��.�. ANWENDUNG: CLIQUEN- UND FÄRBUNGSZAHL EINES GRAPHEN ��
��.�. ANWENDUNG: CLIQUEN- UND FÄRBUNGSZAHL EINES GRAPHEN
EinGraph(im Unterschied zu einem gerichteten Graph, was wir beim letzten Mal de-
�niert hatten) besteht aus einer MengeN (”Knoten“) und einer symmetrischen Relation E⊂N×N(”Kanten“). Sindm,n∈NKnoten mit(m,n)∈E, dann sagt man, dassmundn durch eine Kanteverbundensind. Wie zuvor nehmen wir stets an, dass es keine Schleifen gibt, also keine Kanten, die einen Knoten mit sich selbst verbinden.
De�nition��.�. Es seiΓ=(N,E)ein Graph.
(�) EineCliqueinΓist eine TeilmengeC ⊂ N von Knoten derart, dass je zwei ver- schiedene Knoten inC durch eine Kante verbunden sind. Die Mächtigkeit einer maximalen Clique inΓheißt dieCliquenzahlvonΓund wird mitω(Γ)bezeichnet.
(�) Eine k-Färbung vonΓist eine Abbildungφ∶N → {�, . . . ,k}mit der Eigenscha�
φ(m)≠φ(n)für alle(m,n)∈E. Die kleinste Zahlkderart, dassΓeinek-Färbung besitzt heißt dieFärbungszahlvonΓund wird mitχ(Γ)bezeichnet.
Es giltω(Γ)� χ(Γ), da einek-Clique keine Färbung mit weniger alskFarben haben kann.
Der berühmteVier-Farben-Satz(bewiesen����durch K. Appel und W. Haken) besagt, dass sich jede Landkarte (mit zusammenhängenden Ländern) durch vier Farben so färben lässt, dass je zwei Länder, die eine echte Grenze miteinander haben, verschiedene Farben haben. Formalisiert wird dies zu der Aussage, dass jeder ebene Graph (d.h. ein Graph der sich ohne Überkreuzungen von Kanten inR� einbetten lässt) eine Vierfärbung besitzt.
Im allgemeinen ist es rechnerisch sehr aufwendig (”NP-vollständig“) die Cliquen- oder Färbungszahl für einen gegebenen Graph zu ermitteln oder auch nur gut zu approximieren.
Zum Beispiel kann ein ebener Graph auch eine Dreifärbung besitzen, die aber im allgemei- nen nicht leicht zu�nden ist. (Diese Tatsache kann man sich auch in der Kryptographie zunutze machen.) Einer der ersten wichtigen Sätze (bewiesen von L. Lovász im Jahr����), der die Nützlichkeit der semide�niten Programmierung für die kombinatorische Optimie- rung aufgezeigt hat, besagt jedoch, dass es ein duales Paar von semide�niten Programmen gibt, deren optimaler Wert eine Zahl�(Γ)mit der Eigenscha�ω(Γ) � �(Γ)� χ(Γ)ist.
Die Funktion�∶Γ��(Γ)heißt dieLovászsche�eta-Funktion�Wir beschreiben nun, wie das entsprechende semide�nite Programm gebaut wird:
Konstruktion��.�. Es sei Γ = (N,E)ein Graph mit nKnoten N = {�, . . . ,n}. Für i,j ∈ {�, . . . ,n}seiAi jdie Matrix mitai j= aji =�und alle anderen Einträge gleich�. SeiJdie n×n-Matrix, deren Einträge alle gleich�sind undIdien×n-Einheitsmatrix.
�Es besteht kein Zusammenhang mit den diversen Typen von�eta-Funktionen in der komplexen Ana- lysis, Zahlentheorie und algebraischen Geometrie.
�� ��. SEMIDEFINITE PROGRAMMIERUNG
Wir de�nieren das folgendePrimäre Programm:
(P)
Finde �(Γ)=sup�J,X�=−inf�−J,X�
unter �Ai j,X�=�füri< jmit(i,j)∉E tr(X)=�I,X�=�
X��
�����
�������
�
in der VariablenX∈Symn.
Übung��.�. Wie sieht das duale Programm dazu aus?
Bemerkung��.�. Das Programm (P) und sein Dual haben keine Dualitätslücke. Denn die Matrix n�Iist ein zulässiger Punkt von (P). Außerdem istIpositiv de�nit und beschreibt eine der Nebenbedingungen in (P). Nach Satz��.�gibt es deshalb keine Dualitätslücke.
Satz��.�(Lovász). IstΓ=(N,E)ein Graph und (P) wie oben, dann gilt ω(Γ)��(Γ)� χ(Γ).
Beweis. Als erstes kümmern wir uns um die Cliquenzahl: Es seiW ⊂ N eine Clique und seik=�W�. Seix=(x�, . . . ,xn)der Vektor
xi=� � fallsi∈W
� fallsi∉W
und setze X =(��k)⋅xxT. Dann istXein zulässiger Punkt von (P) und es gilt�J,X�= k und damit�(Γ)�ω(Γ).
Jetzt kommt die Färbungszahl dran. Es seiXein zulässiger Punkt von (P) (z.B.X= n�I).
DaXpositiv semide�nit ist, gibt es nach Prop.�.�eine MatrixU∈MatnmitX=UTU. Es seienu�, . . . ,undie Spalten vonU, so dass�ui,uj�=xi jgilt.
Sei nunφ∶N → {�, . . . ,k} einek-Färbung von Γ. Da X ein zulässiger Punkt ist, gilt xi j=�, wann immerφ(i)=φ(j). Wegen tr(X)=�I,X�=�gilt außerdem
�n
i=���ui���=�.
Für jede Farbe�� j�kde�nieren wir einen Vektor wj= �
i∶φ(i)=jui. Es gilt dann
��wj���= �
i�,i�∶φ(i�)=φ(i�)=j�ui�,ui��= �
i∶φ(i)=j��ui���,
die zweite Gleichheit weil die Summanden in der Mitte füri�≠i�gleich�sind, und damit
�k
j=���wj���=�.
Wegen∑kj=�wj=∑ni=�uigilt außerdem
�J,X�=���k
j=�wj������k
j=���wj����.
Nach der nachfolgenden Aufgabe folgt daraus nun�J,X��kund damit�(Γ)� χ(Γ). ⇤ Übung��.�. Es seienα�, . . . ,αkreelle Zahlen mit∑ki=�α�i =�. Zeige, dass∑ki=�αi�√
kgilt.
Übung��.�. Es sei Γdas Fünfeck mit Knoten�,�,�,�,�und Kanten(�,�),(�,�),(�,�),(�,�), (�,�). Zeige, dassω(Γ)=�,χ(Γ)=�, und�(Γ)=√
�gelten.
