Bandstruktur-Parameter für Halbleiter

2.3 Halbleiter

2 3 1 B d k ff k i M Lö h

2.3.1 Bandstruktur, effektive Masse, Löcher

Bandstruktur für Si

Bandstruktur-Parameter für Halbleiter

Material E

_g

, eV m

_e

/m

₀

m

_h

/m

₀

Beweglichkeit, Elektronen

m

²

/Vs Löcher Elektronen Löcher

IV: C

Si Ge

5.4 (i) 1.1 (i) 0.7 (i)

0.2

0.97(l), 0.19 (t) 1.6 (l), 0.08 (t)

0.25

0.5, 0.16 0.3, 0.04

0.18 0.15 0.39

0.12 0.05 0.19 Ge

α-Sn

α-SiC (hex)

0.7 (i) 0.08 (d) 3.0

1.6 (l), 0.08 (t) 0.6

0.3, 0.04 1.0

0.39 0.14 0.04

0.19 0.12 0.005

III-V: GaP 2.3 (i) 0.12 0.50 0.01 0.007

GaAs GaSb InAs InSb

1.4 (d) 0.7 (d) 0.4 (d) 0 2 (d)

0.07 0.20 0.03 0 01

0.7 0.39 0.02 0 18

0.85 0.40 3.30 8 00

0.04 0.14 0.05 0 13

InSb 0.2 (d) 0.01 0.18 8.00 0.13

II-VI: CdS CdSe CdTe

2.6 (d) 1.7 (d) 1.5 (d)

0.21 0.13 0.14

0.80 0.45 0.37

0.08 HgTe

( ) -0.31

¹

(d)

(b i R t t ß ¹ b i 0 K)

(bei Raumtemperatur, außer ¹: bei 0 K) i = indirekt, d = direkt

Konzept der „effektiven Masse“

Motivation: betrachte Geschwindigkeit eines Kristallelektrons in 1D

( ) ^{k ∂ E} ( ) ^k

ω

∂ ( ) 1 ( )

x x x

x x

gr

x

k

k E k

v k

v ∂

= ∂

∂ ω

= ∂

= h

1

,

unter Einwirkung einer äußeren Kraft lautet die Bewegungsgleichung:

x

x

dk

F = dp = h

( ) ( ) ( )

2 , 2 2 2

2 ,

1 1

1

x x ext

x x

x x

x ext

k F k E dt

dk k

k E k

k E dt

d dt

dv

dt F dt

∂ ⋅

= ∂

∂ ⋅

= ∂

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

= ∂

h h

h

h

m*: effektive Masse

( )

²

2 2

,

/

* 1

* , 1

x x

x x ext

x x

x

k k

m E m F

dt dv

k dt

k k

dt dt

∂

= ∂

⋅

=

→

∂

⎦ ∂

⎣ ∂

h

h h

h

Bewegungsgleichungen für quantenmechanisches Kristallelektron

( )

_{x x}

Bewegungsgleichungen für quantenmechanisches Kristallelektron

sehen aus wie in der klassischen Mechanik für m→m*.

In 3D:

F

ext

m dt

v

d r r

⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

* 1 m dt ⎝ ⎠

wobei (1/m*) eine 9-komponentige Matrix ist:

⎟ ⎟

⎟ ⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

^{2 2}

2 2

z x y

x

x

k k

E k

k E k

E

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎜ ⎜

⎜ ⎜

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

2 2

2

2 2

2 2

2

1

* 1

z y y

x y

z x y

x x

k k

E k

E k

k E

m h

⎟ ⎟

⎟

⎜ ⎠

⎜ ⎜

⎝ ∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2 2 2

2

z y

z x

z

k

E k

k E k

k E

allgemein:

j E i

1

1 ∂

²

⎟ ⎞

⎜ ⎛ i j x y z

k k

m

_{ij i j}

, , , ,

*

²

=

∂

= ∂

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

h

Konsequenzen:

h

2

- Für freie Elektronen mit gilt: m

² ₀

=m*

2

2 k E = h m

- Wenn Krümmung von E(k)-Kurve größer ist als bei einer Parabel:m*/m

₀

<1, --- “ --- kleiner --- “ --- : m*/m

₀

>1

m*=m₀ m*/m₀<1

m*/m₀>1 ΔE

ΔE ist umso größer je kleiner m* ist

→ leicht anregbare Elektronen Δk

- Wenn (1/m*) ein Tensor ist, zeigt die Beschleunigung eines Kristallelekrons in einem äußeren Kraftfeld i a nicht in die Richtung der äußeren Kraft

- Wenn die äußere Kraft die elektrische Kraft q E ist, dann korreliert die in einem äußeren Kraftfeld i.a. nicht in die Richtung der äußeren Kraft.

q

effektive Masse die Beschleunigung des Kristallelektrons mit der Feldstärke.

