Mathematik 2 f¨ur Bauingenieure

Mathematik 2 f¨ ur Bauingenieure

Pr¨ ufung am 2.3.2018 Reinhard Winkler

Name (bitte ausf¨ ullen):

Matrikelnummer (bitte ausf¨ ullen):

Die m¨ undliche Pr¨ ufung wird f¨ ur die meisten in der Woche von 12. bis 16.3. stattfinden, einige Pr¨ ufungen sind schon am Di, 6.3., vormittags m¨ oglich. Bitte kreuzen Sie entsprechend an bzw.

f¨ ullen Sie aus. Eine Pr¨ ufungseinteilung, die Ihre W¨ unsche m¨ oglichst ber¨ ucksichtigt, wird Ihnen rechtzeitig per TISS bekannt gegeben werden.

Di, 6.3., zwischen 9 und 12 Uhr w¨ are f¨ ur mich M ¨ OGLICH: ◦ Ja ◦ Nein In der Woche von 12.3. bis 16.3. sind folgende Tage/Uhrzeiten f¨ ur mich UNG ¨ UNSTIG:

Wichtige Hinweise bevor Sie beginnen:

• Die Pr¨ ufung besteht aus vier Aufgaben 1, 2, 3, 4, untergliedert in jeweils vier Teilaufgaben A, B, C, D. Zu jeder Teilaufgabe wird maximal ein Punkt vergeben. Ab 8 von 16 m¨ oglichen Punkten d¨ urfen Sie jedenfalls zur m¨ undlichen Pr¨ ufung antreten.

• Die Arbeitszeit betr¨ agt 90 Minuten.

• Wenn in der Angabe nicht ausdr¨ ucklich anders vermerkt, wird zu jeder Teilaufgabe der Punkt (oder Teile eines Punktes) ausschließlich f¨ ur das vergeben, was Sie unmittelbar neben bzw. unterhalb der Angabe dieser Teilaufgabe niedergeschrieben haben (und nicht unterhalb der horizontalen Trennlinie zur n¨ achsten Teilaufgabe). Drei Punkte . . . symbolisieren, dass Sie Ihre Eintragung an dieser Stelle machen bzw. beginnen, ein kleiner Kreis ◦, dass Sie Zutreffendes ankreuzen sollen.

In den meisten F¨ allen sollte der jeweils vorgesehene Platz f¨ ur die L¨ osung der Aufgabe aus- reichen. Es lohnt daher, wenn Sie sich, bevor Sie mit dem Schreiben beginnen, vergewissern, dass Sie Ihre Antwort entsprechend kurz fassen k¨ onnen. Sollten Sie l¨ angere Nebenrechnungen oder sonstige schriftliche ¨ Uberlegungen durchf¨ uhren wollen, stehen Ihnen daf¨ ur die beiden letzten Bl¨ atter dieses Heftes zur Verf¨ ugung. Was immer Sie auf den letzten beiden Bl¨ attern notieren, wird bei der Punkteauswertung ignoriert.

• Wenn Sie sich noch vor Ausf¨ uhrung der Details einen ¨ Uberblick dar¨ uber verschaffen, was in den einzelnen Aufgaben und ihren Teilen zu tun ist, kann das hilfreich f¨ ur eine kluge Zeiteinteilung sein.

Nur vom Pr¨ ufer auszuf¨ ullen:

Punkte f¨ ur Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Summe:

Protokoll zur m¨ undlichen Pr¨ ufung, sonstige Bemerkungen:

Aufgabe 1: Diese Aufgabe ist der Linearen Algebra zuzuordnen und besch¨ aftigt sich mit Li- nearformen und Skalarprodukten (symmetrische, positiv definite Bilinearformen). Hinweis: Sp¨ atere Teilaufgaben k¨ onnen als Hilfe oder Kontrolle f¨ ur fr¨ uhere hilfreich sein.

Teilaufgabe A: Eine n-stellige Multilinearform m auf einem Vektorraum V ist eine Abbildung m : V

→ R , die in jeder der n Komponenten linear ist. Im Fall n = 2 spricht man von einer Bilinearform. Explizit lautet dann eine der Multilinearit¨ atsbedingungen: m(x, r y) = r m(x, y) f¨ ur alle x, y ∈ R

und alle r ∈ R . Geben Sie analog die anderen Multilinearit¨ atsbedingungen an m an:

Teilaufgabe B: Sei nun V = R

der zweidimensionale Standardvektorraum mit den kano- nischen Basisvektoren e

= (1, 0) und e

= (0, 1). Gibt es eine Bilinearform m auf R

wie in Teilaufgabe A, f¨ ur die m(e

, e

) = m(e

, e

) = 1 und m(e

, e

) = −1 gilt? Wenn ja, geben Sie so ein m explizit an, indem Sie einen Formelausdruck f¨ ur m(x, y) und allgemeine Vektoren x = (x

, x

), y = (y

, y

) ∈ R

explizit anschreiben; gibt es kein solches m, begr¨ unden Sie dies.

