Zeigen Sie, dass der abgebildete Graph nicht serien-parallel ist.

4. Übungsblatt

Automatisches Zeichnen von Graphen

Prof. Dr. Jens M. Schmidt, Dr. Alexander Apke, Arne Heimendahl, David Könen und Robin Kühling.

Aufgabe 1: Sein oder nicht sein (10 Punkte)

Zeigen Sie, dass der abgebildete Graph nicht serien-parallel ist.

s t c

a b

d

Aufgabe 2: Dekompositionsbäume (10 Punkte)

Sei G ein schlichter serien-paralleler Graph mit n Knoten und m Kanten. Zeigen Sie, dass jeder Dekompositionsbaum T von G höchstens O(n + m) (= O(n), da serien-parallele Graphen planar sind) Knoten hat.

Aufgabe 3: Charakterisierung von Serien-Parallelen Graphen (10 Punkte) Sei G ein serien-paralleler Graph mit n Knoten, Quelle s und Senke t. Für einen von s und t verschiedenen Knoten v, der genau zwei Nachbarn u und w hat und zu diesen mit jeweils genau einer Kante verbunden ist, definieren wir die Operation Unterdrücken wie folgt. Wir löschen den Knoten v aus der Knotenmenge V (G) und ersetzen die beiden Kanten uv und vw durch die Kante uw. Die zum Unterdrücken inverse Operation, bei der ein Knoten v zu V (G) hinzugefügt und die Kante uw durch die beiden Kanten uv und vw ersetzt wird, nennen wir das Unterteilen der Kante uw mit Knoten v.

Beweisen Sie folgende alternative Charakterisierung für serien-parallele Graphen:

(A) Ein Graph G ist genau dann serien-parallel, wenn sich der K

erzeugen lässt, indem in G iterativ Knoten unterdrückt oder parallele Kanten gelöscht werden.

Gehen Sie dazu wie folgt vor: Zeigen Sie die folgenden Hilfsresultate (B)–(E) und folgern Sie aus diesen anschließend die gewünschte Aussage (A).

(B) In der Vorlesung wurde gezeigt, dass für einen serien-parallelen Graph gilt,

dass jeder von s und t verschiedenen Knoten mindestens Grad 2 hat. Zeigen

Sie, dass sogar gilt, dass jeder serien-parallele Graph, der einen von s und t verschiedenen Knoten enthält, auch einen von s und t verschiedener Knoten enthält, der genau zwei Nachbarn hat.

(C) Ein serien-paralleler Graph G enthalte die Kante e = st und mindestens einen von s und t verschiedenen Knoten. Zeigen Sie, dass dann G − e serien-parallel ist.

(D) Sei G

der Graph, der aus einem Graph G entsteht, indem die zu einer Kante e parallele Kante f hinzugefügt wird. Zeigen Sie, dass G

genau dann serien- parallel ist, wenn G serien-parallel ist.

(E) Sei G

der Graph, der aus einem Graph G entsteht, indem die Kante uv unter- teilt wird. Zeigen Sie, dass G

genau dann serien-parallel ist, wenn G serien- parallel ist.

Aufgabe 4: Erkennen von Serien-Parallelen Graphen (10 Punkte)

Nutzen Sie die Aussage (A) der vorigen Aufgabe, um einen Algorithmus in Zeit

O(n) anzugeben, der berechnet, ob der Eingabegraph G serien-parallel ist, und,

falls ja, einen Dekompositionsbaum T von G (implizit) beschreibt.