dreidimensiona-len Raum verorten (Kompetenzmodell), während die Berechnung der Testwerte auf eine eindimensionale Abbildung zurückgreift (Kompetenzstufenmodell). Rost (2004, S. 663) beschreibt die Problematik eines am Kriterium der Aufgabenschwierigkeit festgemachten Tests als „…ein Problem der Integration von qualitativer und quantitativer Messung.“. Er macht damit auf die forschungspragmatischen Praktiken aufmerksam, mit denen aktuell die Kompetenzwerte in großen Studien generiert werden und verweist auf die Komplexi-tät der qualitativ unterschiedlichen Denk- und Lernprozesse, die eine Person bei der Lö-sung von Problemsituationen anwendet. Das Modellieren von qualitativ unterschiedlichen Kompetenzausprägungen auf nur einer Kompetenzdimension ist jedoch durchaus vertret-bar, wenn es gelingt qualitativ unterschiedliche Anforderungen in den Testaufgaben zu erfassen, die mit unterschiedlichen Leistungsniveaus korrespondieren (Rost, 2004)¹⁶. In ihrem Modellvergleich zur Dimensionalität mathematischer Kompetenzen konnten Win-kelmann und Robitzsch (2009, S. 192-193) für den Primarbereich auf der Grundlage von Modellgüteindizes und Korrelationsmaßen zwischen den Dimensionen zeigen, „…dass der Informationsverlust bei einer eindimensionalen Schätzung mathematischer Kompe-tenz nicht so erheblich ist, dass diese als Option zu verwerfen wäre – eine Diagnose ma-thematischer Kompetenz auf Basis eines Gesamtscores oder einer Transformation dieses

15 Winkelmann und Robitzsch (2009) können zwar zeigen, dass sich auch die prozessbezogenen allgemei-nen mathematischen Kompetenzen analytisch voneinander trenallgemei-nen lassen, die Ergebnisse sind aufgrund geringer Itemmengen und einer a priori theoretisch vorgenommenen Klassifizierung der Aufgaben nicht stabil.

16 Eine Übersicht der Möglichkeiten zur Abbildung und Messung von Kompetenzen geben Klieme und Leutner (2006) in der Beschreibung des Schwerpunktprogramms „Kompetenzmodelle zur Erfassung indi-vidueller Lernergebnisse und zur Bilanzierung von Bildungsprozessen.“.

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Scores etwa in ein globales Kompetenzstufenmodell kann also ebenfalls eine zuverlässige und sinnvolle Methode der Diagnostik darstellen.“.

Für die Arbeiten in Bezug auf die Bildungsstandards geht man aktuell den Weg der ein-dimensionalen Modellierung von Kompetenzwerten und legt somit einen Schwerpunkt der Kompetenzmodellierung auf die Aufgabenentwicklung. Damit wird die Implementa-tion einer neuen Aufgabenkultur zu einer wesentlichen Gelingensbedingung bei der Um-setzung der Bildungsstandards (Abschnitt 2.3.3).

Wenngleich Kompetenzmodelle und Kompetenzstufenmodelle in der Diagnostik von Schülerleistungen eine tragende Rolle spielen, so stellt sich im Hinblick auf den Kompe-tenzerwerb und –aufbau die Frage, wie ein Unterricht aussehen und gestaltet werden soll-te, um eine Weiterentwicklung von Schülerkompetenz zu gewährleisten. Im Folgenden soll es daher auf der Unterrichtsebene darum gehen, welche Merkmale der Unterrichtsgestal-tung und –prinzipien zu einem erfolgreichen Kompetenzerwerb und –aufbau führen. Empirische Ergebnisse sollen die theoretischen Ausführungen untermauern und um beobachtetes Unterrichts-geschehen ergänzen.