◦ Ja, zum Beispiel m(x, y) = m x

x

,

y

y

:= . . .

◦ Nein, denn . . .

Teilaufgabe C: Ahnlich wie in Teilaufgabe B, jedoch f¨ ¨ ur

” Skalarprodukt“ statt Bilinearform:

Gibt es ein Skalarprodukt p auf R

mit p(e

, e

) = p(e

, e

) = 1 und p(e

, e

) = −1? Wenn ja, geben Sie so ein p explizit an, indem Sie einen Formelausdruck f¨ ur p(x, y) und allgemeine Vektoren x = (x

, x

), y = (y

, y

) ∈ R

explizit anschreiben; gibt es kein solches p, begr¨ unden Sie dies.

Hinweis: ¨ Uberlegen Sie zun¨ achst, welchen Wert p(x, x) f¨ ur eine beliebiges x = (x

, x

) ∈ R

aus Linearit¨ atsgr¨ unden haben m¨ usste.

Multilinearit¨ at liefert p(x, x) = p x

x

,

x

x

:= . . . Daraus ersieht man:

◦ Ja, zum Beispiel p(x, y) = p x

x

,

y

y

:= . . .

◦ Nein, denn . . .

Teilaufgabe D: Sei p eine Bilinearform p auf R

(nicht notwendig ein Skalarprodukt) mit den Eigenschaften aus Teilaufgabe C. Beschreiben Sie die Menge M aller Vektoren x = (x

, x

) ∈ R

mit p(x, x) = 0.

Ein Vektor x = (x

, x

) liegt genau dann in M , wenn . . .

Aufgabe 2: Wir suchen nach einer Abbildung f : R

→ R

mit bestimmten Eigenschaften und verwenden die Schreibweise

f : R

→ R

, (α, β) 7→ f (α, β) :=



 x(α, β) y(α, β) z(α, β)





mit Komponentenfunktionen x, y, z : R

→ R .

Teilaufgabe A: Geben Sie geeignete Komponentenfunktionen x(α, β), y(α, β) und z(α, β) an derart, dass f stetig differenzierbar ist und das Bild f ( R

) = {f (α, β) : (α, β) ∈ R

} von f genau mit der sogenannten zweidimensionalen Einheitssph¨ are (Oberfl¨ ache der Einheitskugel) S

:= {(x, y, z) ∈ R

: x

+ y

+ z

= 1} ubereinstimmt. Hier gen¨ ¨ ugt die Angabe eines korrekten f . Die Begr¨ undung, warum f tats¨ achlich die geforderte Eigenschaft hat, wird erst in den Teilauf- gaben B und C gefragt sein. Hinweis: Es kann Zeit sparen, wenn Sie f gleich auch in Hinblick auf diese weiteren Teilaufgaben w¨ ahlen.

x(α, β) := . . . y(α, β) := . . . z(α, β) := . . .

Teilaufgabe B: Begr¨ unden Sie, warum die Funktion f , die Sie in Teilaufgabe A angegeben haben, tats¨ achlich f ( R

) ⊆ S

erf¨ ullt. Hinweis: Hier ist eigentlich nur nachzurechnen, dass eine gewisse Quadratsumme f¨ ur alle Werte von α und β einen bestimmten Wert annimmt. (Welchen?)

Teilaufgabe C: Begr¨ unden Sie, warum die Funktion f , die Sie in Teilaufgabe A angegeben haben, tats¨ achlich S

⊆ f( R

) erf¨ ullt. Hier ist, in Umkehrung zu Teilaufgabe B, davon auszugehen, dass ein gegebenes reelles Zahlentripel (x, y, z) die Gleichung x

+ y

+ z

= 1 erf¨ ullt, und sodann ein Paar (α, β) mit f (α, β) = (x, y, z) zu konstruieren. Wenn es Ihnen sympathisch ist, d¨ urfen Sie auch anhand einer Skizze argumentieren.

F¨ ur gegebenes (x, y, z) ∈ S

(also x

+ y

+ z

= 1) w¨ ahlen wir zun¨ achst . . .

