Lineare Abbildungen

Lineare Abbildungen

7.1 Motivation

Verschieben, Drehen und Scheren sind parallelentreu, d.h sie lassen sich auch als Ab- bildung zwischen Vektorr¨aumen fomulieren. Die Verschiebung, beispielsweise, kann dargestellt werden!v !→!v+!a,worin!airgendein fester Vektor – derVerschiebungsvek- tor. Eine Skalierung !v !→λ!v, worin λ∈R irgendeine feste Zahl – der Skalenfaktor.

Eine zweidimensionale Scherung!v !→(v¹+σv²)!e1+v²!e2, wobei!e1Vektor in Richtung der Scherachse, undσ ∈Rirgendeine feste Zahl – dasSchermodul. Eine zweidimen- sionale Drehung schließlich

90 Lineare Abbildungen

7.2 Definition

Definition “Lineare Abbildung”: SeienV, W Vektorr¨aume. Eine AbbildungA: V →W heißt linear, genau dann wenn

A(λ1!v1+λ2!v2) =λ1A(!v1) +λ2A(!v2) (7.1) Kurz: unter einer linearen Abbildung werden Linearkombinationen auf Linearkom- binationen abgebildet.

Um zu betonen, dass man es hier mit Abbildungen zwischen Vektorr¨aumen zu tun hat laufen die linearen Abbildungen zwischen Vektorr¨aumen auch unter dem Be- griff des Vektorraumhomomorphismus, zuweilen kurz “Homomorphismus”. Homo- morphismen begegnen einem in der Mathematik aller Orten. Ihren diversen Aus- pr¨agungen gemein ist, dass sie die Rechenregeln respektieren, die f¨ur die zugrunde- liegenden Mengen gelten.

Je nach Eigenschaft werden lineare Abbildungen klassifiziert. Ein Vektorraumho- momorphismus A:V →W heißt

Monomorphismus, wenn A injektiv Epimorphismus, wenn A surjektiv

Isomorphismus, wenn A injektiv und surjektiv, also bijektiv Endomorphismus, wenn V =W,

Automorphismus, wenn V =W und A bijektiv.

Linearform wenn W eindimensionaler Vektorraum

Hatte ich schon erw¨ahnt, dass das Studium der Mathematik dem Erlernen einer Fremdsprache entspricht?

Zwei Vektorr¨aumeV, W heißen isomorph, wenn es einen IsomorphismusA:V →W gibt. Je zwei Vektorr¨aume ¨uber dem gleichen K¨orper sind isomorph sofern sie nur von gleicher Dimension. Insbesondere sind also allen-dimensionalen reellen Vektorr¨aume isomorph dem Vektorraum Rⁿ der Zahlenspalten.

Beim Studium einer linearen AbbildungA:V →W sind folgende Begriffe n¨utzlich

BildA≡A(V) :={A(!v)|!v∈V} ⊂W, ein Untervektorraum von W

KernA:={!v ∈V|A(!v) =o} ⊂V, ein Untervektorraum von V

rgA:= dimBildA, der Rang von A. Damit die Dimensionsformel f¨ur lineare Abbil- dungen

dimKern + dimBild = dimV (7.2)

Lineare Abbildungen k¨onnen “verkettet” werden. Hat man beispielsweise eine lineare AbbildungA:V →W und eine lineare AbbildungB :W →Y, so ist mitC :=B◦A (Reihenfolge beachten!) eine lineare Abbildung C:V →Y verabredet.

Sofern Urbild- und Bildraum isomorph, insbesondere also von gleicher Dimension, und A :V →W von vollem Rang, dimBild(A) = dimV, kann A invertiert werden.

Das Inverse von A wird dann notiert A⁻¹, wobeiA◦A⁻¹ =A⁻¹ ◦A = id_V mit id_V die lineare Abbildung “Identit¨at”, idV(!v) =!v f¨ur alle!v ∈V.

