Dr. E. Viehmann WS 2009/10
Algebra II – Kommutative Algebra 1. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 1:
1. Seipein Primideal eine RingesA. Zeigen Sie, daßp[x] ein Primideal des PolynomringesA[x]
ist.
2. Seimein maximales Ideal vonA. Ist m[x] ein maximales Ideal vonA[x]?
Aufgabe 2:
Seien A, B Ringe. Zeigen Sie, daß es einen Hom¨oomorphismus zwischen Spec(A×B) und der disjunkten Vereinigung Spec(A)⊔Spec(B) gibt, wobei Spec(A), Spec(B) beide offen und abge- schlossen in der Vereinigung sind.
Hinweis: Zeigen Sie dazu, daß jedes Primideal von A×B von der Form p×B oder A×q mit Primidealenp,qist.
Aufgabe 3:
SeiA6= 0 ein Ring. Zeigen Sie, daß die Menge der Primideale vonAminimale Elemente bez¨uglich der Inklusion besitzt.
Aufgabe 4:
Ein nichtleerer topologischer RaumX heißt irreduzibel, falls je zwei offene nichtleere Teilmengen nichtleeren Schnitt haben. Dies ist ¨aquivalent dazu, daß der Abschluß jeder offenen nichtleeren Teilmenge gleichX ist.
1. IstY ⊆X ein irreduzibler Unterraum vonX, so ist auch der AbschlußY vonY irreduzibel.
2. Jeder irreduzible Unterraum vonXist in einem maximalen irreduziblen Unterraum enthalten.
Die maximalen irreduziblen Unterr¨aume vonX sind abgeschlossen und ¨uberdecken X. Sie werden als irreduzible Komponenten vonX bezeichnet.
3. Ist X = Spec(A) f¨ur einen Ring A und p ⊂A ein Primideal, so ist V(p)⊆ X irreduzibel.
Die irreduziblen Komponenten von X sind die abgeschlossenen Mengen V(p) wobei p ein minimales Primideal vonAist (vgl. Aufgabe 3).
Abgabe: Donnerstag, 22. Oktober 2009.
Homepage:
http://www.math.uni-bonn.de/people/viehmann/kommalg/
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