die regul¨ aren Sprachen sind unter allen Booleschen Operationen abgeschlossen.

(1)

3. Anwendung der Unentscheidbarkeitsresultate auf kontextfreie Sprachen

Wie wir gesehen haben, gilt:

1

die regul¨ aren Sprachen sind unter allen Booleschen Operationen abgeschlossen.

2

die kontextfreien Sprachen sind nicht unter Komplement und Durchschnitt abgeschlossen.

K¨ onnen wir entscheiden, ob der Durchschnitt zweier kontextfreier

Sprachen leer ist?

(2)

Sie M eine (beliebige) TM (mit nur einem Band) mit Bandalphabet Σ und Zustandsmenge Q, sei # 6∈ Σ ∪ Q.

Definition 153 Definiere die Sprachen

C _M ⁽⁰⁾ := {c ₀ #c ^R ₁ #c ₂ #c ^R ₃ . . . c ^R _2m+1 ; m ≥ 0, c _i ist Konfi- guration von M , c 0 ist Anfangskonfiguration auf leerem Band, c _2m+1 ist Endkonfiguration oder c _2m = c _2m+1 und c _2m ist Endkonfiguration, und c 2j+1 ist Nachfolgekonfiguration von c 2j f¨ ur alle j }

C _M ⁽¹⁾ := {c ₀ #c ^R ₁ #c ₂ #c ^R ₃ . . . c ^R _2m+1 ; wie oben, jetzt aber:

c _2j ist Nachfolgekonfiguration von c 2j−1 f¨ ur alle zutreffenden j ≥ 1}

Info IV 3.0 Unentscheidbarkeit 236/241

c

Ernst W. Mayr

(3)

Bemerkung: C _M ⁽⁰⁾ enth¨ alt nicht nur

” echte“ Rechnungen von M , da c 2j−1 → c _2j nicht unbedingt ein Schritt sein muss; das fordern wir jeweils nur f¨ ur c 2j → c 2j+1 .

Lemma 154

Die Sprachen C _M ⁽⁰⁾ und C _M ⁽¹⁾ sind deterministisch kontextfrei.

Beweis:

Es ist einfach, jeweils einen DPDA daf¨ ur zu konstruieren.

(4)

Bemerkung: Ein Kellerautomat ist lange nicht so m¨ achtig wie eine Turingmaschine. Aber zwei Kellerautomaten (oder eine endliche Kontrolle mit zwei Kellern) sind so m¨ achtig wie eine

Turingmaschine (siehe ¨ Ubung).

Lemma 155

w ∈ H ₀ ⇔ C _M ⁽⁰⁾

w

∩ C _M ⁽¹⁾

w

6= ∅

Beweis:

Unmittelbar aus der Definition der beiden Sprachen!

Bemerkung: Falls M _w deterministisch ist und w ∈ H ₀ , dann enth¨ alt C _M ⁽⁰⁾

w

∩ C _M ⁽¹⁾

w

genau ein Element, n¨ amlich die eine Rechnung von M w auf leerem Band.

c

Ernst W. Mayr

(5)

Satz 156

Das Schnittproblem f¨ ur kontextfreie Sprachen ist unentscheidbar!

Beweis:

siehe oben

Wir haben sogar gezeigt: Das Schnittproblem f¨ ur deterministisch

kontextfreie Sprachen ist unentscheidbar!

(6)

In der Literatur wird dieser Satz ¨ ublicherweise mit dem Post’schen Korrespondenzproblem (PCP) bewiesen, das nach Emil Post (1897–1954) benannt ist.

Definition 157 (Post’sches Korrespondenzproblem) Gegeben: (x ₁ , y ₁ ), (x ₂ , y ₂ ), . . . (x _n , y _n ) mit x _i , y _i ∈ Σ ⁺

Frage: gibt es eine Folge von Indizes i 1 , i 2 , . . . i r ∈ {1, . . . , n}, so dass

x _i

₁

x _i

₂

. . . x _i

_r

= y _i

₁

y _i

₂

. . . y _i

_r

?

