Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, Blatt 7: Lineare Abbildungen und Matrizen
V 7.1. Wir betrachten V = P3(R) mit der geordneten Basis B = (1, x, x2, x3) und den (linearen) Ableitungsoperator
D:P3(R)→P3(R), D(p(x)) =Dp(x) =p0(x).
a) Berechnen SieD(1), D(x),D(x2) und D(x3).
b) Geben Sie die DarstellungsmatrixAvonDan. Verwenden Sie dazu sowohl im Definitionsbereich als auch in der Wertemenge die oben angegebene BasisB.
c) Bestimmen Sie Kern und Bild der AbbildungDund pr¨ufen Sie, ob Dim(P3(R)) = Dim(Ker(D))+
Dim(Im(D)) (vgl. Satz 4.13 (iv)). Besitzt die DarstellunsmatrixA aus c) vollen Rang?
V 7.2.(Gegenbeispiele zu Satz 4.18 (iv) und (v))
a) Geben Sie zwei MatrizenA, Ban, welche beide nicht die Nullmatrix sind, deren ProduktA·B =0 jedoch Null ist.
b) Geben Sie zwei quadratische Matrizen A, B an mit A·B6=B·A.
V 7.3. Es sei A=
1 2
−1 −1
die Darstellungsmatrix der Abbildung fA in der sogenannten kanoni- schen Basis E = ((1,0),(0,1)) desR2.
a) Berechnen SiefA(2,1) und fA(1,−1).
b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von fA in der Basis B = ((2,1),(1,−1)) f¨ur Definitions- bereich und Wertemenge.
c) Geben Sei Basen f¨ur den Definitionsbereich und die Wertemenge an, so dassE2die Darstellungs- matrix vonfAist.
V 7.4.Es sei A= a b
c d
∈R2×2 eine Matrix. Zeigen Sie:
a) Ist ad6=bc, so ist A−1 = ad−bc1
d −b
−c a
die Inverse zu A.
b) Ist ad=bc, so ist A nicht invertierbar.
S 7.5.Es sei U =L({(1,0,1,0),(1,0,0,1)}) und PU :R4 →R4 sei die orthogonale Projektion des R4 aufU.
a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix vonPU in der kanonischen Basis des R4 an.
b) Geben Sie den Rang der Matrix aus a) an.
c) Bestimmen Sie BasenB,Cf¨ur den Urbild- bz. den Bildraum vonPU, so dassA=
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
die Darstellungsmatrix vonPU bez¨uglich dieser Basen ist.
S 7.6.Gegeben sind die folgenden Matrizen, A=
2 5 −3 0 −1 6
, B=
3 1 4 −2 0 6
, C= 1 3 2
, D=
−1 2 1
, E=
1 −1
−2 2
.
Sind die folgenden Ausdr¨ucke wohldefiniert? Berechnen Sie in diesem Fall die Ergebnisse.
a) A+B,
b) A+ 1, wobei 1∈R, c) 3A+ 4B>,
d) 12C−D>, e) A·C, f) A·C>,
g) B·(C+D),
h) (A·B)2 = (A·B)·(A·B), i) (E−1)>.
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2 Abgabe der S-Aufgaben am 13.6.2016, V-Aufgaben vorzubereiten zur Woche ab 13.6.2016
