Dr. E. Viehmann WS 2009/10 Algebra II – Kommutative Algebra 8. ¨Ubungsblatt Aufgabe 1: Sei α ∈ R \ Q positiv. Sei v : k(X, Y ) → R ∪ {∞} definiert durch v( X

Dr. E. Viehmann WS 2009/10

Algebra II – Kommutative Algebra 8. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 1:

Sei α∈R\Qpositiv. Seiv:k(X, Y)→R∪ {∞}definiert durch

v( X

n,m≥0

an,mXⁿY^m) = min{n+mα|an,m6= 0}

undv(P/Q) =v(P)−v(Q) fallsP, Q∈k[X, Y] mitQ6= 0.

a) vdefiniert eine Bewertung mit Wertegruppe Z+Zα.

b) Geben Sie ein Ideal des zugeh¨origen Bewertungsrings an, das nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe 2:

Sei v eine Bewertung eines K¨orpers K mit Wertegruppe Gund Bewertungsring A. Eine Unter- gruppe H⊆Gheißt isoliert, falls f¨ur 0≤g¹≤g²in Gmitg²∈H gilt, daßg¹∈H.

a) Ist p ⊆ A ein Primideal, so ist v(A\p) die Menge aller Elemente ≥ 0 einer isolierten Untergruppe vonG.

b) Zeigen Sie, daß dies eine Bijektion zwischen den Primidealen von Aund den isolierten Un- tergruppen vonGinduziert.

Aufgabe 3:

Sei veine Bewertung eines K¨orpersK.

a) Sindx, y∈K mitv(x)6=v(y), so ist v(x+y) = min{v(x), v(y)}.

b) Sind x1, . . . , xn∈K^× mitx1+· · ·+xn= 0, so gibt esi6=jmit v(xi) =v(xj).

Aufgabe 4:

Sei K ⊆ L eine algebraische K¨orpererweiterung vom Grad n. Sei B ein Bewertungsring von L mit maximalem IdealmB und zugeh¨origer Bewertungv :L։G∪ {∞}. SeiA =K∩B. Zeigen Sie, daß Awieder ein Bewertungsring ist. Seim_A das maximale Ideal. Zeigen Sie, daßl =B/mB

eine Erweiterung vonk =A/mA ist. Seif ihr Grad. SeiG^′ das Bild vonK^× unter v: L^× →G, und sei |G:G^′|=e. Zeigen Sie, daßef ≤n. Die Zahlen eund f heißen Verzweigungsindex und Tr¨agheitsgrad der ErweiterungA⊆B.

Hinweis:Verwenden Sie Aufgabe 3, umef ¨uberKlinear unabh¨angige Elemente zu konstruieren.

Abgabe: Donnerstag, 10. Dezember 2009.

Homepage:

http://www.math.uni-bonn.de/people/viehmann/kommalg/

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