Benennungen in lokalen User Interfaces

Remarque : La découverte de telles identités pour n = 2, 4 et 8 remonte à Diophante, Euler et Degen.

Identité de Diophante : ( a² + b² ).( c² + d² ) = ( ac − bd )² + ( ad + bc )². Identité d’Euler : ( a² + b² + c² + d² ).( α² + β² + γ² + δ² ) = A² + B² + C² + D², où A = aα + bβ + cγ + dδ B = aβ− bα + cδ− dγ

C = aγ− cα− bδ + dβ D = aδ− dα + bγ− cβ

Identité de Degen : (P² + Q² + R² + S² + T² + U² + V² + W²).(p² + q² + r² + s² + t² + u² + v² + w²)

= A² + B² + C² + D² + E² + F² + G² + H² , où :

A = Pp − Qq − Rr − Ss − Tt − Uu − Vv − Ww B = Pq + Qp + Rs − Sr + Tu − Ut − Vw + Wv C = Pr − Qs + Rp + Sq + Tv + Uw − Vt − Wu D = Ps + Qr − Rq + Sp + Tw − Uv + Vu − Wt E = Pt − Qu − Rv − Sw + Tp + Uq + Vr + Ws F = Pu + Qt − Rw + Sv − Tq + Up − Vs + Wr G = Pv + Qw + Rt − Su − Tr + Us + Vp − Wq H = Pw − Qv + Ru + St − Ts − Ur + Vq + Wp ____________

Corrigé : symétries commutantes et anticommutantes.

A Edouard Maurel Ségala

A. Première partie : généralités sur les symétries.

1) Soit s un endomorphisme de E tel que s² = I. On note E_s⁺ = Ker( s − I ) et Es−

= Ker( s + I ).

a) Montrons rapidement que : E = E_s⁺ ⊕ Es−

.

E_s⁺∩ E_s⁻ = {0} car si x ∈ E_s⁺∩ E_s⁻, s(x) = x = −x, donc 2x = 0, donc x = 0 (car 2_K = 1_K + 1_K≠ 0) . Enfin, x =

2 ) (x x+s ₊

2 ) (x x−s _{, où}

2 ) (x x+s _{∈ E}

s+

et 2 ) (x x−s _{∈ E}

s−

. b) Commutant d’une symétrie.

Soit f ∈LLLL(E) ; montrons que f o s = s o f ⇔ f(E_s⁺) ⊂ E_s⁺ et f(E_s⁻) ⊂ E_s⁻.

Supposons f o s = s o f ; x ∈ Es± ⇔ s(x) = ±x ⇒ (f o s)(x) = ±x ⇒ (s o f)(x) = ±x ⇒ f(x) ∈ Es±

. Réciproquement, si E_s⁺ et E_s⁻ sont f-stables, ( f o s )(x) = ( f o s)(x⁺ + x⁻) = f(x⁺− x⁻) = f(x⁺) − f(x⁻) ( s o f )(x) = ( s o f )(x⁺ + x⁻) = s ( f(x⁺) + f(x⁻)) = f(x⁺) − f(x⁻) itou…

c) C(s) = { f ∈LLLL_{(E) ; f o s = s o} f } est une sous-algèbre de LLLL(E) ; d’ailleurs, le commutant de n’importe quel endomorphisme de E est une sous-algèbre.

Je dis que dim C(s) = ( dim E_s⁺ )² + ( dim E_s⁻ )².

En effet, pour se donner un élément f de C(s), il suffit de se donner le couple d’endomorphismes induits sur E_s⁺ et E_s⁻ ; autrement dit, C(s) est isomorphe à LLLL_(Es⁺_)×LLLL_(Es⁻), comme espace vectoriel et même comme algèbre.

d) Il est clair que A(s) = { f ∈LLLL_{(E) ; f o s = − s o} f } est un sous-espace vectoriel de ^LLLL(E).

Il est facile d’établir que f ∈ A(s) ⇔ f(Es

+) ⊂ Es−

et f(E_s⁻) ⊂ Es + . Je dis que dim A(s) = 2 (dim E_s⁺ )×( dim E_s⁻).

