Mathematik 1 / WS 2003/04, Prüfungsklausur vom 14.01.2004 Wiebe
Teil B Lösungsblätter für Teil A und Teil B bitte getrennt abgeben !!!
B1 Gegeben seien die Intervalle reeller Zahlen A = ( 1; 4 ], B = [ 2; 5 ) und C = ( 5; ∞ ).
5P.
a) Geben Sie die Menge M = ( A ∩ Β ) ∪ C in der Form { x | Eigenschaften von x } an.
Hinweis: die Symbole ∧ und ∨ der Aussagenlogik können in der Angabe verwendet werden, aber keine Symbole für Mengenoperationen !
b) Ist M = N mit N = A ∩ ( Β ∪ C ) ?
B2 Gegeben seien vier
10P. vierdimensionale Vektoren
Untersuchen Sie mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus, ob der Vektor als Linearkombination der Vektoren dargestellt werden kann.
Falls ja, bestimmen Sie die Koeffizienten und geben Sie die Linearkombination vollständig an.
B3 Gegeben: zwei Ebenen im dreidimensionalen Raum 12P
Ebene E1: Ebene E2:
a) Untersuchen Sie mit Hilfe des Skalarproduktes, ob die beiden Ebenen parallel sind.
b) Untersuchen Sie mittels eines Normalenvektors zu E2, ob die beiden Ebenen parallel sind.
Erklären Sie deutlich den Lösungsansatz bzw. die Begründung für die Lösung ! [ Zusatz für +3 Pkt.
c) Gibt es eine dritte Ebene, die sowohl auf E1 als auch auf E2 senkrecht steht ? ]
B4 Gegeben sind die komplexen Zahlen z
1= -2 + i 2, z
2= √ 2 __
·e
i·π/413P.
a) Stellen Sie beide Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar ! Maßstab: 1 Einheit = 1 cm b) Gesucht: z
3= z
1+ z
2( Rechnung )
c) Gesucht: z
4= z
1/z
2in der Darstellung mit Real-/Imaginärteil und in der Exponentialdarstellung mit Polarkoordinaten.
a G b, c und d
G G G
0 1 3 8
1 4 2 5
a , b , c , d
2 0 1 0
1 2 0 3
− −
= = = =
−
G G
G G
2
2 1 1
p 0 1 0
1 0 1
−
= + λ⋅ + µ ⋅
G
1 1 1
