Nota Bibliográ…ca: Hitos en el desarrollo histórico del análisis de insumo-producto
Como el ‘análisis de insumo-producto’ se usará extensamente en el resto de la Parte II de este libro, se resume aquí algunos de los hitos en su desarrollo histórico.
El nombre de Wassily Leontief (1906-1999) ha quedado asociado a ese tipo de análi-sis, pero tanto las ideas como los métodos fundamentales tienen una historia larga (como ocurre siempre en la ciencia). Marx le dio gran importancia al aporte del
12Aquí se aplica el Teorema 2.3 y el Teorema 9 del Apéndice Matemático de este capítulo.
13Esta forma de plantear la ecuación será de utilidad cuando en el Capítulo 14 se considere un primer modelo de Reproducción Ampliada, basado en el crecimiento poblacional.
médico y ‘…siócrata’ francés François Quesnay (1694-1774), quien fue el primero en construir algo parecido a unatabla de insumo-producto (su Tableau Économique) mostrando los ‡ujos de ingresos entre sectores económicos. A su vez, Quesnay es-tuvo muy in‡uenciado por algunos pensadores de la época del ‘mercantilismo’, en particular el irlandés Richard Cantillon (circa 1680-1734), quien si bien no formuló una tabla, en sus análisis se acercó bastante a ello (Brewer 2005). Cantillon recibió a su vez la in‡uencia del médico inglés William Petty (1623–1687), a quien Marx llamó “el padre de la economía política”.
Aparentemente fue el francés Achilles Nicolas Isnard (1748-1803), quien primero formuló dos sistemas (‘duales’) deecuaciones: una para las cantidades y otra para los precios.14 Isnard fue el primero de una lista de economistas matemáticos france-ses (que incluye a Cournot (1801-1877) y a Walras (1834-1910)) que fueron ignora-dos durante mucho tiempo por la literatura económica anglo-sajona. Ésta prefería el razonamiento discursivo mechado con ejemplos numéricos. Walras utilizó en forma explícita ecuaciones lineales con coe…cientes tecnológicos …jos en la teoría de la producción de sus Elements. Tales ecuaciones pueden ser fácilmente expre-sadas en formato matricial, como se hace en este libro. Walras también mostró como podía reemplazarse los coe…cientes …jos por funciones de producción del tipo y=f(x1; x2)que admitían la sustitución gradual entre de unos insumos por otros.
Recientemente ha sido revelado que el cura jesuita francés, ingeniero y matemáti-co Maurice Potron (1872-1942) matemáti-concibió a partir de 1911 un modelo del sistema económico utilizando coe…cientes tecnológicos …jos así como ecuaciones duales de cantidades y de precios. Más aún, su sistema es más general que la teoría de insumo-producto en algunos aspectos y además fue uno de los primeros en uti-lizar explícitamente los teoremas de Perron-Frobenius en el análisis de un sistema económico. Abraham-Frois y Lendjel (2004) recopilan 12 de los artículos de Potron, publicados entre 1911 y 1941 y escriben un prefacio biográ…co sobre este pensador hasta hace poco desconocido.
Leontief (1905-1999) comenzó su larga carrera con una clara in‡uencia de las ideas de Marx y sus seguidores. Nació en 1906 en Rusia y comenzó sus estudios uni-versitarios en 1921-25 en la Universidad de Leningrado de la recientemente formada URSS. Es casi seguro que haya tenido que estudiar la teoría de Marx y especí…-camente su teoría de la Reproducción Simple y Ampliada. Pudo viajar a Berlín para atender un problema de salud y allí decidió no volver a la Unión Soviética, continuando sus estudios en la Universidad de Berlín. Allí tuvo como profesores a Sombart y a Bortkiewicz, dos estudiosos de la teoría de Marx (Leontief 1973). Ya el título de su tesis doctoral (de 1928): “La economía como un ‡ujo circular” (Die Wirtschaft als Kreislauf) re‡eja una idea que es ubicua en El Capital. En su tesis considera inapropiado comenzar con el ‘homo economicus’, que la economía debe comenzar por ‘lo objetivamente dado’ y que el análisis económico debe más bien enfocarse en el concepto de un ‡ujo circular, una característica ‘objetiva’ que es fundamental en la vida económica (Kurz y Salvadori 2003, 23).
14En Kurz y Salvadori (2000) hay una interesante reconstrucción histórica que avanza des-de William Petty y Richard Cantillon hasta Wassily Leontiev y Robert Remak (pasando por Quesnay, Isnard, Torrens, Marx, Dmitriev, Bortkiewicz y Charaso¤). También en el Apéndice C (“Notas históricas sobre el desarrollo del análisis insumo-producto de Leontief”) de Miller y Blair (2009) hay una síntesis histórica de cierto interés.
