K(x) = 0,2 x3 – 4 x2 +50x +450
Stückkosten = Gesamtkosten : Anzahl = K(x) / x
k(x) = 0,2 x2 – 4 X + 50 + 450/x (Stückkosten in Abh. der Menge) 1/x = x -1 ; 1/x2 = x -2
b) Gewinn bei 15 Mengeneinheiten:
G(x) = - 0,2 x3 + 1,4 x2 +54x - 450 G(15) = -0,2*15 3+ ….. = 0 (TR)
Gewinnschwelle und -Grenze: G(x) = 0 TR 2nd polysolve: ….
c) Gmax:
1. Ableiten
G’(x) = -0,6x2+ 2,8x +54 G’’(x) = -1,2x + 2,8 2. G’(x)=0
-0,6x2+ 2,8x +54 =0 l : -0,6
x2- 4,67x - 90 =0 pq-Formel: p = -4,67; q = -90 x1 = 12,10 x2 = - 7,43 nicht im Definitionsbereich 3. Einsetzen: G‘‘(x)= …und G(x) = …
G’’(12,1) = -1,2*12,1 + 2,8 <0 -> HP (12,1 l 54,06 ) G(12,1) = - 0,2*12,13 + 1,4 *12,12 +54*12,1 – 450 = 54,06
Bei einer Menge von 12,1 wird der max. Gewinn erwirtschaftet, er beträgt 54,06 GE.
Zugehöriger Stückpreis: p(12,1)= 72,53
d) Wo steigt die Kostenfunktion überproportional an? -> Wendepunkt der Kostenfunktion Wendepunkt: Bedingung: K‘‘(x) =0 und K‘‘‘(x) ungleich 0
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K(x) = 0,2 x3 – 4 x2 +50x +450 K‘(x) = 0,6 x2 – 8 x + 50
K‘‘(x) = 1,2 x -8
K‘‘‘(x) = 1,2 (immer ungleich NULL) 2. K‘‘(x) =0
1,2 x - 8 = 0 l + 8 l :1,2 xWp = 6,67
Ab einer Menge von 6,67 steigen die Gesamtkosten überproportional stark an.
e) K(x) = 0,2 x3 – 4 x2 +50x +450 Fixkosten / Var. Kosten
-> variable Stückkosten sollen gerade noch gedeckt werden -> kurzfristige Preisuntergrenze k(x) = K(x) / x = k(x) = 0,2 x2 – 4 X + 50 + 450/x gesamten Stückkosten
kv(x) = Kv(x) / x = 0,2 x2 – 4 x + 50
è Ich will Menge produzieren, dass meine Stückkosten möglichst gering sind.
-> Tiefpunkt der var. Stückkostenfunktion kv‘(x) = 0,4 x – 4
kv‘‘(x) = 0,4 > 0 -> Tiefpunkt kv‘(x) = 0
0,4 x – 4 = 0 l + 4 :0,4
x=10 -> Bei 10 Mengeneinheiten sind meine variablen Stückkosten am geringsten.
kv(10) = 0,2 102 – 4 10 + 50 = 30.
Der Preis muss mindestens 30 GE betragen, um die variablen Stückkosten zu decken. (Kruzfristige Preisuntergrenze)
