Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, Blatt 6: Orthogonalit¨at, lineare Abbildungen
V 6.1.Wir betrachten denR-Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten inRmit dem Skalarprodukt
hf, gi= Z 1
−1
f(x)g(x)dx.
a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis vonU =L({1, x, x2}) mittels dem Verfahren von Schmidt aus Bem. 3.20.
b) Stellen Sie das Polynomp(x) = 1−2x in der Basis aus Teil a) dar. Sie k¨onnen dazu die Formel aus Satz 3.11 (ii) verwenden.
c) Bestimmen Sie die orthogonale Projektionr(x) vonq(x) =x4−1 aufU.
d) Zeichnen Sie die Graphen der Polynomfunktionenq(x) undr(x) f¨urx∈[−2,2]. Sie k¨onnen dazu einen Computer verwenden.
V 6.2.Es sei V =R2 und U =L({(1,2)}).
a) Berechnen Sie die Projektionen PU((1,0)), PU((2,−1)), PU((1,1)) indem Sie die Formel aus Satz 3.18 benutzen.
b) Skizzieren Sie U und die Vektoren sowie deren Projektionen aus a).
c) Weisen Sie nach, dassPU eine lineare Abbildung ist.
d) Geben Sie den Kern und das Bild der linearen AbbildungPU an.
V 6.3. Es sei V ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt h·,·i und U sei ein endlichdimensionaler Untervektorraum vonV.
a) Zeigen Sie, dass die orthogonale Projektion PU :V →V eine lineare Abbildung ist.
b) Beweisen Teil (iv) aus Satz 3.17, d.h., zeigen Sie, dass f¨ur alle v∈V gilt: v−PU(v)∈U⊥. c) Bestimmen Sie Kern und Bild der AbbildungPU.
V 6.4.Es sei V =R3 und f :R3 →R2 eine lineare Abbildung.
a) Bestimmen Sie Zahlena, b, c∈R so dass (1,0,1) =a(1,0,0) +b(1,1,0) +c(1,1,1).
b) Angenommen, es ist f(1,0,0) = (2,−1), f(1,1,0) = (1,1) undf(1,1,1) = (1,0). Berechnen Sie f(1,0,1) mit Hilfe der Darstellung aus a) und indem Sie die Linearit¨at von f benutzen.
c) Liegt v= (1,0,1) im Kern von f? Liegtw= (1,2,3) im Kern von f?
d) Liegt z= (1,2) im Bild vonf?
S 6.5.Es sei U =L({(2,1,3,−1),(7,4,3,−3),(5,7,7,8)}).
a) Bestimmen Sie eine Orthonomalbasis vonU.
b) Berechnen Sie die Projektion PU(v) des Vektors v= (157,−109,0,115) aufU.
S 6.6.Es seien V,W undZ Vektorr¨aume und f :W →Z undg:V →W seien lineare Abbildungen.
a) Beweisen Sie, dass auch die Verkettung f◦g eine lineare Abbildung ist. D.h. rechnen Sie nach, dass L1f(g(u+v)) =f(g(u)) +f(g(v)) und L2 f(g(λu)) =λf(g(u)) gelten.
b) Beweisen Sie, dass Ker(f) ein Untervektorraum von W ist.
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2 Abgabe der S-Aufgaben am 6.6.2016, V-Aufgaben vorzubereiten zur Woche ab 6.6.2016
