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Dr. E. Viehmann WS 2009/10 Algebra II – Kommutative Algebra 4. ¨Ubungsblatt Aufgabe 1: Sei A ein Ring und p ∈ Spec(A) ein Primideal. Zeigen Sie, daß das Bild von Spec(A

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Dr. E. Viehmann WS 2009/10

Algebra II – Kommutative Algebra 4. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 1:

Sei A ein Ring undp ∈Spec(A) ein Primideal. Zeigen Sie, daß das Bild von Spec(Ap) unter der kanonischen Abbildung nach Spec(A) der Schnitt aller offenen Umgebungen vonp∈Spec(A) ist.

Aufgabe 2:

SeiAein Ring und seienS, Tzwei multiplikative Teilmengen vonA. SeiTedas Bild vonT inS−1A.

Sei ST die vonS, T erzeugte multiplikative Teilmenge. Zeigen Sie, daß (ST)−1A∼=Te−1(S−1A).

Aufgabe 3:

Sei Aein Ring undp⊆Aein Primideal. F¨urn∈Nseip(n)=pnAp∩A.

1. p(n) ist ein Prim¨arideal mit Radikalp.

2. pn ist genau dann prim¨ar wennpn=p(n).

Aufgabe 4:

Sei A ein noetherscher Ring und x ∈ A weder eine Einheit noch ein Nullteiler. Zeigen Sie, daß AssA(A/xA) = AssA(A/xnA) f¨ur jedes n≥1.

Abgabe: Donnerstag, 12. November 2009.

Homepage:

http://www.math.uni-bonn.de/people/viehmann/kommalg/

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