Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 09.12.2008 Mathematisches Institut
Prof. Dr. Christian Lubich
9. ¨Ubungsblatt zur Analysis I
Aufgabe 44 :
Bestimmen Sie die Grenzwerte
x→−1lim
x2+ 3x+ 2
x2−1 , lim
x→0
√4 +x−√ 4−x 2x
Hinweis: (√ a−√
b)(√ a+√
b) =a−b.
Aufgabe 45 :
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, sofern sie existieren:
x→0limxsin 1
x , lim
x→+∞xsin1
x , lim
x→+∞
sinx
x , lim
x→+∞xsinx Aufgabe 46 :
Es sei x0 ein H¨aufungspunkt der Menge A⊂R, undf :A→R eine Funktion. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen ¨aquivalent sind:
(a) Es existiert ein y0 ∈R, so dass limx→x0f(x) =y0.
(b) F¨ur jede Folge (xn) mit xn∈A\{x0}, xn→x0 ist die Bildfolge (f(xn)) eine Cauchy-Folge.
(c) Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dass f¨ur alle x, x0 ∈ A mit 0 < |x−x0| < δ und 0<|x0−x0|< δ gilt:|f(x)−f(x0)|< ε.
Aufgabe 47 :
Seif : [0,2]→Rstetig mitf(0) =f(2). Zeigen Sie dass es einc∈[0,1] gibt, so dassf(c) =f(c+ 1).
Hinweis: Betrachten Sie die Funktiong: [0,1]→R, mitg(x) =f(x+ 1)−f(x).
Abgabe in der Vorlesungspause am 16.12.2008, Besprechung in den ¨Ubungen