Luego de emigrar a EE.UU. y trabajar en el NBER durante 1931, Leontief fue invitado por Schumpeter (otro europeo exiliado que recibió gran in‡uencia de Marx antes de emigrar) a incorporarse a la Universidad de Harvard en 1932, donde comenzó a trabajar en una tabla de insumo-producto para la economía de EE.UU. Durante la Segundo Guerra Mundial también trabajó para la O¢ce of Strategic Services (OSS), predecesora de la CIA, en la construcción de una tabla de insumo-producto para la economía de Alemania (Miller y Blair 2008, Apéndice C.5, 731). En el ambiente ‘macartista’ y de Guerra Fría en el EE.UU. de pos-guerra, lo ‘políticamente correcto’ en la vida académica, sobre todo para un inmigrante de la URSS, era disimular todo lo posible sus tempranas in‡uencias. Es sugestivo que en su primer libro,The Structure of American Economy, publicado en plena guerra mundial (1941), Leontief sólo cita a Quesnay, Ricardo y Walras. Kurz y Salvadori escriben:
Si bien Leontief concebía su temprana contribución como …rmemente enraizada en la tradición clásica, se re…rió a su método de insumo-producto desarrollado en las décadas de 1930 y 1940 como ‘una adaptación de la teoría neoclásica del equilibrio general al estudio empírico de la interdependencia cuantitativa entre las actividades económicas inter-relacionadas’ (Leontief, 1966, 134). Sin embargo, la inspección muestra que en su análisis de insumo-producto conservó el concepto de ‡ujo circular y no adoptó, como mantienen algunos intérpretes, el punto de vista de la producción de Walras-Cassel. En la segunda edición de La Estructura de la Economía Americana, de 1951, hasta rechazó explíci-tamente la visión de la producción como una avenida unidireccional que va desde los servicios de los factores de producción ‘originales’: tierra, trabajo y capital –la ‘trinidad venerable’– a los bienes …nales (Leontief, 1951, 112). A diferencia de las teorías de Walras y Cassel, en Leontief no hay acervos iniciales dados de estos factores. Evitaremos especular sobre las razones del cambio en la caracterización de Leontief de su propio enfoque que parece haber ocurrido luego de su mudanza desde Europa a los EE.UU. (Kurz y Salvadori 2003, 26; traducción libre del original en inglés).
Dos décadas después, sin embargo, al iniciarse la década de la denominada détente con la Unión Soviética, escribió un prefacio laudatorio para el libro Pro-portions, Planning and Prices del economista húngaro András Bródy (1970), cuyo subtítulo es ‘una reformulación matemática de la teoría del valor-trabajo’. El libro se basaba explícitamente en la idea del ‡ujo circular de mercancías y parece haber impresionado a Leontief en forma muy favorable.15
Por último, también hicieron contribuciones sustanciales a la comprensión de diversos aspectos cuantitativos del análisis lineal del proceso productivo Dmitriev (1898), Bortkiewicz (1907), Charaso¤ (1910), von Neumann (1945 [1938]), Dorf-man, Samuelson y Solow (1958) y Sra¤a (1960), varios de los cuales usaron el formato matricial de la teoría de insumo-producto.
Las herramientas matemáticas que permiten actualmente tratar con facilidad los sistemas matriciales considerados en este libro recién estaban comenzando a
15Ver nuestra Nota Bibliográ…ca sobre el libro de Bródy en el Apéndice del Capítulo 8.
ser desarrolladas por matemáticos profesionales cuando escribía Marx. Si bien es cierto que los chinos de la dinastía Han (206 a.C.-220 d.C.) que escribieron los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático fueron aparentemente los primeros en utilizar métodos matriciales, los teoremas de Perron y de Frobenius se formularon y publicaron más de dos décadas después de la muerte de Marx en 1883. Perron publicó en 1907 su teoría de las matrices positivas (o sea, aquéllas que tienen todos sus elementos positivos) y Frobenius hizo grandes avances con su publicación de 1912 al extender la teoría a las matrices no-negativas (o sea, aquéllas cuyos elementos son números positivos y ceros).
Entre los que contribuyeron a la comprensión de diversos aspectos matemáti-cos de la teoría de Marx están Winternitz (1948), Seton (1957), Morishima y Se-ton (1961), Samuelson (1957, 1967, 1970, 1971), Bródy (1970), Morishima (1973), Bowles y Gintis (1978) y Abraham-Frois y Berrebi (1979). Lamentablemente, en muchos casos la aclaración de aspectos matemáticos de la obra de Marx ha ido acompañada de diversos grados de confusión con respecto a lo que Marx escribió o intentaba hacer en el plano teórico.
