Remarque : la nécessité des hypothèses (H2) et (H3) apparaît sur les exemples suivants :
B. Deuxième partie : températures de plaques.
0. Préliminaires.
0.1. Si X est un ensemble fini, FFFF(X) est un R-espace vectoriel de dimension |X|.
0.2. On peut toujours supposer Ω inclus dans [1, p]×[1, q], à translation près.
0.3. Filant la métaphore avec le cours de topologie, nous appellerons : •••• intérieur de Ω l’ensemble Ω° = { M ∈ Ω ; V(M) ⊂ Ω } ; relation d’équivalence dans X, dont les classes sont les composantes connexes (par arcs) de X. X est dit connexe par arcs s’il n’a qu’une composante connexe.
Si Ω est connexe par arcs, il en est de même de Ω ; la réciproque est fausse.
1) Mise en équation du problème.
La recherche de f équivaut à la résolution d’un système linéaire de |Ω| équations à |Ω| inconnues.
En effet, les inconnues sont les f(M), où M ∈Ω, et il y a une équation centrée en chaque point M.
Si M = (x, y), cette équation est de la forme
4.f(x, y) − f(x – 1, y) − f(x + 1, y) − f(x, y + 1) − f(x, y – 1) = 0
mais attention, certains des 4 points voisins peuvent se trouver sur le bord, donc être connus. Il faut alors les basculer dans l’autre membre.
Si M = (x, y) est intérieur, l’équation s’écrit :
4.f(x, y) − f(x – 1, y) − f(x + 1, y) − f(x, y + 1) − f(x, y – 1) = 0 S’il appartient au bord intérieur, elle s’écrira par exemple
4.f(x, y) − f(x – 1, y) − f(x + 1, y) − f(x, y + 1) = g(x, y – 1)
Précisons encore les choses, et introduisons des notations qui permettraient de généraliser le problème à Z3, Z4, etc. Notons :
• pour tout couple (M, M’) ∈ Ω×Ω a(M, M’) = 4 si M = M’ , − 1 si |M M’| = 1 , 0 sinon.
• pour tout couple (M, P) ∈Ω×∂Ω b(M, P) = 1 si |M P| = 1 , 0 sinon.
Le système linéaire s’écrit très exactement (E) ∀M ∈Ω
∑
Il s’agit donc de montrer qu’il est cramérien. Nous supposerons dans la suite Ω connexe par arc, ce qui ne restreint pas la généralité, car le système linéaire obtenu se scinde en autant de sous-systèmes que de composantes connexes par arcs de Ω.
2) 1ère méthode : théorème de Hadamard-Frobenius-Taussky.
De quelque façon que l’on range les inconnues, f(M), M ∈ Ω, la matrice A = (a(M, M’)) est symétrique, car a(M, M’) = a(M’, M).
Elle vérifie a(M, M) = 4 pour tout M. Elle possède au plus 4 éléments non nuls dans l’équation centrée en M. Elle est donc diagonalement dominante au sesn large.
Il est sûr que A possède une ligne diagonalement dominante au sens strict, car le bord intérieur de Ω n’est pas vide. Enfin la condition de connexité par arcs de la 1ère partie :
∀(i, h) ∈ [1, n]2 ∃( k1, …, km )
,k1
ai ≠ 0 ,
2 1,k
ak ≠ 0 , … ,
m km
ak ,
−1 ≠ 0 , k h am, ≠ 0 s’écrit : ∀(M, M’) ∈Ω×Ω ∃(
k1
M ,
k2
M ,… ,
km
M ) a(M,
k1
M ) ≠ 0 , a(
k1
M ,
k2
M ) ≠ 0 , … , a(
−1
km
M ,
km
M ) ≠ 0 , … , a(
km
M , M’) ≠ 0 . Cela découle de la connexité par arcs de Ω !
3) 2ème méthode : principe du maximum.
Soit f ∈HHHH(Ω). Je dis que f atteint sa valeur maximum en un point de ∂Ω .
En effet, f atteint sa valeur maximum M en un point de Ω, car Ω est un ensemble fini.
Si cette valeur est atteinte en un point de ∂Ω , c’est gagné.
Si elle est atteinte en un point intérieur, alors elle est atteinte en les 4 points voisins. De proche en proche, f prend la valeur M en tous les points de Ω, par connexité par arcs. Bref, f est constante, et alors sa valeur maximum est encore atteinte sur le bord.
De même, f atteint sa valeur minimum est atteinte en un point de ∂Ω ; cela se déduit de ce qui précède en changeant f en – f. On en conclut que si f est nulle sur le bord, f est nulle partout.
Cela revient à dire que le système homogène (E0) associé au système linéaire (E) n’a que la solution triviale. On sait qu’alors (E) est cramérien.
Remarque finale : Il reste à résoudre ce système, qui en général est de très grande taille. Il provient en effet de la discrétisation d’un problème de Dirichlet. Pour cela on n’utilise ni les formules de Cramer, ni une méthode de pivot, mais une méthode itérative.