En effet, pour se donner un élément f de A(s), il suffit de se donner le couple d’endomorphismes restreints et coresteints à (E_s⁺, E_s⁻) et (E_s⁻, E_s⁺). Autrement dit, A(s) est isomorphe à LLLL_(Es⁺_, E_s⁻)×LLLL_(Es⁻_{, Es}⁺), comme espace vectoriel.

Remarques : i) On en déduit que LLLL(E) = C(s) ⊕ A(s).

Les projecteurs associés à cette somme directe sont f → 2

1( f + s o f o s ) et f → 2

1_{( f −} s o f o s ) A(s) n’est pas une algèbre, car le produit de deux éléments de A(s) est un élément de C(s).

ii) On peut retrouver ces résultats matriciellement, car il existe une base BBBB de E telle que S = Mat(s, BBBB_{) =}









− ^q

p

I O

O

I . Les matrices qui commutent à S sont de la forme



 D O

O

A , celles qui

anti-commutent à S sont de la forme



 O C

B

O , et l’on retrouve tous les résultats précédents.

2) Un exemple. Faisons confiance à Maple.

> with(linalg):

> S:=matrix(3,3,[1,2,2,2,1,2,-2,-2,-3]);evalm(S^2);kernel(S-1);kernel(S+1);

:=

S

















1 2 2

2 1 2

-2 -2 -3

{[1 1 -1, , ]} {[1 -1 0, , ],[0 -1 1, , ]}

S est une symétrie vectorielle : c’est la symétrie par rapport à la droite R.(1, 1 – 1), par rapport au plan d’équation x + y + z = 0.

Remarque : Cette matrice conserve la forme quadratique q(X) = x² + y² – z² sur R³, donc le cône de révolution x² + y² = z² . Elle joue un rôle-clé dans la théorie des triplets pythagoriciens.

3) Trace et déterminant de la transposition. f est une symétrie vectorielle.

Or si s est une symétrie, tr s = dim E_s⁺ − dim Es−

et det s = (−1)^dimEs−. Ker( f – I ) = S_n(K), espace des matrices symétriques, de dimension

2 ) 1 (n+ n . Ker( f + I ) = A_n(K), espace des matrices antisymétriques, de dimension

2 ) 1 (n− n . Donc tr f =

2 ) 1 (n+ n ₋

2 ) 1 (n−

n = n et det f = ²

) 1 (

) 1 (

− ⁿⁿ− .

NB : Une autre approche consisterait à écrire la matrice de f dans la base (E₁₁, E₂₂, …, E_nn, E₁₂, E₂₁, E₁₃, E₃₁, …) de M_n(K).

4) L’algèbre des matrices en damier.

Une matrice A = (a_ij) ∈ Mn(K) est dite en damier si a_i,j = 0 lorsque i et j n’ont pas même parité.

Soit J = diag(1, −1, …, (−1)ⁿ⁻¹). Je dis que A ∈ D_n(K) ⇔ AJ = JA.

En effet AJ a pour élément général (−1)^{j−1 a}ijet JA pour élément général (−1)ⁱ⁻¹ a_ij .

Comme J est une symétrie vectorielle, en vertu de 1.c), l’ensemble D_n(K) des matrices en damier est une sous-algèbre de M_n(K) de dimension (dim Ker( J – I ))² + (dim Ker( J + I ))².

Le résultat dépend de la parité de n :

Si n = 2m, dim D_n(K) = 2m² ; si n = 2m + 1, dim D_n(K) = (m + 1)² + m² . 5) L’algèbre des matrices centrosymétriques.

Une matrice A = (a_ij) ∈ M_n(K) est dite centrosymétrique si a_i,j = a_{n+1−i,n+1−j} pour tout couple (i, j).

Si J = antidiag(1, 1, …, 1), je dis que A ∈ Cn(K) ⇔ AJ = JA.

J étant une symétrie vectorielle, en vertu de 1.c), l’ensemble C_n(K) des matrices centrosymétriques est une sous-algèbre de M_n(K) de dimension (dim Ker( J – I ))² + (dim Ker( J + I ))².

















