Mathematik 2 f¨ur Bauingenieure

Mathematik 2 f¨ ur Bauingenieure

Pr¨ ufung am 5.10.2014 Reinhard Winkler Name (bitte ausf¨ ullen):

Matrikelnummer (bitte ausf¨ ullen):

Die m¨ undlichen Pr¨ ufungen werden voraussichtlich am Mittwoch, dem 10.12., ab 17 Uhr und am Donnerstag, dem 11.12., ab 15 Uhr stattfinden. (Ort: Freihaus, gr¨ uner Turm, 7.Stock, Bespre- chungszimmer). Die genaue Termineinteilung wird Ihnen rechtzeitig per TISS bekanntgegeben werden. Sollte einer dieser beiden Termine f¨ ur Sie absolut unm¨ oglich sein, k¨ onnen Sie das hier vermerken.

Wichtige Hinweise bevor Sie beginnen:

• Die Pr¨ ufung besteht aus vier Aufgaben 1, 2, 3 und 4, untergliedert in jeweils vier Teilaufgaben A, B, C und D. Zu jeder Teilaufgabe wird maximal ein Punkt vergeben. Ab 8 von 16 m¨ oglichen Punkten d¨ urfen Sie jedenfalls zur m¨ undlichen Pr¨ ufung antreten.

• Die Arbeitszeit betr¨ agt 90 Minuten.

• Zu jeder Teilaufgabe wird der Punkt (oder Teile eines Punktes) ausschließlich f¨ ur das verge- ben, was Sie unmittelbar unterhalb der Angabe dieser Teilaufgabe niedergeschrieben haben (und nicht unterhalb der horizontalen Trennlinie zur n¨ achsten Teilaufgabe).

In den meisten F¨ allen sollte der jeweils vorgesehene Platz f¨ ur die L¨ osung ausreichen. Es lohnt daher, wenn Sie, bevor Sie mit dem Schreiben beginnen, sich vergewissern, dass Sie Ihre Antwort entsprechend kurz fassen k¨ onnen. Sollten Sie l¨ angere Nebenrechnungen oder sonstige schriftliche ¨ Uberlegungen durchf¨ uhren wollen, stehen Ihnen daf¨ ur die beiden letzten Bl¨ atter dieses Heftes zur Verf¨ ugung. Was immer Sie dort notieren, wird bei der Punkteauswertung ignoriert.

• Wenn Sie sich noch vor der Ausf¨ uhrung der Details einen ¨ Uberblick dar¨ uber verschaffen, was in den einzelnen Aufgaben und ihren Teilen zu tun ist, kann das hilfreich f¨ ur eine kluge Zeiteinteilung sein.

Nur vom Pr¨ ufer auszuf¨ ullen:

Punkte f¨ ur Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Gesamt:

Protokoll zur m¨ undlichen Pr¨ ufung, sonstige Bemerkungen und Gesamtnote:

Aufgabe 1: Zu Stichproben aus n Werten x 1 ≤ x 2 ≤ . . . ≤ x n ∈ R sind gewisse Fragen zu beantworten, die den (empirischen) Median ˜ x, den (empirischen) Mittelwert ¯ x und die (empirische) Varianz V betreffen.

Teilaufgabe A: Geben Sie die Definition des empirischen Medians ˜ x an. Gehen Sie dabei explizit auf den Unterschied zwischen geradem und ungeradem n ein.

Teilaufgabe B: Geben Sie die Definition des empirischen Mittelwerts ¯ x an und erkl¨ aren Sie, wann in der Ungleichungskette

x 1 = 1 n

n

X

i=1

x 1 ≤ ¯ x ≤ 1 n

n

X

i=1

x n = x n

sogar Gleichheit gilt.

Teilaufgabe C: Sei n = 5. Geben Sie f¨ unf Werte x ₁ ≤ x ₂ ≤ x ₃ ≤ x ₄ ≤ x ₅ so an, dass ˜ x = 1 und ¯ x = 0 gilt, und berechnen Sie f¨ ur Ihre Werte V .

