Mathematik 2 f¨ur Wirtschaftswissenschaftler
Sommersemester 2018
Dipl. Wirtsch.-Math. Marcel Marohn E-Mail: m.marohn@mail.de
Lineare Abbildungen
Ubersicht¨
Seien V, W Vektorr¨aume ¨uber R. Dann heißt die Abbildung f: V → W linear, falls die Linearit¨atsbedingungen gelten:
(i) f ist additiv: f(x+y) =f(x) +f(y) f¨ur alle x, y∈V, (ii) f ist homogen: f(λx) =λf(x) f¨ur alle x∈V, λ∈R. Eine lineare Abbildung f:V →W heißt
a) Monomorphismus, fallsf injektiv ist, b) Epimorphismus, fallsf surjektiv ist,
c) Endomorphismus, fallsV =W gilt,
d) Automorphismus, fallsV =W gilt und f bijektiv ist, e) Isomorphismus, fallsf bijektiv ist.
Beispiele: Die Abbildung
f1:R2→R2, f1 x
y
:=
x−y 1 +y
ist nicht linear, da f1(000) = 0
1
6= 000 gilt, wobei 000 der Nullvektor ist. F¨ur jede lineare Abbildungf gilt n¨amlich
f(0) =f(0 + 0) =f(0) +f(0), also f(0) = 0.
Die Abbildung
f2:R3 →R2, f2
x y z
:=
x−y x−y
ist hingegen linear (leichte ¨Ubung - interessant: z geht gar nicht in den Funktionswert ein).
Satz: Eine lineare Abbildung f: V → W ist durch die Angabe auf einer Basis von V eindeutig bestimmt. Genauer: Sei {v1, . . . , vn} eine Basis von V , f:V → W linear und f(v1), . . . , f(vn) bekannt. Dann ist f(v) f¨ur alle v ∈V eindeutig bestimmt und berechen- bar.
Dieser Satz l¨asst sich leicht zeigen, in dem man v als Linearkombination durch die Basis schreibt und die Linearit¨ats-Rechenregeln anwendet. Wir verdeutlichen das an einem Beispiel: Seif:R2→R3 linear und gegeben durch
f 1
1
:=
1 0
−2
, f 1
2
:=
0 1
−1
.
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Die Vektoren (1,1)T,(1,2)T bilden eine Basis vonR2und deren Bilder unterf sind gegeben.
Der Satz findet also Anwendung. Wir bestimmen zun¨achst exemplarisch f 5
8
. Man sieht leicht (oder erh¨alt durch L¨osen des entsprechenden linearen Gleichungssystems)
5 8
= 2 1
1
+ 3 1
2 und man erh¨alt durch die Linearit¨atsbedingungen von f:
f 1
1
=f
2 1
1
+ 3 1
2
= 2f 1
1
+ 3f 1
1
=
3 2
−8
.
M¨ochte man von ganz allgemeinen Vektoren (x, y)T ∈R2 das Bild bestimmen, so bietet es sich an, zun¨achst die Bilder der kanonischen Basisvektoren (1,0)T und (0,1)T wie eben f¨ur (5,8)T zu bestimmen:
1 0
= 2 1
1
− 1
2
, also:f 1
0
=
2
−1 3
0
1
=− 1
1
+ 1
2
, also: f 0
1
=
−1 1 1
.
Dann erh¨alt man f¨ur beliebige x, y ∈ R durch die Koordinatendarstellung und die eben berechneten Werte f¨ur die Basisvektoren:
f x
y
=f
x· 1
0
+y· 0
1
=x·f 1
0
+y·f 0
1
=
2x−y
−x+y
−3x+y
. Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung: Betrachten wir eine m×n Matrix A mit reellen Eintr¨agen, also A∈Rm×n mit
a11 . . . a1n ... ... am1 . . . amn
. Dann k¨onnen wir eine lineare Abbildung definieren durch
F:Rn→Rm, F(x) :=Ax (∗)
mitx= (x1, . . . , xn)T ∈Rn und F(x) =:y= (y1, . . . , ym)T ∈Rm. Dann gilt
yi =
n
X
i=1
aijxj f¨uri= 1, . . . , m.
