Aufgabe 1 Geben Sie einen geeigneten regul¨ aren Ausdruck f¨ ur die ganzen Zahlen an. Achten Sie darauf, f¨ uhrende Nullen und −0 auszuschließen.

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Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Compilerbau I SS 2021

Ubungsblatt 1 ¨

Aufgabe 1 Geben Sie einen geeigneten regul¨ aren Ausdruck f¨ ur die ganzen Zahlen an. Achten Sie darauf, f¨ uhrende Nullen und −0 auszuschließen.

L¨ osung:

Sei Σ = {0, . . . , 9, −}. Der regul¨ are Ausdruck ist dann 0 | −?[1 − 9][0 − 9]

^∗

∈ E

_Σ

.

Mit anderen Worten J 0 | −?[1 − 9][0 − 9]

^∗

K = Z . Hierbei steht [i − j] f¨ ur {i, . . . , j} (siehe Aufgabe 3).

Aufgabe 2 Sei Σ ein endliches Alphabet. Zu r ∈ E

_Σ

und m, n ∈ N mit m ≤ n soll r{m, n} f¨ ur mindestens m und h¨ ochstens n Wiederholungen von r stehen.

(a) Definieren Sie J r{m, n} K formal.

L¨ osung:

J r{m, n} K = [ { J r K

i

| m ≤ i ≤ n}

(b) Zeigen Sie, dass sich r{m, n} als abk¨ urzende Schreibweise (eines re- gul¨ aren Ausdrucks) auffassen l¨ asst.

L¨ osung:

Zun¨ achst definieren wir f¨ ur i ∈ N den Ausdruck r

ⁱ

:= r ◦ · · · ◦ r

| {z }

imal

, wobei wir r

⁰

= ε setzen. Es gilt offensichtlich, dass J r

ⁱ

K = J r K

i

. Der Ausdruck r{m, n} l¨ asst sich dann schreiben als r

^m

| r

^m+1

| · · · | r

ⁿ

. Es gilt, dass

J r

^m

| r

^m+1

| · · · | r

ⁿ

K = J r

^m

K ∪ J r

^m+1

K ∪ · · · ∪ J r

ⁿ

K

= [ { J r K

i

| m ≤ i ≤ n}

= J r{m, n} K .

Aufgabe 3 Sei Σ ein endliches, nichtleeres Alphabet. In der Vorlesung wird die Schreibweise [a − b] f¨ ur a, b ∈ Σ verwendet, was

” alle Symbole von a bis b“ bedeutet.

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(2)

(a) Definieren Sie J [a − b] K formal. Welche Eigenschaft ben¨ otigen Sie f¨ ur Σ?

L¨ osung:

Wir ben¨ otigen eine totale Ordnung ≤ ⊆ Σ × Σ. Da Σ endlich ist, l¨ asst es sich auch als eine Menge Σ = {a

1

, . . . , a

n

} f¨ ur n ∈ N , n ≥ 1 auffassen. Wir nehmen ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit an, dass a

₁

< · · · < a

_n

gilt. Sei a = a

_i

und b = a

_j

f¨ ur i, j ∈ {1, . . . , n}. Wir definieren dann

J [a − b] K = {a

i

, a

i+1

, . . . , a

j

}.

(b) Zeigen Sie außerdem, dass auch [a − b] sich als abk¨ urzende Schreibweise auffassen l¨ asst. Was sollte hier f¨ ur a und b gelten?

L¨ osung:

Sei a = a

_i

und b = a

_j

wie in der vorherigen Aufgabe. Wenn i > j, dann gilt J [a − b] K = ∅, wof¨ ur wir leider keinen regul¨ aren Ausdruck haben.

Diesen Fall m¨ ussen wir also ausschließen. Sei deshalb i ≤ j. Dann l¨ asst sich [a − b] auffassen als a

_i

| a

_i+1

| · · · | a

_j