1 0 0

0 1 0

0 0 1

Le résultat dépend de la parité de n :

Si n = 2m, dim C_n(K) = 2m² ; si n = 2m + 1, dim C_n(K) = (m + 1)² + m² . B. Deuxième partie : symétries commutantes.

1) Diagonalisation simultanée de deux symétries commutantes.

Soient s₁ et s₂ deux symétries commutantes.

Mise en garde ! L’analyse du résultat à atteindre laisse entendre que :

(*) E = ( E(s₁)⁺∩ E(s₂)⁺ ) ⊕ ( E(s₁)⁺∩ E(s₂)⁻ ) ⊕ ( E(s₁)⁻∩ E(s₂)⁺ ) ⊕ ( E(s₁)⁻∩ E(s₂)⁻ ).

Or cela semble découler facilement de ce que E = E(s₁)⁺ ⊕ E(s1)⁻ = E(s₂) ⁺ ⊕ E(s2)⁻ . Mais attention ! les lois ∩ et + ne sont pas distributives l’une par rapport à l’autre dans V(E).

Oui, on a bien (*), mais cela va découler de ce que s₁ et s₂ commutent.

1^ère méthode : on peut démontrer (*) directement. C’est long, ce n’est pas facile et il y a mieux ! 2^ème méthode : utilisons les résultats de A.1.b).

Les sous-espaces E_s1^± sont s₂-stables, et s₂ induit une symétrie dans chacun d’eux. Par suite, il y a une base convenable de E_s1⁺ telle que l’endomorphisme induit par s₂ ait pour matrice 



une base convenable de E_s1⁻ telle que l’endomorphisme induit par s₂ ait pour matrice 



Voici un exemple de symétries commutantes : considérons M_n(C) comme R-espace vectoriel (il est alors de dimension 2n²) et les applications A → A et A → ^tA. Ce sont deux R-symétries somme) de deux sous-espaces vectoriels donnés par leurs bases

> with(linalg):

> evalm(S1^2);evalm(S2^2);evalm(multiply(S1,S2)-multiply(S2,S1));

3) Systèmes de symétries commutantes.

Soit (s₁, …, s_N) un SSC de E. Montrons qu’il existe une base BBBB _{= (e1, …, en}) de E telle que, pour C’est un résultat de diagonalisation simultanée que nous allons montrer par récurrence sur n.

Pour n = 1, il n’y a rien à montrer. diagonalisant simultanément ces endomorphismes induits. Il suffit de recoller ces deux bases.

On en déduit N ≤ 2ⁿ. Enfin, il y a un SSC à 2ⁿ éléments : si BBBB _{= (e1, …, en}) est une base de E,

4) Application. (Oral ENS)



Montrons que les groupes linéaires Gl_n(K) et Gl_m(K) sont isomorphes si et seulement si n = m.

Si m = n, les deux groupes sont égaux. Réciproquement, soit f : Gl_n(K) → Gl_m(K) un isomorphisme de groupes. Il existe dans Gl_n(K) un SSC (s₁, …, s₂n) à 2ⁿ éléments. Son image par f est un SSC à 2ⁿ éléments de Gl_m(K), donc 2ⁿ≤ 2^m et n ≤ m. Il reste à échanger les rôles de m et n.

Remarque : on aimerait savoir si ce résultat reste vrai en caractéristique 2. On a vu (pb. 1) qu’il est vrai si K est un corps fini.

C. Troisième partie : Symétries anticommutantes.

1) Deux symétries anticommutantes.

Soient s₁ et s₂ deux endomorphismes tels que s₁² = s₂² = I et s₁ o s₂ = − s₂ o s₁.

:=

Dans tout ce problème K = R ou C. On s’intéresse aux sous-groupes finis de Gl_n(K).

Première partie : Exemples.

1) Montrer que

1 engendrent un sous-groupe de Gl₂(R) à 6 éléments, isomorphe au groupe S₃ des permutations de {1, 2, 3}.

3) Représentation matricielle de Q.

On note F₃ le corps Z/3Z et Gl₂(F₃) le groupe multiplicatif des matrices inversibles à coefficients dans F₃, et Sl₂(F₃) le sous-groupe des matrices de déterminant 1. On note E la matrice unité.

3) Le groupe des matrices de permutation.

:=

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