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Dr. E. Viehmann WS 2009/10 Algebra II – Kommutative Algebra 11. ¨Ubungsblatt Aufgabe 1: Zeigen Sie, daß es genau ein Repr¨asentantensystem von F

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Academic year: 2021

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Dr. E. Viehmann WS 2009/10

Algebra II – Kommutative Algebra 11. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 1:

Zeigen Sie, daß es genau ein Repr¨asentantensystem vonFp=Zp/(p) in Zp gibt, das unter Multi- plikation abgeschlossen ist.

Hinweis:Verwenden Sie (ohne Beweis) den kleinen Satz von Fermat.

Aufgabe 2:

SeiAein noetherscher Ring,I⊆Aein Ideal undAbdieI-adische Komplettierung vonA. Ist dann x∈Akein Nullteiler, so ist das Bild vonxinAbebenfalls kein Nullteiler.

Aufgabe 3:

Sei Aein noetherscher Ring. Zeigen Sie, daßA[[X1, . . . , Xn]] eine treuflacheA-Algebra ist.

Aufgabe 4 (Satz ¨uber inverse Funktionen):

Sei R ein Ring und seien f1, . . . , fn ∈ R[[X1, . . . , Xn]] mit konstanten Koeffizienten 0. Sei ϕ : R[[X1, . . . , Xn]]→R[[X1, . . . , Xn]] mitXi7→fi. SeiJ die Jacobi-Matrix (∂fi/∂Xj)i,j.Zeigen Sie, daß ϕgenau dann ein Isomorphismus ist, wenn det(J(0)) eine Einheit inRist.

Abgabe: Donnerstag, 14. Januar 2010.

Homepage:

http://www.math.uni-bonn.de/people/viehmann/kommalg/

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