92 Lineare Abbildungen

7.3 Matrixdarstellung

Eine lineare Abbildung A : V → W ist vollst¨andig durch die Bilder einer Basis (!a1, . . . , !an)⊂V charakterisiert. Seien also!ai gewisse Basisvektoren des V, und!bµ

Basisvektoren des W.¹ Das Bild A(!a_i) des i-ten Basisvektors von V ist ein Vektor in W, und also ein Linearkombination von Basisvektoren aus W, A(!ai) = !bµA^µi. Die Koeffizienten A^µi sind die Darstellung der linearen Abbildung A bez¨uglich der Basen!bi, !cµ.

Die Abbildung eines allgemeinen Vektors !v =!aivⁱ kann nun – der Linearit¨at vonA sei Dank – leicht angegeben werden!v !→w! =!bµA^µ_ivⁱ, notiert f¨ur die Entwicklungs- koeffizienten w^µ des Bildvektors w! =!cµw^µ

w^µ=A^µivⁱ. (7.3)

wobei wir hier vonEinstein’schen SummenkonventionGebrauch machen: “¨uber dop- pelt auftretende, schr¨ag gestellte Indices wird summiert!”, also

A^µ_ivⁱ ≡

!n i=1

A^µ_ivⁱ =A^µ₁v¹+A^µ₂v²+· · ·+A^µ_nvⁿ, (7.4)

wobei n die Dimension des Vektorraums V, also n= dim(V).

Die Kurzschreibweise ist f¨ur allgemeine ¨Uberliegungen n¨utzlich, f¨ur konkrete Rech- nungen aber ein Alptraum. “Konkrete Rechnung” heißt, dass die Gesamtheit derA^µi

alsm×n Zahlen vorliegen, und man wissen will, welche Werte diem Zahlenw^µf¨ur eine gegebene Gesamtheit von n Zahlen vⁱ annehmen. F¨ur solcherart Rechnungen

1Dass wir hier die Basis von V mit einem lateinischen Buchstaben i abz¨ahlen, die Basis von W hingegen mit einem griechischen Buchstaben hat keinerlei mathematische Bedeutung, sondern dient der schnellen Identifizierung “wo jemand hingeh¨ort” (ob zu V oder zuW).

wird () gerne in einer sog. Matrixschreibweie notiert,





 w¹ w² ...

w^m





=







A¹1 A¹2 . . . A¹n

A²1 A²2 . . . A²n

... ... ... ...

A^m1 A^m2 . . . A^mn







( )* +

Die m×n-Matrix (A^µ_i)





 v¹ v² ...

vⁿ





 (7.5)

wobei die Berechnungsvorschrift lautet: Kippe den Spaltenvektor rechts in die Waag- rechte, lege ihn ¨uber die µ-te Zeile, summiere die Produkte der ¨ubereinanderliegen- den Zahlen – und das Resultat ist der µ-te Eintrag im Spaltenvektor links.

Die Verkettung einer linearen Abbildung A:V →W und einer linearen Abbildung B : W → Y, also die Abbildung C := B ◦ A, wird in einer Basis (!c1. . . !cl) ⊂ Y dargestellt C(!v) = !caB^aµA^µivⁱ, bzw. C(!v) = !haC^aivⁱ mit C^ai = B^aµA^µi, in

“Matrixschreibweise





C¹1 . . . C¹n

... ... ...

C^l1 . . . C^ln



=





B¹1 . . . B¹m

... ... ...

B^l1 . . . B^lm









A¹1 . . . A¹n

... ... ...

A^m1 . . . A^mn



 (7.6)

mit der Rechenvorschrift der sog. Matrixmultiplikation: Kippe die j-te Spalte die Matrix A ¨uber die a-te Zeile der Matrix B, summiere die Produkte der ¨ubereinan- derliegenden Zahlen – das Resultat ist das Element C^aj der Matrix C.