Apéndice Matemático
Se reproducen aquí, sin demostraciones, algunos teoremas de Gantmacher (1959), Karlin (1959), Nikaido (1978) y Lax (2007).
Primero se explicitan algunas cuestiones de notación. Todas las matrices tratadas en este trabajo son reales (sus elementos son números reales). SeaAes una matriz yqun vector. EntoncesA=0(oq=0) signi…ca que todos los elementos deA(oq) son no-negativos y se dice queA (oq) es no-negativa(o); A 0(oq 0) signi…ca que A = 0 y A 6= 0 (o q = 0 y q 6= 0) y se dice que A (o q) es semipositiva(o);
A >0(oq >0) signi…ca que todos los elementos de A(oq) son positivos y se dice queA (oq) espositiva(o).Aij es el elemento deA que está en la …lai y columnaj.
AT es la matriztranspuesta deA, o sea, la matriz cuyo elementoATij es el elemento Aji de A. jCjes el determinante de la matrizC.
Una matriz cuadradaB de dimensiónm m es una submatriz principal de una matriz cuadrada A de dimensión n n, si B se obtiene a partir deA eliminando cualesquiera n m …las y las mismas n m columnas (0< m < n).
Sea A una matriz real n n. Si existe un vectorx6= 0 de n de números reales tal que Ax= x (donde es un escalar real o complejo), entonces se denomina valor propio deA yxse denomina vector propio deA asociado a . Obsérvese que Ax= xpuede escribirse como( I A)x= 0. Si es valor propio deA, para que esta ecuación tenga solución x 6= 0 el determinante de la matriz I A debe ser cero, o sea, j I Aj = 0. Esta ecuación, denominada ecuación característica de A, es una ecuación polinomial en de grado n. Por el Teorema Fundamental del Álgebra, tiene en generalnraíces complejas. Las raíces de esa ecuación constituyen los valores propios deA. Se verá abajo que cuandoA =0, tiene al menos un valor propio no negativo (y por lo tanto real) y al mayor de esos valores propios no negativos le corresponde al menos un vector propio semipositivo x 0 (y por lo tanto real). Se dice que el valor propio de A es simple si es raíz simple de la ecuación característica deA.
Se dice que una matriz cuadrada A es descomponible (o reducible) si puede
dividirse N =f1;2; :::; ng en dos subconjuntos no-vacíos I 6= ? y J 6=? que son disjuntos (N = I[J y I \J =?) tales que Aij = 0 para todos losi 2 I, j 2J.
Si A no es descomponible, se dice que es indescomponible (o irreducible). A es indescomponible si y sólo si no existe matriz de permutación16 P tal que
P AP 1 = A1 0
A3 A2 (5.24)
dondeA1 y A2 son submatrices cuadradas, o sea, si no es posible permutar (de la misma manera) las …las y columnas deA de manera de ponerla bajo la forma del lado derecho de (5.24).
Si A1 o A2 (o ambas) son descomponibles, puede hacerse el mismo tipo de permutación de …las y columnas y así sucesivamente hasta llegar a laforma normal de una matriz descomponible (Gantmacher 1959):
A=
donde todas las submatrices de la diagonal principal son cuadradas e indescom-ponibles y en cada una de las …las de submatrices a partir de la …lag + 1 hay al menos una submatriz (sin contar la de la diagonal principal) distinta de cero. Esta forma normal es única con algunas salvedades. Por ejemplo, no se pierde la forma normal con cualquier permutación entre las primeras g matrices de la diagonal principal y también en ciertos casos algunas otras permutaciones que involucran a las matricesAg+1:::As.
En los siguientes Teoremas A siempre representa una matriz n n. Además, sus elementos son reales y no negativos (A=0) salvo que se indique otra cosa.
Teorema 1(Perron-Frobenius):
1) A tiene al menos un valor propio no-negativo = 0. Al mayor de éstos se denominavalor propio dominante y se representa como (A). Los valores absolutos de todos los demás valores propios de A no exceden de (A). Además, existe un vector propio x 0asociado a (A).
2) (A) es función creciente de todos los elementos de A, o sea, si B = A entonces (B)= (A).
3) Si es un número real e I la matriz identidad (de n n), entonces I A tiene inversa no-negativa( I A) 1 =0si y sólo si > (A).
