Prof. Dr. W. Koepf 10. Februar 2006 Dipl.-Math. T. Sprenger
Ubungen zur Vorlesung¨
COMPUTERALGEBRA UND ORTHOGONALE POLYNOME Ubungsblatt 12¨
Aufgabe 1:Bestimmen Sie aus der Differenzengleichung
σ(x)∆∇Pn(x) +τ(x)∆Pn(x) +λnPn(x) = 0
die Parameter αn, βn und γn (in Abh¨angigkeit von a, b, c, d, e und kn) der Differenzenregel σ(x)∇Pn(x) =αnPn+1(x) +βnPn(x) +γnPn−1(x).
Aufgabe 2:
(a) Implementieren Sie den Algorithmus zur Bestimmung der klassischen diskreten OPS- L¨osungen holonomer Dreitermrekursionen analog zu Satz 42 in Mathematica.
(b) (α+ 1)(n+β+ 1)Pn+2(x)−(n(α+ 2) +β+α(x+β+ 1) + 2)Pn+1(x) + (n+ 1)Pn(x) = 0 Untersuchen Sie mit Hilfe der Prozedur aus (a), ob die L¨osung der Rekursion aus (b) ein klassisches diskretes OPS darstellt. Falls ja, geben Sie auch das klassische diskrete OPS an.
Aufgabe 3: Bestimmen Sie aus der Differenzengleichung von Pn(x) die allgemeine Rekursi- onsgleichung der Reihenkoeffizienten Ck(n), welche durch
Pn(x) =
n
X
k=0
Ck(n)xk
gegeben sind. Verifizieren Sie mit dieser Rekursion, dass
Mn(x;γ, µ) = (γ)n2F1
−n,−x γ
1− 1 µ
die hypergeometrische Darstellung der Meixnerpolynome ist.
Abgabetermin bis: Freitag, 17. Februar 2006, 13.15 Uhr an: sprenger@mathematik.uni-kassel.de