Satz 158

PCP ist unentscheidbar.

c

Ernst W. Mayr

(7)

Beweis:

Wir skizzieren, wie man mit Hilfe des PCP die Berechnung einer (det.) TM simulieren kann. Wir haben dazu (u.a.) Paare

(a, a) f¨ ur alle a ∈ Σ

(u ₁ u ₂ u ₃ , aqb) gem¨ aß der inversen ¨ Ubergangsfkt der TM, mit a, b ∈ Σ, q ∈ Q und u 1 , u 2 , u 3 ∈ Σ ∪ Q

Dies bedeutet, dass die TM bei der lokalen Konfiguration aqb diese

im n¨ achsten Schritt zu u 1 u 2 u 3 ¨ andert.

(8)

Beweis:

Die allgemeine Situation sieht dann so aus, dass eine geeignete Indexfolge i 1 , . . . , i k folgende Zeichenreihen erzeugt:

x c ₁ . . . c r−1 x ₁ . . . x i−1 q x _i x _i+1 . . . x _s y c ₁ . . . c r−1

Es m¨ ussen nun die einzelnen x i durch Paare der Form (a, a) gematcht werden, lediglich x i−1 qx _i kann nur durch (genau bzw.

h¨ ochstens) ein Paar der zweiten Form gematcht werden.

Damit ergibt sich wieder die allgemeine Situation wie oben, mit r um 1 erh¨ oht, und man kann das Argument per Induktion

abschließen.

Wir ¨ uberlassen es als ¨ Ubungsaufgabe herauszufinden, wie auch Anfang und Ende der TM-Berechnung geeignet durch das PCP simuliert werden k¨ onnen.

c

Ernst W. Mayr

die regul¨ aren Sprachen sind unter allen Booleschen Operationen abgeschlossen.

3. Anwendung der Unentscheidbarkeitsresultate auf kontextfreie Sprachen

Wie wir gesehen haben, gilt:

die regul¨ aren Sprachen sind unter allen Booleschen Operationen abgeschlossen.

die kontextfreien Sprachen sind nicht unter Komplement und Durchschnitt abgeschlossen.

K¨ onnen wir entscheiden, ob der Durchschnitt zweier kontextfreier

Sprachen leer ist?

Sie M eine (beliebige) TM (mit nur einem Band) mit Bandalphabet Σ und Zustandsmenge Q, sei # 6∈ Σ ∪ Q.

Definition 153 Definiere die Sprachen

C M (0) := {c 0 #c R 1 #c 2 #c R 3 . . . c R 2m+1 ; m ≥ 0, c i ist Konfi- guration von M , c 0 ist Anfangskonfiguration auf leerem Band, c 2m+1 ist Endkonfiguration oder c 2m = c 2m+1 und c 2m ist Endkonfiguration, und c 2j+1 ist Nachfolgekonfiguration von c 2j f¨ ur alle j }

C M (1) := {c 0 #c R 1 #c 2 #c R 3 . . . c R 2m+1 ; wie oben, jetzt aber:

c 2j ist Nachfolgekonfiguration von c 2j−1 f¨ ur alle zutreffenden j ≥ 1}

Bemerkung: C M (0) enth¨ alt nicht nur

” echte“ Rechnungen von M , da c 2j−1 → c 2j nicht unbedingt ein Schritt sein muss; das fordern wir jeweils nur f¨ ur c 2j → c 2j+1 .

Lemma 154

Die Sprachen C M (0) und C M (1) sind deterministisch kontextfrei.

Beweis:

Es ist einfach, jeweils einen DPDA daf¨ ur zu konstruieren.

Bemerkung: Ein Kellerautomat ist lange nicht so m¨ achtig wie eine Turingmaschine. Aber zwei Kellerautomaten (oder eine endliche Kontrolle mit zwei Kellern) sind so m¨ achtig wie eine

Turingmaschine (siehe ¨ Ubung).

Lemma 155

w ∈ H 0 ⇔ C M (0)

∩ C M (1)

6= ∅

Beweis:

Unmittelbar aus der Definition der beiden Sprachen!

Bemerkung: Falls M w deterministisch ist und w ∈ H 0 , dann enth¨ alt C M (0)

∩ C M (1)

genau ein Element, n¨ amlich die eine Rechnung von M w auf leerem Band.

Satz 156

Das Schnittproblem f¨ ur kontextfreie Sprachen ist unentscheidbar!