Teilaufgabe D: Wenn Sie Teilaufgabe C richtig gel¨ ost haben, so haben Sie f¨ ur V sicher eine

Aufgabe 2: Die Zahlen a, b, c, d, e ∈ R seien gegeben, außerdem f : R ² → R , (x, y) 7→ ax ² + by ² + cxy + dx + ey.

Teilaufgabe A: Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von f , also ^∂f _∂x , ^∂f _∂y , ^∂ _∂x

^f

, ^∂ _∂y

^f

und _∂x∂y ^∂

^f = _∂y∂x ^∂

^f .

Was l¨ asst sich ¨ uber die partiellen Ableitungen dritter Ordnung sagen?

Teilaufgabe B: Geben Sie Zahlenwerte f¨ ur a, b, c, d, e ∈ R an derart, dass f im Punkt (0, 0) ein striktes lokales Maximum hat (d.h. dass es eine Umgebung von (0, 0) gibt in der alle anderen Funktionswerte echt kleiner sind als in (0, 0)).

Teilaufgabe C: Geben Sie Zahlenwerte f¨ ur a, b, c, d, e ∈ R an derart, dass f im Punkt (0, 0) kein lokales Extremum hat (d.h. dass in jeder Umgebung von (0, 0) sowohl Punkte mit kleinerem wie auch mit gr¨ oßerem Funktionswert liegen).

Teilaufgabe D: Geben Sie die Hessesche Matrix von f in einem Punkt (x, y) ∈ R an.

Aufgabe 3: F¨ ur jedes α ∈ R sei die lineare Abbildung f α : R ³ → R ³ durch ihre Matrixdar- stellung (bez¨ uglich der kanonischen Basis)





cos α − sin α 0 sin α cos α 0

0 0 −1





gegeben.

Teilaufgabe A: Beschreiben Sie die Wirkung der Abbildung f α verbal.

Teilaufgabe B: Geben Sie einen dreidimensionalen K¨ orper K mit Volumen 2π an, so dass f¨ ur alle α ∈ R gilt: K wird durch f _α auf sich selbst abgebildet, d.h. f _α (K) = K.

Teilaufgabe C: Was folgt aus der Existenz von K in Teilaufgabe B f¨ ur die Determinante D _α von f _α ? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort, ohne D _α auszurechnen.

Teilaufgabe D: Geben Sie die Matrix von f _α ⁿ (= n-fach Iterierte von f α ) an.

Aufgabe 4: Die lineare Abbildung f : R ³ → R ³ habe die Eigenvektoren x i ∈ R ³ , i = 1, 2, 3, gegeben durch

x 1 :=



 1 0 1



 x 2 :=



 1

−1 1



 x 3 :=



 1 0 0





zu den Eigenwerten λ 1 = 2, λ 2 = 3,λ 3 = −1.

Teilaufgabe A: Stellen Sie die kanonischen Basisvektoren e ₁ , e ₂ , e ₃ als Linearkombinationen von x ₁ , x ₂ und x ₃ dar.

Teilaufgabe B: Ermitteln Sie die Matrixdarstellung von f bez¨ uglich der kanonischen Basis.

(Hinweis: Verwenden Sie Teilaufgabe A.)

Teilaufgabe C: Berechnen Sie die Determinante D von f . (Hinweis: Die L¨ osung von Teilauf- gabe B ist dazu nicht erforderlich, kann aber zur Probe verwendet werden.)

Teilaufgabe D: Sei f ⁿ die n-fach Iterierte von f . Geben Sie Formeln in n f¨ ur die Koordinaten

y 1 (n), y 2 (n), y 3 (n) des Vektors y := f ⁿ (x 1 + x 2 + x 3 ) an.

Raum f¨ ur Nebenrechnungen und sonstige Notizen, die bei der Beurteilung ignoriert werden.

Raum f¨ ur Nebenrechnungen und sonstige Notizen, die bei der Beurteilung ignoriert werden.