Références :
Chambadal-Ovaert, Algèbre 2 (Gauthier-Villars), ex. n° 25 p. 369, 37 p. 375 Ciarlet, Analyse numérique matricielle et optimisation (Masson), p. 45 Stoer-Burlisch, Introduction to numerical analysis (Springer), p. 588 ENS Ulm 1968, 1986, Cachan 1989, Lyon 1996 (Oral), etc.
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Problème 26 : Localisation des valeurs propres Soit A = (aij) ∈ Mn(C) une matrice carrée d’ordre n à éléments complexes.
On note Sp A le spectre de A, ensemble des valeurs propres.
Pour tout i ∈ [1, n], on pose Pi =
∑
≠i j
aij et Qi =
∑
≠i j
aji .
1) a) Montrer que si (∀i) |aii| > Pi , alors A est inversible [ Considérer le système linéaire A.X = 0.]
b) Montrer que si (∀i) | aii | > Qi , alors A est inversible.
c) Ces conditions suffisantes d’inversibilité sont-elles nécessaires ? 2) Déduire de 1) que Sp A ⊂ D ∩ D’ , où :
• D est la réunion des disques { z ∈ C ; | a − z | ≤ P } (1 ≤ i ≤ n)
• D’ est la réunion des disques { z ∈ C ; | aii − z | ≤ Qi } (1 ≤ i ≤ n)
Maurice Parodi : Localisation des valeurs caractéristiques des matrices, Gauthier Villars (1949) Centrale : Problème des années 2000-2010, à retrouver.
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Problème 27 : Produits tensoriels
Toutes les matrices, tous les vecteurs ici considérés sont à éléments dans un corps commutatif K.
On note M(n, p) l’espace vectoriel des matrices n×p, et l’on identifie les vecteurs de Kn aux matrices-colonnes de M(n, 1).
Si X =
xn
x
...1 ∈ Kn et Y =
yq
y
...1 ∈ Kq , on appelle produit tensoriel de X et Y le vecteur
X ⊗ Y =
Y x
Y x
n. ...
1.
∈ Knq obtenu en remplaçant dans X, xi par le vecteur xi.Y . 1) a) Montrer que l’application (X, Y) → X ⊗ Y est bilinéaire Kn×Kq → Knq . b) Un vecteur Z de Knq de la forme X ⊗ Y est dit décomposé.
Donner un exemple de vecteur non décomposé. Caractériser les vecteurs décomposés.
Montrer que les vecteurs de la base canonique de Knq sont tous décomposés.
c) Montrer que si (Xi)1≤i≤r est génératrice dans Kn et (Yj)1≤j≤s est génératrice dans Kq , alors (Xi ⊗ Yj)(i,j)∈[1,r]×[1,s] est génératrice dans Knq .
d) Si (Xi)1≤i≤n et (Yj)1≤j≤q sont des bases respectives de Kn et Kq, que dire de (Xi ⊗ Yj)(i,j)∈
[1,n]×[1,q] ?
e) Si (Xi)1≤i≤r est une famille libre dans Kn et (Yj)1≤j≤s une famille libre dans Kq , que dire de (Xi⊗Yj)(i,j)∈[1,r]×[1,s] ?
f) Dans le cas général, comparer rg(Xi ⊗ Yj)(i,j)∈[1,r]×[1,s] à rg(Xi).rg(Yj), et établir des réci-proques des résultats établis en c), d) et e).
2) Soit H un espace vectoriel. Montrer que, pour toute application bilinéaire Φ : Kn×Kq→ H, il existe une application linéaire et une seule f : Knq → H telle que :
(∀X ∈ Kn) (∀Y ∈ Kq) Φ(X, Y) = f(X ⊗ Y) .
3) Déduire de 2) qu’il existe un isomorphisme M : Knq → M(n, q) vérifiant : (∀X ∈ Kn) (∀Y ∈ Kq) M(X ⊗ Y) = Y.tX .
Reconnaître cet isomorphisme. Quelles sont les images par M des vecteurs décomposés ? Soit Z∈ Knp, r le nombre minimum de vecteurs décomposés de somme Z. Caractériser r à l’aide de M(Z).
4) Soient A ∈ M(m, n) et B ∈ M(p, q) deux matrices identifiées aux applications linéaires Kn→ Km et Kq→ Kp canoniquement associées.
a) Montrer qu’il existe une unique application linéaire ϕ : Knq → Kmp vérifiant : (∀X ∈ Kn) (∀Y ∈ Kq) ϕ(X ⊗ Y) = (A.X) ⊗ (B.Y) .
b) Montrer que ϕ a pour matrice : A ⊗ B ≡
B a B a
B a B a
m mn
n
...
...
...
...
...
1 1 11
dans les bases canoniques de Knq et Kmp . c) Montrer que l’application (A, B) → A ⊗ B est bilinéaire, et que l’on a :
(C ⊗ D).(A ⊗ B) = (C.A) ⊗ (D.B) et A ⊗ (B⊗C) = (A⊗B) ⊗ C dès que les formats le permettent.
d) Exprimer le rang de A ⊗ B à l’aide des rangs de A et B.
5) Si A et B sont carrées, quand A ⊗ B est-elle inversible ? que vaut alors (A ⊗ B)−1 ? Quand A⊗ B est-elle nilpotente ? Montrer enfin que A et B diagonalisables ⇒ A ⊗ B est diagonalisable.
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