Beweis:

siehe oben

Wir haben sogar gezeigt: Das Schnittproblem f¨ ur deterministisch

kontextfreie Sprachen ist unentscheidbar!

In der Literatur wird dieser Satz ¨ ublicherweise mit dem Post’schen Korrespondenzproblem (PCP) bewiesen, das nach Emil Post (1897–1954) benannt ist.

Definition 157 (Post’sches Korrespondenzproblem) Gegeben: (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), . . . (x n , y n ) mit x i , y i ∈ Σ +

Frage: gibt es eine Folge von Indizes i 1 , i 2 , . . . i r ∈ {1, . . . , n}, so dass

x i

x i

. . . x i

= y i

y i

. . . y i

?

Satz 158

PCP ist unentscheidbar.

Beweis:

Wir skizzieren, wie man mit Hilfe des PCP die Berechnung einer (det.) TM simulieren kann. Wir haben dazu (u.a.) Paare

(a, a) f¨ ur alle a ∈ Σ

(u 1 u 2 u 3 , aqb) gem¨ aß der inversen ¨ Ubergangsfkt der TM, mit a, b ∈ Σ, q ∈ Q und u 1 , u 2 , u 3 ∈ Σ ∪ Q

Dies bedeutet, dass die TM bei der lokalen Konfiguration aqb diese

im n¨ achsten Schritt zu u 1 u 2 u 3 ¨ andert.

Beweis:

Die allgemeine Situation sieht dann so aus, dass eine geeignete Indexfolge i 1 , . . . , i k folgende Zeichenreihen erzeugt:

x c 1 . . . c r−1 x 1 . . . x i−1 q x i x i+1 . . . x s y c 1 . . . c r−1

Es m¨ ussen nun die einzelnen x i durch Paare der Form (a, a) gematcht werden, lediglich x i−1 qx i kann nur durch (genau bzw.

h¨ ochstens) ein Paar der zweiten Form gematcht werden.

Damit ergibt sich wieder die allgemeine Situation wie oben, mit r um 1 erh¨ oht, und man kann das Argument per Induktion

abschließen.

Wir ¨ uberlassen es als ¨ Ubungsaufgabe herauszufinden, wie auch Anfang und Ende der TM-Berechnung geeignet durch das PCP simuliert werden k¨ onnen.

C _M ⁽¹⁾ := {c ₀ #c ^R ₁ #c ₂ #c ^R ₃ . . . c ^R _2m+1 ; wie oben, jetzt aber:

c _2j ist Nachfolgekonfiguration von c 2j−1 f¨ ur alle zutreffenden j ≥ 1}

Bemerkung: C _M ⁽⁰⁾ enth¨ alt nicht nur

” echte“ Rechnungen von M , da c 2j−1 → c _2j nicht unbedingt ein Schritt sein muss; das fordern wir jeweils nur f¨ ur c 2j → c 2j+1 .

Die Sprachen C _M ⁽⁰⁾ und C _M ⁽¹⁾ sind deterministisch kontextfrei.

w ∈ H ₀ ⇔ C _M ⁽⁰⁾

∩ C _M ⁽¹⁾

Bemerkung: Falls M _w deterministisch ist und w ∈ H ₀ , dann enth¨ alt C _M ⁽⁰⁾

∩ C _M ⁽¹⁾

Definition 157 (Post’sches Korrespondenzproblem) Gegeben: (x ₁ , y ₁ ), (x ₂ , y ₂ ), . . . (x _n , y _n ) mit x _i , y _i ∈ Σ ⁺

x _i

x _i

. . . x _i

= y _i

y _i

. . . y _i

(u ₁ u ₂ u ₃ , aqb) gem¨ aß der inversen ¨ Ubergangsfkt der TM, mit a, b ∈ Σ, q ∈ Q und u 1 , u 2 , u 3 ∈ Σ ∪ Q

x c ₁ . . . c r−1 x ₁ . . . x i−1 q x _i x _i+1 . . . x _s y c ₁ . . . c r−1

Es m¨ ussen nun die einzelnen x i durch Paare der Form (a, a) gematcht werden, lediglich x i−1 qx _i kann nur durch (genau bzw.