SS 2004
Prof.Dr. G. Nebe
Andreas Martin Blatt 13
Ubungen zur Linearen Algebra¨
Abgabe : Dienstag 20.7.2004, 14.15 Uhr vor den ¨Ubungen
1. Bestimmen Sie jeweils eine unit¨are MatrixU so, daßU∗AU Diagonalgestalt hat.
(i) A:=
4 −i −i i 4 1 i 1 4
∈C3×3.
(ii) A:=
1 2 1 −2
−2 1 2 1
1 −2 1 2
2 1 −2 1
∈C4×4.
(3+4 P.) 2. Es sei Q(x, y) := 9x2 −4xy+ 6y2+ 16x−8y−2 f¨ur x, y ∈R.
(i) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix U ∈R2×2 und x0, y0 ∈ R so, daß f¨ur xy
=U ηξ + xy0
0
gilt
Q(x, y) = 5ξ2+ 10η2−10. (ii) Skizzieren Sie die Quadrik MQ :={ xy
∈R2×2|Q(x, y) = 0}.
(4 P.) 3. Es sei Q(x, y) :=x2−2xy+y2−10x−6y+ 25 f¨ur x, y ∈R.
(i) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix U ∈R2×2 und x0, y0 ∈ R so, daß f¨ur xy
=U ηξ + xy0
0
gilt
Q(x, y) = 2η2 −8√ 2ξ . (ii) Skizzieren Sie die Quadrik MQ :={ xy
∈R2×2|Q(x, y) = 0}.
(4 P.) 4. Es seien n ∈ N und A, B ∈ Cn×n. Es sei |.| die euklidische Norm auf Cn,
d.h.|X|=p
Φ(X, X) f¨ur alleX ∈Cn, wobei Φ das Standardskalarprodukt sei. Zeigen Sie.
(i) Sind A und B hermitesch mit X∗AX = X∗BX f¨ur alle X ∈ Cn, so gilt A =B.
(ii) A ist genau dann normal, wenn |AX|=|A∗X| gilt f¨ur alle X ∈Cn. (iii) A ist genau dann unit¨ar, wenn |AX|=|X| gilt f¨ur alle X ∈Cn.
(je 2 P.) 5. Es sei A ∈ Cn×n positiv semidefinit. Zeigen Sie, daß es genau eine positiv semidefinite MatrixB ∈ Cn×n gibt mit A =B2. (Man schreibt dann auch B :=√
A.)
(3 P.)
Tutoriumsaufgaben:
1. Es sei A :=
1 0 2 0 5 0 2 0 4
∈R3×3. Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix O so, daß OtrAO Diagonalgestalt hat.
2. Es sei A :=
0 2 2
−2 0 1
−2 −1 0
∈ C3×3. Bestimmen Sie eine unit¨are Matrix U so, daß U∗AU Diagonalgestalt hat.
