umbeschriebenen regularen n-Ecks des Einheits- kreises

Prof.Dr. W.Koepf

Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung

Ubungsblatt 03 GESCHICHTE DER ANALYSIS 01.11.2007

Aufgabe 1 (Ein- und umbeschriebenes Polygon des Einheitskreises)

(a) Sei tn die halbe Lange der Seiten des umbeschriebenen regularen n-Ecks des Einheitskreises.

Zeigen Sie mit Hilfe von elementargeometrischen Uberlegungen die Rekursion t_2n = tn

1 +p

1 + t_n2:

(b) Sei p_n bzw. P_n der Umfang des ein- bzw. umbeschriebenen regularen n-Ecks des Einheits- kreises. Zeigen Sie, dass

p2n =p

pnP2n und P2n = 2p_nP_n pn+ Pn

gilt. Starten Sie mit den Werten p₄ = 4p

2 und P₄ = 8 und bestimmen Sie p₁₂₈ und P₁₂₈. Hinweis: Bezeichne s_n die Lange der Seiten des einbeschriebenen n-Ecks. Dann gilt s_n = 2 sin(_n) und tn= tan(_n).

(7 Punkte)

Aufgabe 2 (Archimedische Spirale)

Sei c 2 R⁺ und r = c mit Polarkoordinaten (r; ) gegeben. Durch diese Gleichung wird eine Punktmenge im R² deniert, die so genannte Archimedische Spirale.

Bestimmen Sie eine Parametrisierung

f : [a; b] ! R²; t 7!

f1(t) f₂(t)

der Archimedischen Spirale und zeichnen Sie den Graphen der Funktion f (t) fur a = 0, b = 8 und c = ¹₂ in ein Koordinatensystem.

(3 Punkte)

Abgabetermin: Donnerstag, 08.11.2007, 14.15 Uhr in der Ubung.