„Standard“-Bandstruktur obere Bandkante

obere Bandkante untere Bandkante

Elektron:

m

_e

= m*, q = −e

„Loch“:

„Loch :

m

_h

= m *, q = +e

„Löcher“ als Ladungsträger

Elektron mit E m* > 0, q=-e

k k

k

k

_e

k

_h

Loch mit m* > 0, q=e

(m* groß)

Eigenschaften des Loches:

r r

r

r

(m* klein)

( )

e e

h h

e h

e h e

h e

h

dk

m m

m m

m m

v v

k E k

E k

k

*

*

, : )

: ( ,

), ( )

(

, r r r r

r r

=

=

−

=

=

−

=

−

=

(

h

)

Drift h Drift e

h

e v x B v v

dt dk

,

, r

,

r

r r

h = ⋅ E r + = −

GaAs

Elektronen:

*/ 0 07 m*/m

₀

=0.07

Löcher:

m*/m

₀

=0.7

Bandstruktur-Parameter für Halbleiter

Material E

_g

, eV m

_e

/m

₀

m

_h

/m

₀

Beweglichkeit, Elektronen

m

²

/Vs Löcher Elektronen Löcher

IV: C

Si Ge

5.4 (i) 1.1 (i) 0.7 (i)

0.2

0.97(l), 0.19 (t) 1.6 (l), 0.08 (t)

0.25

0.5, 0.16 0.3, 0.04

0.18 0.15 0.39

0.12 0.05 0.19 Ge

α-Sn

α-SiC (hex)

0.7 (i) 0.08 (d) 3.0

1.6 (l), 0.08 (t) 0.6

0.3, 0.04 1.0

0.39 0.14 0.04

0.19 0.12 0.005

III-V: GaP 2.3 (i) 0.12 0.50 0.01 0.007

GaAs GaSb InAs InSb

1.4 (d) 0.7 (d) 0.4 (d) 0 2 (d)

0.07 0.20 0.03 0 01

0.7 0.39 0.02 0 18

0.85 0.40 3.30 8 00

0.04 0.14 0.05 0 13

InSb 0.2 (d) 0.01 0.18 8.00 0.13

II-VI: CdS CdSe CdTe

2.6 (d) 1.7 (d) 1.5 (d)

0.21 0.13 0.14

0.80 0.45 0.37

0.08 HgTe

( ) -0.31

¹

(d)

(b i R t t ß ¹ b i 0 K)

(bei Raumtemperatur, außer ¹: bei 0 K) i = indirekt, d = direkt

2.3.2 Eigenhalbleiter („intrinsisch“)

2 3 2 1 Berechnung der intrinsischen Ladungsträgerkonzentration 2.3.2.1 Berechnung der intrinsischen Ladungsträgerkonzentration

LB T>0K

VB

Elektronenkonzentration im Leitungsband:

n = 2 Z (E ) ⋅ f ( E )dE

E_g

∞

∫ ^mit:

₂

²

₂ ^3/2

^{( )}

^1/2

^,

^*

4 ) 1

( m E E m m

E

Z

^e

⎟ −

_{g e}

=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= π

E_g

h

f (E) = 1 exp E − E

_f

+ 1

≈ exp − E − E

_F

k

_B

T

1 ⎛ 2m

_e

⎜ ⎞

⎟

3 / 2

(E E )

^{1/ 2}

∞

∫ ^{e p ⎛} ⎜ ^{E − E}

^F

⎞

⎟ dE

exp k

_B

T + 1

n =

2 π

²

^{⎝ ⎜} _h

^2e

^{⎠ ⎟} 1 2 4 4

C

4 4 3

(E − E

_g

)

^/

E

∫

_g

^{exp −}

^F

k

_B

T

⎝ ⎜

⎠ ⎟ dE

setze − , = , = ⇒ = 0

= E E x

T k dx dE T

k E

x E

_g

B B

g

2 / 1 2 /

)

3

(

exp

⁻

∞

∫

− −

⋅

= k T x e dx

T k

E c E

n

^{g F} _B ^x

43 42 1

2 / 0

) (

p

π

T ∫

k

_B ^B

Elektronenkonzentration:

⎞

⎞ ⎛

⎛ 2 k E E

1

^3/2

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= π

T k

E T E

k n m

B F g

N B e

L

2 exp 4

1

^3/2 _3/2

2

4 4 4 3 4

4 4 2 1 h

⎟ ⎞

⎜ ⎛

⎟ ⎞

⎜ ⎛

⎟ ⎞

⎜ ⎛

⋅

≈

T E m

k m

m m E

E

e g B

e g

F

2 1

/ ,

2 / 1 mit

2 / 3 2 / 2 3

/ 3 0

0

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎝ −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎝

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= π

T T k

n m

B g

N e B

L

exp 2 4

2 / 3 0

2 0

4 4 4

4 3

4 4 4

4 2

1 h

Löcherkonzentration:

⎟ ⎞

⎜ ⎛

⎟ ⎞

⎜ ⎛

⎞

⎛ 2 m k m E

1

^{3/2 3/2}

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= π

T k T E

m m k

p m

B F

N

h B

V

2 exp 4

1

_3/2

0 2

0

4 4 4

4 3

4 4 4

4 2

1 h

für m

_e

= m

_h

:

⎞

⎛ E

Intrinsische HL:

E

_F

= E

_g

/ 2 _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

= k T

N E p n

B g

L

exp 2

Intrinsische HL: →

Daten bei 300 K Si GaAs Ge

Eg eV 1 12 1 42 0 66

Eg, eV

N

_L

, 10

²⁵

m

^-3

N

_V

, 10

²⁵

m

^-3

n, m

^-3

1.12 2.8 1.04 1.5·10

¹⁶

1.42 0.0047 0.70 1,8·10

¹²

0.66 1.04 0.6

2.4·10

¹⁹

~ -E_g/2k_B

2.3.2.2 Leitfähigkeit bei Eigenleitung

σ = n ⋅ e ⋅ μ _e + p ⋅ e ⋅ μ _h = n ⋅ e ⋅ ( μ _e + μ _h )

mit v

^e

Elektronenbeweglichkeit

μ =

mit ... Elektronenbeweglichkeit

e

E μ =

v

h

... Löcherbeweglichkeit

E

h

μ

h

=

σ = 4 82 ⋅ 10 ²¹ T ^3/2 ⋅ e( μ + μ _h ) exp− E _g σ = 4.82 10 T e( μ _e + μ _h ) exp

2 k _B T

2.3.3 Störstellenhalbleiter („extrinsisch“) 2 3 3 1 P i i d D ti

2.3.3.1 Prinzip des Dotierens

p-Typ: Akzeptor (B, Al, Ga, In)

n-Typ: Donator (P, As, Sb)

2.3.3.2 Bandstruktur eines Störstellenhalbleiters

Dotierniveaus in Si:

2.3.3.3 Verschiebung des Fermi-Niveaus mit der Temperatur

n-Typ Halbleiter:

Ergebnis: n-Typ, N

_d

≈ 10

²²

/m

³

Ergebnis: n Typ, N

_d

10 /m

Berechnung der Fermi-Energie als Funktion der Temperatur in einem n-Typ Halbleiter

n = n

_intr

+ n

_extr

= p + m

₊

m

₊

... Konzentration der ionisierten Donatoratome p …Konzentration der Löcher im VB

K t ti d El kt i LB

wobei

n …Konzentration der Elektronen im LB

⎟⎟ ⎞

⎜⎜ ⎛ −

−

= E E

N

n

_L

exp

^{g F}

ⁿ

int_r

^{= p = N}

_V

^exp _⎜⎜ ^{⎛ − E}

^F

_⎟⎟ ^⎞

wobei

⎤

⎡ ⎛ E E ⎞

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎝ k T N

n

B

L

exp _⎟

⎜ ⎠

⎝ k T p

B V

r

p

int

N

_d

= Konzentration der Donatoratome

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

−

+

=

T k

E N E

m

B F d

1 exp

d

mit m

_e

= m

_h

folgt:

⎤

⎡ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

−

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

− k T

E N E

T k N E

T k

E N E

B F d

d B

F L

B F g

L

exp exp 1 exp

Temperaturabhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration Si, n-Typ Halbleiter (N

_d

= 10

²¹

/m

³

)

N N_d

Si, p-Typ Halbleiter (B-dotiert)

2.3.3.4 Leitfähigkeit als Funktion der Temperatur

Si, As-dotiert

Si, As-dotiert ,

Technischer Betrieb:

n = N

_d

→ σ = N

_d

·e·μ

_e

2.3.4 Hall-Effekt

E r

n-Typ Halbleiter

E x

B r

z

E r

y

Hall-Spannung: U

_y

E

_y

d

_y

F r

_H

e E r

_y

⋅

−

=

→

⋅

=

Gleichgewicht: F

_L

= F

_H

→ E

_y

= μ ⋅ E

_x

⋅ B

_z

Ladungsträgerkonzentration:

Ladungsträgerkonzentration:

μ q n σ = ⋅ ⋅

y z x y

z x x

x

B j B

j σ μ

q n

μ q

E E

E

E ⋅ =

=

⋅

=

⋅

→ 1

y y

μ

x

Hall-Koeffizient: R

_H

= 1 = E

^y

R

z x

H

n q j B

R ⋅ ⋅

Hall-Beweglichkeit: μ

_H

= σ ⋅ R

_H

Bestimmung von R

_H

( E

_x

, j

_x

bekannt, Messung von U

_y

) erlaubt Bestimmung der Konzentration, Beweglichkeit und des Typs der Ladungsträger:

R

_H

< 0 : Elektronen, R

_H

> = : Löcher

2.3.5 Halbleiterübergänge und Bauelemente

p-n-Übergang

„Bandverbiegung“

Ladungsträgerkonzentrationen

Gradient:

4 20

4

3 4

16

/ 10 10

/ 10

10 cm

cm cm dx

dn = −

₋

=

Diffusionsfluss von n→p:

eD dn J

_diff

=

dx=1µm

eD dx J

_{diff n}

Raumladungen

dx 1µm

E-induzierter Fluss:

J E

Thermisches Gleichgewicht:

E

= e ⋅ μ ⋅ n ⋅ E

J

_e

E r ^J

^diff

^{+ J}

^E

^{= 0}

p-n-Übergang ohne Spannung

p g g p g

1 2

1 2

kT N E

n kT , N E

n

₁

=

_L

⋅ exp −

¹ ₂

=

_L

⋅ exp −

²

I

₁₂

= A ⋅ n

₁

⋅ exp − ΔE

kT = A ⋅ N

_L

⋅ exp − E

₁

+ ΔE

kT = A ⋅ N

_L

⋅ exp − E

₂

kT

0 E ^{, A A} ( ) ^μ,D

kT N E

kT A n

A

I

₂₁

= ⋅

₂

⋅ − 0 = ⋅

_L

⋅ exp −

²

= exp

Ergebnis: I = I

₁₂

− I

₂₁

= 0

p-n-Übergang unter Spannung: Durchlassrichtung

p g g p g g

I = A ⋅ N ⋅ exp − E

₁

⋅ exp − ΔE − eU I

₁₂

= A ⋅ N

_L

⋅ exp −

kT ⋅ exp −

kT I

₂₁

= A ⋅ N

_L

⋅ exp − E

₂

kT

kT

2

1

ΔE E

E + =

Mit folgt:

I = I

₁₂

− I

₂₁

= A ⋅ N

_L

exp − E

₁

+ ΔE − eU

kT − exp − E

₂

kT

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = E ⎛ eU ⎞

= A ⋅ N

_L

⋅ exp − E

₂

kT ⋅ exp + eU kT − 1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Ergebnis: I = I

₂₁

exp eU kT − 1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Es fließt ein Nettostrom in D rchlassricht ng Es fließt ein Nettostrom in Durchlassrichtung, I = 0 für U = 0,

I ~ U für kleine U I ~ exp(U) für große U

I U für kleine U, I exp(U) für große U

p-n-Übergang unter Spannung: Sperrrichtung

p g g p g p g

E

₁

Δ E + eU I

₁₂

= A ⋅ N

_L

⋅ exp − ^E

¹

kT ⋅ exp − Δ E + eU kT I

₂₁

= A ⋅ N

_L

⋅ exp − ^E

²

I

₂₁

A N

_L

exp

kT

Ergebnis:

⎛ eU ⎞

I = I

₂₁

exp− eU kT − 1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Der Nettostrom ist für kleine U 0 Der Nettostrom ist für kleine U ~ 0, I = 0 für U = 0,

I ~ -I

₂₁

für eU >> kT (Sperrstrom)

I I

₂₁

für eU kT (Sperrstrom)

⎛ eU

⎜ ⎞

⎟ Diodengleichung: I = I

₀

exp eU

kT − 1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

mit I

₀

= A ⋅ N

_L

⋅ exp− E

₂

(Sperrstrom)

kT

Gleichrichtungg

Tunnel-Diode

stark dotiert > E in Bändern

„Negative Impedanz“

stark dotiert > E

_F

in Bändern, Durchlassbetrieb

I

romstärke St r U=0

Spannung U

U≠0

„Tunneln“

Durchlassbetrieb

U≠0

Flächentransistor

Prinzip: Emitter „injiziert“ Löcher in Basis (abh. von V

_EB

), die im Kollektorkreislauf

beschleunigt werden (abh. von V

_BC

) → es entsteht ein Kollektorstrom I

_c

, der über I

_B

gesteuert wird

Feldeffekt-Transistor (FET)

Prinzip: negative Gatespannung U

_G

steuert Breite der Verarmungszone und somit

den Kanalwiderstand

Strom-Spannungscharakteristik:

Strom Spannungscharakteristik:

V

_SD

MESFET = Metal-Semiconductor-FET (Metall statt p-Bereich)

MOSFET = Metal-Oxide-Semiconductor-FET (Oxid-Gate)

CMOS = Complementary MOS

EEPROM = Electrically Erasable-Programmable Read-Only Memory

(flash memory)

Polymer Vision, 240 x 320 pixel, 9 x 12 cm

²

IBM 64-bit microprocessor, 90 server class, Cu/low-k wiring

Flexible microelectrode array MCS

small, complex Æ high stresses flexible Æ high strains

Flexible microelectrode array, MCS

small, complex Æ high stresses flexible Æ high strains

Elektromigration Möckl, Kraft, Arzt (2003)

Near-Bamboo Lines

• mass accumulation (hillocking) and depletion (voiding) at blocking “bamboo” grains

blocking bamboo grains

• hillocking might suppressed by passivation

• number and length of “polycrystalline clusters” determine

• number and length of polycrystalline clusters determine lifetime

SEM micrograph of EM damage in a 1.8 µm wide Al line

Kraft, Arzt (2003)

Near-Bamboo Lines

Auswirkungen auf die Lebensdauer

•

j depends on line width and grain size

•

j

_c

depends on line width and grain size

•

reliability increases with increasing critical product

•

large Δσ (mechanical strength, passivation)