4) El valor propio dominante deA es igual al de AT, o sea, (A) = AT . Teorema 2(Perron-Frobenius): Sea A indescomponible con n >1. Entonces:
1) El valor propio dominante (A)es positivo y tiene asociado un vector propio positivo x >0 que es único salvo factor escalar y que llamaremos el vector propio
16Una matriz de permutación es una matriz cuadrada que sólo tiene ceros y unos y tal que cada …la y cada columna tiene exactamente un elemento igual a 1.
dominante de A. Los valores absolutos de todos los demás valores propios de A son menores que (A).
2)Ay = y (y >0) tiene una única solución = (A).
3) (A)es función estrictamente creciente de todos los elementos de A, o sea, siB A entonces (B)> (A).
4) Si B es una submatriz principal de A entonces (B)< (A).
5) (A)es raíz simple de la ecuación característica j I Aj= 0.
6) (A)=m ni
P
jAij y (A)5maxj
P
iAij.
Teorema 3: Al valor propio dominante (A) de A le corresponde un vector propio positivo si y sólo si al poner aAen la forma normal para matrices descom-ponibles: 1) cada una deA1 ... Ag tiene a (A) como valor propio, y 2) (si g < s) ninguna deAg+1 ...As tiene a (A) como valor propio.
Teorema 4: Tanto A comoAT tienen un vector propio positivo asociado a su valor propio dominante (A)si y sólo siAes indescomponible o bien puede ponerse (mediante permutación de …las y columnas) en la forma ‘diagonal en bloques’, o sea, la forma normal para matrices descomponibles dondes=g.
Corolario: A es indescomponible si y sólo si su valor propio dominante (A) es raíz simple de la ecuación característica y tanto A como AT tienen un vector propio positivo asociado a (A).
Teorema 5: Sea A indescomponible. Entonces, si ( I A) tiene inversa no-negativa esa inversa es positiva, o sea,( I A) 1 >0.
Teorema 6: SiAtiene un vector propio no-negativo pero no positivo asociado a un valor propio positivo entonces es descomponible.
Teorema 7:
1) Si (A)<1=(1 + )entonces la serie(1 + ) I+ (1 + )A+ (1 + )2A2+:::
es convergente y su suma es 1
1 + I A
1
B( );
donde se ha introducidoB( ) para tener una notación conveniente que se usará a menudo en este libro.
2) Si la serie de 1) es convergente para algún1=(1 + )> 0, entonces (A) <
1=(1 + ) y la suma es B( ).
Corolario: (A)<1si y sólo si la serie I+A+A2+:::es convergente e igual a(I A) 1.
Teorema 8: Una matriz cuadrada es descomponible si y sólo si su transpuesta es descomponible.
Teorema 9: SeaA( )una matriz cuadrada cuyos elementos dependen en forma diferenciable del parámetro real . Si 0 es un valor propio de A(0) de multipli-cidad uno ( 0 es raíz simple del polinomio característico de A(0)), entonces para su…cientemente pequeño A( ) tiene un valor propio ( ) que depende en forma diferenciable de y tal que (0) = 0 (Lax 2007, 130).
Teorema 10: Sea A( ) una matriz cuadrada (al menos algunos de) cuyos elementos dependen en forma diferenciable del parámetro real y ( ) un valor propio deA( )de multiplicidad uno. Entonces puede elegirse un vector propioy( ) de A( ) correspondiente a ( ) que depende en forma diferenciable de . Se dice
“puede elegirse” debido simplemente a que un vector propio sólo está determinado en su estructura, o sea, hasta la multiplicación por un escalar (Ibíd.).
Capítulo 6 LA MERCANCíA Y LA PRODUCCIÓN MERCANTIL SIMPLE
La exposición en este libro de la teoría de Marx di…ere de la deEl Capital en su ordenamiento. El diseño arquitectónico de Marx de esa obra implicaba postergar algunos temas para los Libros II y III. La postergación más problemática para los críticos de Marx fue la de los ‘precios de producción’, lo que dio lugar a todo tipo de confusiones entre muchos economistas (comenzando por Böhm-Bawerk). Como hemos explicado, Marx no quería que la exposición de las complejidades del sistema de precios desviara la atención de otros temas que consideraba más importantes.
