Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2018
Lineare Algebra II – Blatt 7
Abgabe der L¨osungen bis zum 28.05.2018, 10:15 Uhr in den daf¨ur vorgesehenen K¨asten Bitte beachten Sie die allgemeinen Hinweise zur Bearbeitung und Abgabe auf
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/LAII_SS18/.
Aufgabe 7.1 (4 Punkte)
Sei n∈N, und betrachteV =Matn(R)als R-Vektorraum. Zeigen Sie, dass β∶V ×V →R, β(A, B) =Spur(AB)
eine Bilinearform darstellt, und beantworten Sie die folgenden Fragen: Ist die Bilinearform nicht-ausgeartet? Ist sie symmetrisch?
Aufgabe 7.2 (4 Punkte)
SeiK=Z/17Z, der K¨orper mit 17 Elementen, undV =K4 der Standardvektorraum. Seiβ die symplektische Bilinearform aufV, deren Strukturmatrix bez¨uglich der Standardbasis E = (e1, e2, e3, e4) die Gestalt
[β]E =
⎛⎜⎜
⎜⎝
0 7 2 1
10 0 13 5
15 4 0 3
16 12 14 0
⎞⎟⎟
⎟⎠
habe. Berechnen Sie eine symplektische Basis f¨urV bez¨uglich β.
Aufgabe 7.3 (4 Punkte)
Sei n∈N, K ein K¨orper undA= (aij) ∈Matn(K)streng schiefsymmetrisch. Zeigen Sie:
(a) Ist n ungerade, so ist det(A) =0.
(b) Ist n gerade, so ist det(A) ein Quadrat in K.
(c) Berechnen Sie, f¨urn=4, ein Polynom Pf(X12, X13, X14, X23, X24, X34)uber¨ Z, so dass stets gilt:
det(A) =Pf(a12, a13, a14, a23, a24, a34)2.
Aufgabe 7.4 (4 Punkte)
Sei n ∈N, sei K ein K¨orper und seien x1, . . . , xn ∈K. Beweisen Sie per Induktion, dass die folgende Gleichung f¨ur die sogenannte Vandermonde-Matrix:
det
⎛⎜⎜
⎜⎜⎜⎜
⎝
1 x1 x12 ⋯ x1n−1 1 x2 x22 ⋯ x2n−1 1 x3 x32 ⋯ x3n−1
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
1 xn xn2 ⋯ xnn−1
⎞⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
⎠
= ∏
1≤i<j≤n
(xj−xi).
Hinweis. Verwenden Sie geeignete Zeilen- und Spaltenumformungen sowie Laplace-Ent- wicklung.
S. 1/1