Bl h E i t (I A Bl h 1976) Blech-Experiment (I.A. Blech 1976)

Al-Cu

Stripe TiN

Underlaye

e-

v_d

• Messung der Kantendrift durch in-situ REM Beobachtung

• Quantifizierung der Legierungselementverteilung Quantifizierung der Legierungselementverteilung durch EDX und WDX

• Charakterisierung durch REM, TEM, FIB

Comparison: gold vs. aluminum Comparison: gold vs. aluminum

• gold: no critical length

4 hrs testing at T=450°C and j=1MA/cm ²

• aluminum: critical length

23 hrs testing at T=225°C, j=1MA/cm ²

Temperatur und Legierungseffekte Temperatur- und Legierungseffekte

R i ll L i

3 5

4.0 1.4

Reinmetall Legierung

2.5 3.0

3.5 j = 1 MA/cm², L = 25 µm

nt (µm)

0 8 1.0 1.2

nt (µm)

1 0 1.5 2.0

175 °C

displacemen

0.4 0.6 0.8

j = 1 MA/cm², T = 225 °C

displacemen

0.0 0.5

1.0 175 C

225 °C 250 °C

edge

0.0

0.2 pure Al

Al2%Cu Al3%Mg

edge

-1 0 1 2 3 4 5 6

time (hr)

0 4 8 12 16 20 24 28

time (hr)

Leiterbahnherstellung

AMD (2003)

Neue Phänomene in Kupferleiterbahnen

2000 Å PECVD SiN

_x

Ta 2000 Å CVD SiN

_x

PE

TEOS

1 μm Cu

1000 Å thermal SiO2

Si

Ta

x

Leitfähigkeit von Leiterbahnen:

ein Ausblick in die Zukunft

Infineon (2003)

Zyklische Belastung

Wechselstrom-Ermüdung von Leiterbahnen

Hochfrequenz-Ermüdung von

SAW-Frequenzfiltern (GHz)

R. Mönig MPI Stuttgart C. Eberl, MPI Stuttgart

2.3.6.2 Optoelektronische Bauelemente 2.3.6.2 Optoelektronische Bauelemente

Photodetektor otodete to

Wellenlängenspektrum Wellenlängenspektrum

Faustregel: E

_g

(eV ) = 1 24 1.24

λ

₀

( μ m)

Ph t di d /S l ll

Photodiode/Solarzelle

Ph t di d /L

Photodiode/Laser

2.3.6.3 „Band Gap Engineering“

Mikroelektronik: Herstellungsschritte

Mikroelektronik: Herstellungsschritte

Leitfähigkeit nach Werkstoffgruppen

2.4 Leitende Polymere

2.4.1 Einlagerung leitfähiger Teilchen

Perkolationstheorie

2.4.2 Leitfähige Polymere

Polyacetylen

Bandstrukturen für trans (CH) ( ) _{x x}

(a)

Dotiereffekte

Dotiereffekte

(*) in Kettenrichtung

2.5 Ionenkristalle 2.5.1 Ionenleitung

N Konzentration beweglicher Ionen [m

^-3

] N

_ion

... Konzentration beweglicher Ionen [m

³

] e ... Ladung des Ions [C]

μ

_ion

... Beweglichkeit [m

²

/Vs]

σ

_ion

= N

_ion

⋅ e ⋅ μ

_ion

μ

_i

= D ⋅ e σ

_ion

= N

_ion

⋅ e

²

⋅ D

₀

k ⋅ exp− Q

Einstein Gleichung: μ

_ion

= k

k

_B

⋅ T

^ion

k

_B

⋅ T p

k

_B

⋅ T

Einstein-Gleichung:

Ableitung: gerichtete Diffusion

Sprünge pro Zeit:

p = υ ⋅ exp− Q − eE a / 2

→

kT kT p

←

= υ ⋅ exp− Q + eE a / 2 kT

Driftgeschwindigkeit:

←

kT

g g

v

_d

= a p

→

− p

←

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = a υ exp − Q kT

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⋅ 2 sinh eEa

2kT ≈ eE

kT a

²

υ exp− Q

kT = eED

→ ←

kT

μ

_ion

= v

_d

E = D ⋅ e

kT

E kT

Temperaturabhängigkeit der Ionenleitfähigkeit

Temperaturabhängigkeit der Ionenleitfähigkeit

Extrinsischer Mechanismus:

Anwendung : Lambda Sonde

Anwendung : Lambda-Sonde

2.6 Supraleitung

2 6 1 Phä l i

2.6.1 Phänomenologie

T

_C

: Sprungtemperatur, kritische Temperatur

H. Kamerlingh Onnes (1911)

Temperatur

Meißner-Ochsenfeld-Effekt

Supraleitende Elemente und Sprungtemperatur

Sprungtemperatur T

_C

und kritische magnetische Feldstärke H

_c

Material T

_C

, K H

_C

, 10

⁴

A/m

Al 1.2 0.8

Hg Pb Sn Tl

4.2 7.2 3.7 2 4

3.3 6.4 2.4 1 4

Tl 2.4 1.4

Nb Ta

9.3 4.5

15 (a) 14 (a) V

Mo

₃

Re NbSn

₂

5.3 9.8 2.6

27 (a) 4.2 (a) 4.9 (a) NbTi

NbZr V

₃

Si

9.5 10.8

17

- - V

₃

Si -

Nb

₃

Sn Nb

₃

Ge

18 23

- -

YBa Cu O >90 >10

³

YBa

₂

Cu

₃

O

₇

>90 >10

³

Kritische magnetische Feldstärke

H

_c

normaler Zustand

supraleitender Zustand

T

T_c

H T T

H ( ) 1

2

⎟ ⎞

⎜ ⎛

( ^{T K} )

H H

T H T

T H

c

C C

0 1 )

(

0

0 2

=

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⋅

=

( )

c

0

0

Typ 1 Typ 2

Kritische Stromdichte

Typischer Wert: J

_c

~ 2·10

⁵

Acm

^-2

Nature Materials, Vol.5, May 2006

2.6.2 Theorie: Überblick

BCS-Theorie (1957) : Bardeen, Cooper, Schrieffer

„Cooper-Paar“: r

k

_↑

, − s k

_↓

{ }

p {

_{↑ ↓}

}

= 0 k r

ges

(„Boson“)

= 0 s r ges

Elektronen am Fermi-Niveau kondensieren in ein System aus Cooper-Paaren

→ supraleitender Zustand ist ein geordneter Zustand der Leitungselektronen, bei

d k i St d El kt d Gitt t ft itt d h R 0

dem keine Streuung der Elektronenpaare an den Gitteratomen auftritt, d.h. R~0.

Cooper-Paar-Bildung:

Anziehung: Elektron-Gitter-Elektron Wechselwirkung

- -

Phonon

1 2

Supraleitung: kooperative Driftbewegung der Cooper-Paare

T=T

_c

:

E _F

c

F

kT

E ±

BCS Theorie:

BCS-Theorie:

Lücke bei O K :

4

eV kT

_C ⁴

0

≈ 3 , 5 ≈ 10

⁻

Δ

Bestimmung der Energielücke g g

a) Infrarot-Absorption 2Δ

₀

≤ h ω

b) Tunnelkontakt

Isolator ca. 1-5 nm

Isolator ca. 1 5 nm

Temperaturabhängigkeit der Lücke

Temperaturabhängigkeit der Lücke

Zusammenhang: Δ g

₀₀

mit Gitterschwingungen (BCS) g g ( )

Δ

₀

= 4 h ω

_D

⋅ exp− 2 Z (E ) U

0 D

p

Z (E

_F

) ⋅ U

mit ω

_D

... Debye-Frequenz U ... Stärke der Elektronen-Gitter-Wechselwirkung

erklärt: - Bedeutung der Phononen

- warum gute Normalleiter schlechte Supraleiter sind

Zusammenhang: H

_C

( ) 0 ^{− T}

_C

H

_C

( ) 0 ^{= 2N}

^V

μ

₀

E

_F

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

1/ 2

k T

_C

μ

₀

E

_F

⎝ ⎠

2 6 3 Technische Supraleiter 2.6.3 Technische Supraleiter

Anwendungsgebiete:

• Spulen für Hochleistungsmagnete

(Kernspintomographen, Teilchenbeschleuniger)

• Magnetlager (Schwebebahn, Kompasse, Zentrifugen)

• Übertragung elektrischer Energie

• Elektronische Bauelemente (Schwingkreise, Schalter)

harte“ Supraleiter: H j hoch

„harte Supraleiter: H

_C

, j

_C

hoch

Härtung von Supraleitern

Flussschläuche

Flussschlauchverankerung:

durch Leerstellencluster, Ausscheidungen, Versetzungsanordnungen

Nb

₃

Zr:

Nb-Ti-Supraleiter:

„Härtung“ durch α-Ti

Querschnitt:

Nb

₃

Sn-Filamente in Cu-Matrix

oder

in Cu-Sn Matrix mit Cu-Kern und

Diffusionsbarriere (Ta)

Keramische Supraleiter („HT

_C

“)

1986: Ba-La-Cu-O (T

_C

≈ 30 K)

B d Müll

Bednorz, Müller

1987: La-Sr-Cu-O (T

_C

> 40 K) Y-Ba-Cu-O (T

_C

> 80 K)

1988: Ti-Ba-Ca-Cu-O (T

_C

> 120 K)

YBa

₂

Cu

₃

O

₇

1988: Ti Ba Ca Cu O (T

_C

120 K)

b i 300K

ρ bei 300K

polykristallin

Schicht-Struktur des YBa

₂

Cu

₃

O

₇

:

Anisotropie des kritischen Feldes und der kritischen Stromdichte:

Vorteile keramischer SL:

• hohe kritische Temperatur T

_c

• T T

_cc

über O-Gehalt variierbar über O Gehalt variierbar

Nachteile:

