Ubungsaufgaben¨
Algebra und Funktionentheorie, WS 2011/12 Serie 7 zum 6.12.11
1. Mit I, J ∈M(2;lC) bezeichnen wir die Matrizen I := i 0 0−i
!
und J := 0−1 1 0
!
. G sei die von I und J erzeugte Untergruppe der Gruppe GL(n;lC) aller regul¨aren komplexen 2×2-Matrizen. Zeigen Sie:
(i) G besitzt 8 genau Elemente.
(ii) G ist nicht kommutativ.
(iii) Jede Untergruppe von G ist Normalteiler.
(iv) G ist aufl¨osbar.
(v) Geben Sie die Kompositionsindizes von G an.
2. G sei die alternierende Gruppe A5.
(i) Zeigen Sie, dass die von dem 5-Zyklus (12345) erzeugte Untergruppe kein Nor- malteiler ist und bestimmen Sie die Anzahl der 5-Sylowgruppen in G.
(ii) Bestimmen Sie alle 3-Sylowgruppen der Gruppe G.
3. (i) Wieviele 5-Sylowgruppen enth¨alt eine Gruppe Ordnung 175?
(ii) Wieviele 7-Sylowgruppen enth¨alt eine Gruppe Ordnung 175?
(iii) Wieviele einfache Gruppen der Ordnung 175 gibt es?
4.∗ Auf dem reellen Standardraum V = IRn operiert eine Gruppe G aus regul¨aren Ma- trizen mittels der ¨ublichen Matrizenmultiplikation. Geben Sie in jedem der folgenden F¨alle die Orbits an:
(i) G= GL(n) ist die lineare Gruppe.
(ii) G= O(n) ist die orthogonale Gruppe.
(iii) G= SO(n) ist die spezielle orthogonale Gruppe.
(iv) G ist die Gruppe der regul¨aren Diagonalmatrizen.
(v) G ist die Gruppe der regul¨aren oberen Dreiecksmatrizen.
