Prof.Dr. W.Koepf
Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung¨
Ubungsblatt 04¨ Grundlagen der Algebra & Computeralgebra 12.11.2008
Aufgabe 1: (RSA - Schlechte Wahl der Primzahlen)
F¨ur das RSA-Verfahren berechnet man zun¨achst zwei Primzahlen p und q, und bildet dann das Produktn =p·q. Die Zahln ist sp¨ater global bekannt,p undq werden geheim gehalten. Sindp, q dicht beieinander, so k¨onnen sie mit Fermats Faktorisierungs-Methode berechnet werden:
Ist n=p·q mit p > q, so ist
n=
p+q
2 2
−
p−q
2 2
.
Folglich erh¨alt man f¨urp =d√
ne+ ˆp undq =d√
ne+ ˆq die Gleichung
d√
ne+pˆ+ ˆq 2
2
−n=
pˆ−qˆ 2
2
.
1. Erkl¨aren Sie, wie man mit Hilfe der letzten Gleichung die Faktoren vonnberechnen kann und implementieren Sie Ihren Algorithmus.
2. Benutzen Sie das Verfahren, um die folgende Zahl zu faktorisieren:
4143977748966434243307454492626122211734875100576213552709682305695820526691442409 (8 Punkte)
Aufgabe 2: (RSA)
Diese Aufgabe benutzt die Notationen zum RSA-Verfahren, wie sie in der Vorlesung verwendet wurden.
1. Zeigen Sie, dass f¨ur eine Nachricht N
EtB VsB(N)
=N gilta.
2. Zeigen Sie, dass die Kenntnis einer der Zahlen p, q oder ϕ die unkomplizierte Berechnung des privaten Schl¨usselsd erm¨oglicht.
3. Das RSA-Verfahren hat leider Fixpunkte, d.h. es gibt Texte, deren Kryptogramm mit dem Original ¨ubereinstimmt. Die Wahrscheinlichkeit hierf¨ur ist allerdings bei gen¨ugend großem n sehr gering. Zeigen Sie, dass bei der
”ungeschickten“ Wahl e = 1 + lcm(p−1, q−1) jede Verschl¨usselung einen Fixpunkt liefert.
4. Zeigen Sie, dass das RSA-Verfahren korrekt bleibt, wenn wirϕ= lcm(p−1, q−1) w¨ahlen.
(8 Punkte)
aEtB(C) = mod(Cd, n) undVsB(N) = mod(Ne, n), wobeisB= (e, n) undtB=d.
Abgabetermin:bis sp¨atestens Mittwoch, 19.11.2008, 10.15 Uhr in der ¨Ubung.