• Sprödigkeit Sprödigkeit,

• Anisotropie (Abhilfe: hoher Texturgrad, guter Kontakt zwischen Körnern)

• Strombelastbarkeit bei T>77 K kleiner als 4·10

⁴

Acm

^-2

(ohne H-Feld) ( )

• Herstellung schwierig (Pulvermetallurgie, Schichten)

Dauermagnete

Magnetische Eigenschaften

3. Magnetische Eigenschaften g g 3.1 Grundlagen

Drehmoment auf Dipol im Feld

+ q

_m

Magnetisches Dipolmoment

+

B N

d q

_m

... Polstärke ^Θ

+ F F

- q

_m

F r r B

S

μ r

_m

= q

_m

⋅ r

d τ r = μ r

_m

× r B F = q

_m

⋅ B

... magnetische Induktion

B r

Potentielle Energie des Dipols im Feld E

_pot

= − μ r

_m

⋅ B = − r μ

_m

⋅ B ⋅ cos θ

Magnetisches Moment des Elektrons g

a) Bahnmoment

] [A

A

I

²

µ r ^L

r

] m [A A I

μ

_L

= ⋅ ⋅

²

^L

r

Zusammenhang mit Drehimpuls:

ω

=

×

= r p mr

²

L r r r ^{I = q}

_elektr

( ^{ω/ 2 π} ) ^{, A = πr}

²

e r

ll i r e L r 1

g : gyromagnetisches

m L μ r

_L

= − e ⋅

→ 2

allgemein: 1

2 ⋅ ≈

⋅

−

=

_{L L}

L

L , g

g m

μ r

_gL: gyromagnetisches

Verhältnis

Drehimpulsquantisierung: L r = l ( ) l + ¹ h , l = ⁰ , ¹ ,...,n − ¹

e h

,...,l l

l, m

, m

L

_Z

=

_l

h

_l

= − − + 1 h

f μ

^L

= m = μ

^B

Bohrsches Magneton: μ

_B

= 9.3 ⋅ 10

⁻²⁴

Am

²

: 2

= h L

Z

für

b) Spinmoment b) Spinmoment

m S S e

m g e

μ r

_s

= −

_s

⋅ ⋅ r ≈ − ⋅ r 2

S i ti i

≈ 2 g

S

Spinquantisierung:

( )

2

1 = 1

+

= s s , s

S r h

2

ti h Di l t

1/ 2 m

, m

S

_Z

=

_S

h

_S

= ± magnetisches Dipolmoment:

( ^{L S} )

μ e μ

μ r = r

_L

+ r

_S

= − ( ^L r + 2 ⋅ ^S r )

μ m μ

μ

_{m L}

+

_S

+ 2

2

Ei t i d H Eff kt Einstein-de Haas-Effekt

Magnetisches Moment des Atoms

e ⎞ r r r r

⎛ J , J L S

m g e

μ r

_m

⎟ ⋅ r r = r + r

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

−

= 2

L dé F kt g ... Landé-Faktor

g = g

_S

= 2 : Spinmoment

g = g

_L

= 1 : Bahnmoment

g g

_L

3.2 Materie im Magnetfeld

... Magnetische Feldstärke [A/m]

r H r

B ... Magnetische Induktion, Flussdichte [Vs/m

²

] = [T] (Tesla)

µ

₀

= 1.256 · 10

^-6

Vs/Am: Induktionskonstante

im Vakuum: r

B = μ

₀

H ^r

in Materie: r

B = μ

₀

H ^r + μ

₀

M ^r r

M = Σ μ r

_m

V

Magnetisierung(sintensität) [A/m]

M r =

magnetische Suszeptibilität: χ = M (dimensionslos) magnetische Suszeptibilität: χ = (dimensionslos)

H

Permeabilität: μ = B = μ ( 1 + χ ) relative Permeabilität: μ μ

1 + χ

Permeabilität: μ =

H = μ

₀

( 1 + χ ) relative Permeabilität: μ

_R

=

μ

₀

^{= 1 +} χ

Magnetismus: das Dilemma der Einheiten

r 4 π

Größe SI cgs Umrechnung

H 1 A/m = Oe 4 π

10

³

Oe

A/m

1 Oe = 79,6 A/m r

B _{1 T = 10}

⁴

_{G = 1} kg

T = Wb Cs

m

²

= Vs

m

²

^G

Maxw 4 π ⎛ Maxw ⎞ r

M _A/m Maxw

cm

²

4 π 10

³

Maxw cm

²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 1 A/m =

χ _{- -} χ χ

_SiSi

= 4 πχ χ

_cgscgs

χ

_m

_m

³

_/kg cm

³

/g χ = χ

_m

⋅ ρ

- - µ

_SI

= µ

_cgs

µ

_R

1,256·10

^-6

Vs/Am 1

µ

₀

Magnetisches Verhalten von Materialien g

M

ferro

(x ca. 10

⁶

) ferro

para

H dia

dia

Diamagnetismus: χ < 0 (10

^-4

bis 10

^-9

) ionische und kovalente Kristalle:

Edelgase, H

₂

, N

_2,

Edelmetalle, Bi Supraleiter

Supraleiter

Paramagnetismus: χ > 0 (10

^-6

bis 10

^-2

) Ionen der Übergangsmetalle und seltenen Erden O

seltenen Erden, O

₂

Fe Co Ni Gd Dy Cu

₂

MnAl χ (H) >> 0

Ferromagnetismus: χ (H) >> 0 (bis 10

⁶

) Fe, Co, Ni, Gd, Dy, Cu

₂

MnAl

Ferromagnetismus: (bis 10 )

Antiferromagnetismus: χ > 0 MnO

Ferrimagnetismus: χ (H) >> 0 Ferrite (MnFe

₂

O

₄

, ZnFe

₂

O

₄

)

Magnetische Suszeptibilität

ll W t b i R

alle Werte bei Raum- temperatur,

außer Supraleiter

Magnetismus der Seltenen Erden g

RT

Magnetische Suszeptibilität (bei Raumtemperatur, SI-System)

Diamagnetisch Al

₂

O

₃

Si NaCl G

- 1.2 · 10

^-6

- 3.2 · 10

^-6

- 6.3 · 10

^-6

7 5 10

⁶

Ge

Cu Be Ag

- 7.5 · 10

^-6

- 1 · 10

^-5

- 2.4 · 10

^-5

- 2.5 · 10

^-5

Au

Bi

Supraleiter

- 2.9 · 10

^-5

- 1.5 · 10

^-4

- 1

paramagnetisch Rb + 4 2 10

^-6

paramagnetisch Rb K Mg Ca

+ 4.2 · 10

^-6

+ 5.9 · 10

^-6

+ 1.2 · 10

^-5

+ 2.1 · 10

^-5

Al

W Pt Mn

+ 2.4 · 10

^-5

+ 7.8 · 10

^-5

+ 2.5 · 10

^-4

+ 8.3 · 10

^-4

ferromagnetisch/

ferrimagnetisch (Anfangs-

Fe Fe-Si

Ferrite (weich) AlNiC

+ 10

⁴

+ 6 · 10

³

+ 10

³

suszeptibilität) AlNiCo 3

Ferrite (hart)

+ 3

+ 0.3

Temperaturabhängigkeit der Suszeptibilität Temperaturabhängigkeit der Suszeptibilität

Curie-Gesetz:

Curie Gesetz:

(paramagnetisch)

χ = C C T

Curie-Weiß-Gesetz:

(f tif ti h)

(ferro-, antiferromagnetisch)

χ = C χ =

T − T

_C

Experimentelle Bestimmung: Gouysche Waage Experimentelle Bestimmung: Gouysche Waage

F = χ ⋅ V ⋅ H ⋅ d dH

dx

3.3 Diamagnetismus g

Berechnung der diamagnetischen Suszeptibilität (klassisch)

Ergebnis:

Δ e

²

r

²

Δ μ

_m

= − B

4 m ⋅ B

F r

S tibilität

Coulomb

F r

Lorentz

F

l Zentrifuga

F v

Suszeptibilität:

μ

⁰

^⋅ e

²

_r

²

_{N Z}

^Coulomb

m

χ

_dia

μ

⁰

e

² _a

− 6

=

r = „Orbitalradius“

Z = Elektronen/Atom

N Atome/Volumen

N

_a

= Atome/Volumen

Spezialfall: Supraleiter p p

χ = -1 : idealer Diamagnet

( ¹ ) ⁰

0 0

0

+ = + =

= μ H μ χH μ χ H

B

3.4 Paramagnetismus

freie Atome: Bahn-Paramagnetismus (Langevin)

B/T mittel B/T groß B/T klein

Festkörper: Spin-Paramagnetismus (Pauli)

/ tte g

3.4.1 Berechnung der paramagnetischen Suszeptibilität (Langevin: klassisch)

N Di l ( V l ) ↑ (1) d ↓ (2) N Dipole (pro Volumen): ↑ (1) oder ↓ (2)

E

_pot

= − μ

_m

B ⋅ cos θ = ± μ

_m

B

Thermodynamische Wahrscheinlichkeit:

p

₁

= n

₁

N = a ⋅ exp + μ

_m

B kT

n

₂

μ B

p

₂

= n

₂

N = a ⋅ exp − μ

_m

B kT

N = n

₁

+ n

₂

: a = 1 / Z

μ B μ B

mit Z = exp μ

_m

B

kT + exp− μ

_m

B

kT

Magnetisierung:

M = n

₁

μ

_m

− n

₂

μ

_m

M = N μ

_m

tanh μ

_m

B

kT kT

Suszeptibilität für Paramagnetismus: μ _mB << kT

M N μ

_m²

μ

₀

χ

_para

=

H = N ⋅ μ

_m

μ

₀

kT

3.4.2 Spin-Paramagnetismus in Metallen p g

(Pauli: quantenmechanisch)