Sin embargo, el uso del análisis de insumo-producto y de la teoría de matrices permite abordar con facilidad los aspectos intersectoriales que a Marx le resultaba engorroso incluir en la presentación inicial de su compleja teoría. Por lo tanto, mientras Marx deja para el Libro II de El Capital el proceso de circulación del capital (junto con sus esquemas y análisis de la reproducción simple y ampliada) aquí será encarado de entrada pues permite exponer en forma matemáticamente clara diversos aspectos analíticos de la teoría de Marx, incluyendo la de los precios de producción. Pero en este libro se respetará el ordenamiento más básico de Marx de tratar sucesivamente la mercancía, el dinero y el capital. Es necesario respetar ese orden debido a que el dinero es una mercancía y el capital (en el sentido de Marx) adopta las formas de mercancía y de dinero (entre otras), por lo cual es imprescindible haber introducido esos conceptos antes. Por lo tanto, en el presente capítulo se hace una representación formal dela mercancía y la PMS, enfocándonos enel dinero en el Capítulo 7 y en el capital y la PMC en los capítulo siguientes.
Se distingue en el proceso socio-económico global la esfera (u órbita) de la producción de la esfera de la reproducción de los productores (o esfera del con-sumo). Se considera el consumo de los productores como proceso de reproducción de su existencia vital y en la PMS la producción tiene como …nalidad satisfacer las necesidades de consumo de los productores. Tal es la esencia del proceso ‘circular’
de la producción y reproducción. Los economistas clásicos, y también Marx, no se ocupaban de modelar las decisiones de los individuos sobre si comprar más man-zanas o más peras según los precios que encontraran en el mercado. Consideraban la canasta de consumo como un promedio de las compras resultantes de los hábitos y preferencias de los diferentes individuos. En esto Marx siguió el procedimiento usado por sus antecesores, partiendo de una canasta dada de consumo (promedio) de las diversas clases sociales. En la PMS de este capítulo hay una sola clase social:
la de los productores/trabajadores.
La proporcionalidad entre los diversos insumos y el trabajo en el análisis de corto plazo y en temas como la reproducción simple en el análisis de largo plazo es un tema recurrente en la teoría de Marx. Si bien las siguientes citas se re…eren a la PMC, se incluyen aquí pues ejempli…can un uso de la proporcionalidad por parte de Marx que es también válido para su PMS y, más en general, para el análisis de insumo-producto:1
... en la manufactura la ley férrea de la proporcionalidad adscribe
de-1Los énfasis son añadidos.
terminadas masas de obreros a determinadas funciones... (L1, 219).
... las proporciones en que se puede ampliar el proceso de producción no son arbitrarias, sino que se hallan sujetas a razones técnicas... (L2, 70).
Lo que interesa es que la parte del dinero invertida en medios de pro-ducción... sea, bajo cualesquiera circunstancias, su…ciente; es decir esté bien calculada de antemano, se moviliceen la proporción adecuada. Di-cho de otro modo, la masa de los medios de producción debe bastar para absorber la masa de trabajo, para que ésta pueda transformarla en producto. Si no contase con medios de producción su…cientes el com-prador, no tendría a qué dedicar el trabajo excedente de que dispone; su derecho a disponer de este trabajo no le servirá de nada. Y, por el con-trario, si existiesen más medios de producción que trabajo disponible, el trabajo no los absorbería y, por tanto, no se transformarían en producto (L2, 29).
A…rmaciones como éstas, así como los innumerables ejercicios numéricos de Marx, justi…can ampliamente el uso de lo que hoy se denomina ‘funciones de pro-ducción de coe…cientes …jos’ para representar la transformación de los insumos y el trabajo en productos en la concepción de Marx. Sin embargo, en la teoría de Marx esos coe…cientes técnicos pueden variar entre un período y el siguiente, a veces cíclicamente y a veces tendencialmente. Sólo están necesariamente …jos du-rante cada período de tiempo. Por ejemplo, cuando Marx considera los efectos de un año con malas condiciones climáticas que hacen que la producción agrícola sea menor que de costumbre, señala que tiene el efecto de aumentar la cantidad de trabajo necesario por unidad de producto. Por otro lado, si se producen mejoras tecnológicas en una rama de producción a lo largo del tiempo, algunos de los
A…rmaciones como éstas, así como los innumerables ejercicios numéricos de Marx, justi…can ampliamente el uso de lo que hoy se denomina ‘funciones de pro-ducción de coe…cientes …jos’ para representar la transformación de los insumos y el trabajo en productos en la concepción de Marx. Sin embargo, en la teoría de Marx esos coe…cientes técnicos pueden variar entre un período y el siguiente, a veces cíclicamente y a veces tendencialmente. Sólo están necesariamente …jos du-rante cada período de tiempo. Por ejemplo, cuando Marx considera los efectos de un año con malas condiciones climáticas que hacen que la producción agrícola sea menor que de costumbre, señala que tiene el efecto de aumentar la cantidad de trabajo necesario por unidad de producto. Por otro lado, si se producen mejoras tecnológicas en una rama de producción a lo largo del tiempo, algunos de los