V =
a
Z
0 b(1−x
a)
Z
0
c
1 a − x
a − y b
dy dx
Für das innere Integral werden jetzt die Stammfunktionen gebildet. Man kann natürlich die Linearität nutzen und daraus drei Stammfunktionen machen:
=
Za
0
"
cy −cyx
a −c· y2 2b
#b(1−xa)
0
dx
Füry werden die Grenzen eingesetzt:
=
a
Z
0
cb
1−x a
− cbx a
1− x a
−c· b2(1− xa)2
2b dx
Konstante Faktoren schreiben wir vor das Integral und wir können ausklam- mern:
=cb
a
Z
0
1− x a
· 1− x
a − 1− xa 2
!
dx
Nach Ausmultiplizieren (erst mit 1 und dann mit dem Bruch) ergibt sich
=cb
Za
0
1−x
a − 1−xa 2 − x
a +x2 a2 −
−x a + xa22
2 dx
Nach Umformung des letzten Terms ist das
=cb
a
Z
0
1− x
a − 1− xa 2 − x
a +x2
a2 − −x+xa2
2a dx
Beim letzten Bruch ziehen wir das Minus rein und integrieren der Linearität zur Folge jeden Summanden:
=cb
"
x− x2 2a − 1
2x− x2 4a
!
− x2 2a + x3
3a2 + x2 4a − x3
6a2
#a
0
Jetzt Grenzen einsetzen (x wird zu a). Alle Terme bei Einsetzen der zweit- en Grenze fallen sowieso weg:
=cb a− a2 2a − 1
2a+ a2 4a − a2
2a + a3 3a2 + a2
4a − a3 6a2
!
Wir kürzen in allen Brüchen, wo möglich:
1
=cb
a− a 2 − 1
2a+ a 4 − a
2 +a 3 +a
4− a 6
Alle Hälften von aerweitern wir auf Viertel, und die Drittel zu Sechstel und schreiben sie nebeneinander:
=cb
4a 4 − 2a
4 −2 4a+ a
4 −2a 4 + a
4 +2a 6 −a
6
Die Viertel fallen weg und wir erhalten:
=cb· a
6 = abc 6
Besonders anschaulich wird das für a = b = c = 1, dem Beispiel aus der Vorlesung. Dann beschreibt die auf dem Arbeitsblatt gegebene Ebene für x, y, z ≥ 0 ein Dreieck mit den Eckpunkten (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1).
Der Tetraeder wird dann mit diesem Dreieck und den Koordinatenachsen gebildet. Füra =b =c= 1 ist dasabcdas Volumen des Einheitswürfels. Der einbeschriebene Tetraeder hat somit 16 dieses Volumens.
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