wobeiC nicht von K abh¨angt, solangeh/ρ≤Const

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 13.01.2014 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

12. ¨Ubungsblatt zur Numerik station¨arer Differentialgleichungen

Aufgabe 32:

Zeigen Sie f¨ur lineare Funktionen v auf einem Dreieck K mit Durchmesser h und Inkreisradiusρ

kvk_∞≤C h⁻¹kvk_0,K, wobeiC nicht von K abh¨angt, solangeh/ρ≤Const.

Aufgabe 33:

SeiK ein Dreieck mit Durchmesser h und Inkreisradius ρ. Zeigen Sie, dass f¨ur den Interpolations- fehler gilt

ku−Π_huk∞≤Ch|u|_2,K f¨ur alle u∈H²(K) , wobeiC nicht von K abh¨angt, solangeh/ρ≤Const.

Hinweis:H²(K),→C(K) mit k · k_∞ ist stetig und linear nach dem Sobolev’schen Einbettungssatz.

Zeigen Sie die Aussage zun¨achst f¨ur das Referenzdreick.

Aufgabe 34:

EinH²-regul¨ares Randwertproblem werde mit einer Finite Elemente – Methode mit linearen Finiten Elementen gel¨ost. Zeigen Sie, dass f¨ur den Fehler gilt

ku−u_hk_∞≤C h|u|₂.

Hinweis: Verwenden Sieu−u_h = (u−Π_hu) + (Π_hu−u_h), die Aufgaben 32, 33 und dann Π_hu−u_h = (Π_hu−u) + (u−u_h).

Besprechung in der ¨Ubung am 20.01.2014.

Ansprechpartner: Bernd Brumm,

brumm@na.uni-tuebingen.de, Sprechstunde Fr 13 - 17 nach Anmeldung