Partielle Integration
F¨ ur stetig differenzierbare Funktionen f und g auf einem regul¨ aren Bereich V ⊆ R
nmit regul¨ arem (n − 1)-dimensionalem Rand S = ∂V gilt
Z
V
f (∂
νg ) = Z
S
f g ξ
ν− Z
V
(∂
νf ) g ,
wobei ξ die nach außen gerichtete Einheitsnormale von S bezeichnet.
Verschwinden f und g ausserhalb einer beschr¨ ankten Menge, so folgt insbesondere, dass
Z
Rn
f (∂
νg) = − Z
Rn
(∂
νf ) g
und allgemeiner, f¨ ur glatte Funktionen,
Z
Rn
g ∂
αf = (−1)
|α|Z
Rn
f ∂
αg .
1 / 2
Beweis
Hauptsatz f¨ ur Mehrfachintegrale = ⇒
Z
V
∂
ν(fg ) = Z
∂V
(fg )ξ
νf¨ ur eine beliebige partielle Ableitung ∂
νProduktregel,
∂
ν(fg ) = g∂
νf + f ∂
νg , behauptete Identi¨ at
kein Randterm, falls f und g auf S verschwinden Identit¨ at mit V = R
nIteration der Identit¨ at
Formel f¨ ur partielle Intgration h¨ oherer Ableitungen
2 / 2