Teilaufgabe D: Bestimmen Sie f¨ ur ein x

= (x

, y

, z

) ∈ S

Ihrer Wahl die Menge f

(x

), also die Menge aller (α, β) ∈ R

mit f (α, β) = x

.

F¨ ur x

:= . . .

Aufgabe 3: In dieser Aufgabe geht es um iterierte Integrale und die M¨ oglichkeit, die In- tegrationsreihenfolge zu vertauschen. Dazu sei f : R

→ R gegeben durch f (x, y) := xy

. Als Integrationsbereiche werden das Einheitsquadrat Q und das Dreieck ∆ mit

Q := [0, 1] × [0, 1] und ∆ := {(x, y) ∈ R

: x, y ≥ 0, x + y ≤ 1}

auftreten. Außerdem schreiben wir abk¨ urzend I(x) := R

0

f (x, y) dy und J (y) := R

0

f (x, y) dx.

Teilaufgabe A: Berechnen Sie I(x) f¨ ur 0 ≤ x ≤ 1, sowie R

0

I(x) dx.

I(x) = . . .

R

0

I(x) dx = . . .

Teilaufgabe B: Berechnen Sie J(y) f¨ ur 0 ≤ y ≤ 1, sowie R

0

J (y) dy.

J (y) = . . .

R

0

J(y) dy = . . .

Teilaufgabe C: Wie l¨ asst sich das zweidimensionale Lebesgueintegral R

Q

f (x, y) dλ

ermitteln?

Formulieren Sie einen allgemeinen Satz, auf dem die von Ihnen beschriebene Methode beruht, und wenden Sie diese Methode auf das konkrete Beispiel dieser Aufgabe an.

Der Satz von . . . . lautet:

F¨ ur die Funktion f von Aufgabe 3 und den Integrationsbereich Q bedeutet das:

R

Q

f (x, y) dλ

= . . .

Teilaufgabe D: Welche Modifikationen sind vorzunehmen, wenn der Integrationsbereich Q aus Teilaufgabe C durch den dreieckigen Integrationsbereich D ersetzt wird? Es gen¨ ugt, wenn Sie die Rechnung durchf¨ uhren:

R

∆

f(x, y) dλ

= . . .

Aufgabe 4: In dieser Aufgabe geht es um wahrscheinlichkeitstheoretische Fragestellungen, vor allem die Exponentialverteilung P

zum Parameter λ > 0 betreffend. X bezeichne eine Zu- fallsvariable mit Verteilung P

.

Teilaufgabe A: Ist λ > 0, so gibt es eine von λ abh¨ angige Konstante c = c(λ), so dass die Funktion ρ

, definiert durch ρ

(x) = ce

f¨ ur x ≥ 0 und ρ

(x) = 0 f¨ ur x < 0 die Dichtefunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P

ist. Welche Gleichung muss daf¨ ur gelten?

Teilaufgabe B: Bestimmen Sie c(λ) aus Teilaufgabe A.

Teilaufgabe C: Berechnen Sie P

(X ≤ t) f¨ ur t ≥ 0.

Teilaufgabe D: Definieren Sie, was man allgemein unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P (A|B) eines Ereignisses A unter einer Bedingung B mit P (B) > 0 versteht. Damit l¨ asst sich die sogenannte Ged¨ achtnislosigkeit der Exponentialverteilung P

nachrechnen. Diese Eigenschaft l¨ asst sich verbal folgendermaßen beschreiben:

Sei X eine nach P

verteilte Zufallsgr¨ oße, die angibt, wann ein bestimmtes

” seltenes“ Ereignis eintritt, z.B. der Zerfall eines radioaktiven Teilchens. Angenommen, die Zeitmessung hat vor t Zeiteinheiten begonnen, und das Teilchen ist bisher noch nicht zerfallen. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Teilchen nach s weiteren Zeiteinheiten von jetzt an zerf¨ allt, ist bei einer ged¨ achtnislosen Verteilung unabh¨ angig von t.

Formulieren Sie diese Eigenschaft als Gleichung, in der X in einer bedingten Wahrscheinlich- keit auftritt.

Die allgemeine Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit lautet P (A|B) = . . .

Die Ged¨ achtnislosigkeit der Verteilung P

von X l¨ asst sich wie folgt als Formel schreiben:

. . .

Raum f¨ ur Nebenrechnungen und sonstige Notizen, die bei der Beurteilung ignoriert werden.

Raum f¨ ur Nebenrechnungen und sonstige Notizen, die bei der Beurteilung ignoriert werden.