7.4 Determinante

Die Determinante ist eine Abbildung (ja, ja – schon wieder), die jeder linearen Abbil- dungA:V →V eine Zahl det(A) zuweist, wobei . . . wie bitte? Die genaue Definition

94 Lineare Abbildungen verschieben wir auf sp¨ater, hier nur das Rezept, die Determinante einer gegebenen n × n-Matrix (= n ×n-quadratisches Zahlenschema) auszurechnen (Entwicklung nach der ersten Spalte):

det





A¹1 · · · A¹n

... ...

Aⁿ1 · · · Aⁿn





( )* +

:=A

=A¹1|A₁₁| −A²1|A₂₁|+A³1|A₃₁| −. . .+ (−1)ⁿ⁺¹Aⁿ1|A_n1|

(7.7) worin ,,A_ij,,= det(A_ij) mitA_ij diejenige Matrix, die aus A nach Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte ¨ubrigbleibt.

F¨ur eine 2×2-Matrix ergibt sich beispielsweise

det

- a b c d

.

=ad−bc , (7.8)

und f¨ur die 3×3-Matrix

det



 a¹ b¹ c¹ a² b² c² a³ b³ c³



=. . . (7.9)

Das Rezept zur Berechnung des Spatprodukts lautet nun: trage die R³-Darstellung der drei Vektoren!a,!b und!cals Zahlenspalten in einer 3×3-Matrix ein. Die Deter- minante dieser Matrix ist dann das Spatprodukt !a·(!b×!c).

7.5 Drehungen und Spiegelungen im R

Wir betrachten den Euklidischen Vektorraum R², und suchen lineare Abbildungen R, die das Skalarprodukt respektieren, also (Ru)·(Rv) =u·v.

Eine lineare Abbildung, die das Skalarpodukt respektiert, respektiert immer auch die Norm*R!a*² =*!a*², d.h. Einheitsvektoren werden unterR auf Einheitsvektoren abgebildet. Das gilt insbesondere f¨ur die kanonischen Einheitsvektoren desR² deren Bild bekanntlich die Spalten vonR. Mit Blick auf die nebenstehende Abbildung ist Re₁ =

- cosϕ sinϕ

.

. F¨ur das Bild vone₂ – es muss senkrecht aufRe₁ stehen – bleiben zwei M¨oglichkeiten: Re₂ =

- −sinϕ cosϕ

.

oder Re₂ =

- sinϕ

−cosϕ .

.

Zusammengefasst: Eine 2×2-Matrix R, die das Skalarprodukt respektiert, (R!a)· (R!b) =!a·!b, ist von notwendig von der Form

R =

- cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ

.

oder R =

- cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ

.

(7.10)

Matrizen der Form () bleiben beim Multiplizieren “unter sich”

7.6 Aufgaben

% Aufgabe 7-1* (3 Punkte)

96 Lineare Abbildungen Berechnen Sie

- 1 2 3 4

. - 5 7

. 

 1 2 3

0 1 0

−2 1 4







 5

−7 13



 (7.11)

% Aufgabe 7-2* (4 Punkte)

Gegeben zwei Matrizen A=



 1 2 3

0 1 0

−2 1 4



 B =



 3 −2 1 1 2 −3

2 3 1



 (7.12)

Berechnen Sie die beiden Matrixprodukte A B und B A und bestimmen Sie den Kommutator [A, B] =A B−B A.

% Aufgabe 7-3* (6 Punkte)

Man bestimme die Determinante und die Inverse der folgenden Matrizen - 1 2

3 4 .

,



 1 2 3

0 1 0

−2 1 4



 (7.13)

% Aufgabe 7-4 (7 Punkte)

Ein K¨orper kreiselt um ein gewisse Achse !n mit Kreisfrequenz ω. Man ¨uberzeuge sich, dass ein K¨orperkr¨umel, der sich zur Zeit tam Ort!r(t) befindet, eine Geschwin- digkeit!v(t) = !ω×!r(t) aufweist, wo !ω=ω!n.

F¨ur gegebenes !ω h¨angt !v linear von !r ab. Wie lautet die Matrixdarstellung der Gleichung !v =!ω×!r?