Man kann zeigen: jede lineare Abbildung F:Rn →Rm l¨asst sich darstellen wie in (∗) mit einer geeigneten Matrix A. Die Spaltenvektoren von A sind die Bilder F(ej) der in Rn kanonischen Basisvektorenej und es gilt
F(ej) =
m
X
i=1
aije0i, j= 1, . . . , n
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mite0i, i= 1, . . . , mkanonische Basisvektoren inRm.1
Satz ¨uber die Eigenschaften von linearen Abbildungen: Sei F:V → W beliebige lineare Abbildung. Mit den Bezeichnungen
ImF :=F(V) :={w∈W|∃v∈V :F(v) =w}
f¨ur dasBild von F und
kerF :={v∈V|F(v) = 000}=F−1(000)⊆V f¨ur den Kern vonF gelten folgende Eigenschaften f¨urF:
(i) F(000) = 000,
(ii) F(v1−v2) =F(v1)−F(v2) f¨ur alle v1, v2 ∈V, (iii) F
n P
i=1
λivi
=
n
P
i=1
λiF(vi) f¨ur alle v1, . . . , vn∈V, λ1, . . . , λn∈R, (iv) kerF bzw.F(V) sind Unterr¨aume von V bzw.W,
(v) AusV = span{v1, . . . , vn}folgt F(V) = span{F(v1), . . . , F(vn)},
(vi) Aus{v1, . . . , vn}linear abh¨angig inV folgt:{F(v1), . . . , F(vn)}linear abh¨angig inW, (vii) Aus{F(v1), . . . , F(vn)} linear unabh¨angig in W folgt:{v1, . . . , vn}linear unabh¨angig
inV,
(viii) Ist F injektiv, dann gilt: aus {v1, . . . , vn} linear unabh¨angig in V folgt:
{F(v1), . . . , F(vn)} linear unabh¨angig in W, (ix) dimF(V)≤min{dimV,dimW},
(x) Ist kerF ={000}, so ist F injektiv,
(xi) IstF bijektiv, so ist auchF−1:W →V linear.
Weiterhin gilt die wichtigeKern-Bild-Dimensionsformel: IstF:V →W linear mit dimV <
∞, dann ist dimF(V)<∞und es gilt
dimV = dimF(V) + dim kerF.
Genauer: istB1={w1, . . . , wl}eine Basis von F(V) und B2 ={v1, . . . , vk} eine Basis von kerF sowie ˜vi ∈F−1(wi) beliebig f¨ur i= 1, . . . , l, dann ist B= (v1, . . . , vk,v˜1, . . . ,v˜l} eine Basis von V.
Im Falle dimV = dimW < ∞ sind außerdem f¨ur eine lineare Abbildung F: V → W
¨aquivalent:
F ist injektiv ⇐⇒ F ist surjektiv ⇐⇒F ist bijektiv.
Beispiel: Wir bestimmen die Dimension und eine Basis von kerF bzw. ImF f¨urF:R3 → R3 mit
F
x y z
=
2x+y+ 3z x+ 4y−z
−7y+ 5z
.
Um kerF zu bestimmen l¨ost man das homogene lineare Gleichungssystem
F
x y z
=
0 0 0
.
1Das ganze geht nat¨urlich noch allgemeiner f¨ur beliebige Basisvektoren im Urbild- und Bildraum, siehe Abbildungsmatrix f¨ur Koordinatenvektoren in der Literatur.
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Dipl. Wirtsch.-Math. Marcel Marohn E-Mail: m.marohn@mail.de Dazu bringt man die das Gleichungssystem beschreibende Matrix auf Zeilenstufenform (wir
vertauschen zu Beginn die ersten beiden Gleichungen), in dem wir von der zweiten Zeile 2·(I) abziehen:
1 4 −1
2 1 3
0 −7 5
⇒
1 4 −1
0 −7 5 0 −7 5
und anschließend eine Nullzeile in (III) erzeugen. Damit ist kerF = span
−13 5 7
, also
ein Unterraum mit Basis
−13 5 7
und hat Dimension 1. Nach Kern-Bild-Satz hat ImF Dimension 2. Eine Basis vom Bild erh¨alt man, in dem man eine Basis des Urbildraums R3 (z.B. die kanonischen Basisvektoren e1, e2, e3) ¨uber F abbildet und aus den daraus resultierenden Bildvektoren (die ja das Bild ImF aufspannen) eine Basis bestimmt. Man braucht hier nur zwei Basisvektoren abbilden, insofern die Bildvektoren linear unabh¨angig sind, da ja dim ImF = 2 gilt. Man erh¨alt als Basis von ImF
F
1 0 0
=
2 1 0
und F
0 1 0
=
1 4
−7
.
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