4 Lineare Abbildungen und Matrizen

(1)

4.1 Lineare Abbildungen

Definition 4.1. Es seien V , W K-Vektorr¨ aume. Eine Abbildung f : V → W heißt linear oder Homomorphismus, wenn f¨ ur alle u, v ∈ V und λ ∈ K gilt

L1 f (u + v ) = f (u) + f(v), L2 f(λu) = λf(u).

Beispiel 4.2.

Satz 4.3. Die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W wird mit Lin(V, W ) bezeichnet und ist ein Untervektorraum des Vektorraums X = Abb(V, W ) aller Abbil- dungen von V nach W .

Beweis.

(2)

4 Lineare Abbildungen und Matrizen

Satz 4.4. (i) Sind f : V → W und g : W → Z lineare Abbildungen, so ist auch die Verkettung f ◦ g : V → Z (mit (f ◦ g)(v) = f (g(v))) eine lineare Abbildung.

(ii) Ist f : V → W eine lineare Abbildung und besitzt f eine Umkehrfunktion f

⁻¹

, so ist auch die Umkehrfunktion linear.

Satz 4.5. Es sei V ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt und U ein Untervektorraum von V . Die orthogonale Projektion P

U

: V → U aus 3.15 ist linear.

Definition 4.6. Es sei f : V → W eine lineare Abbildung. Dann ist Im(f ) = f (V ) = {f (v) | v ∈ V }

das Bild von f, und

Ker(f) = {v ∈ V | f(v) = 0}

der Kern von f . Beispiel 4.7.

Satz 4.8. Ist f : V → W eine lineare Abbildung, so ist Im(f ) ein Untervektorraum von W , und Ker(f ) ein Untervektorraum von V .

Beweis.

(3)

4.2 Isomorphismen

Definition 4.9. Besitzt eine lineare Funktion f : V → W eine Umkehrfunktion f

⁻¹

: W → V , so heißt f Isomorphismus. Die Vektorr¨ aume V , W heißen zueinander isomorph, falls es einen Isomorphismus f : V → W gibt.

Beispiel 4.10.

Satz 4.11. Ist V ein Vektorraum mit der Basis B = {b

1

, b

2

, . . . , b

n

}, so kann man eine lineare Abbildung f definieren, indem man die Bilder der Basisvektoren festlegt. D.h. f¨ ur f : V → W w¨ ahlt man w

₁

, w

₂

, . . . , w

_n

∈ W , und setzt f (b

_i

) = w

_i

. Dann ist f definiert durch

f (v) = f

n

X

i=1

λ

i

b

i

!

=

n

X

i=1

λ

i

f (b

i

) =

n

X

i=1

λ

i

w

i

. Beispiel 4.12.

Satz 4.13. Es seien V , W K-Vektorr¨ aume, und f : V → W sei eine lineare Abbildung.

(i) Schr¨ ankt man den Bildbereich von f auf f (V ) ein, so ist die Abbildung f ˜ : V → f (V ) mit f(v) = ˜ f(v) invertierbar, genau dann, wenn Ker(f) = {0}.

(ii) Es sei B = {b

1

, b

2

, . . . , b

n

} eine Basis von V . f ist ein Isomorphismus, genau dann wenn die Menge {f(b

₁

), f(b

₂

), . . . , f (b

_n

)} eine Basis von W ist.

(iii) Gilt Dim(V ) = Dim(W ), so ist f invertierbar, genau dann wenn Ker(f ) = {0}.

(4)

4 Lineare Abbildungen und Matrizen

Satz 4.14. Es sei V ein K -Vektorraum der Dimension n. Dann ist V isomorph zum Vektorraum K

ⁿ

.

Beweis.

4.3 Matrizen

Es sei V ein Vektorraum mit der geordneten Basis B = (b

₁

, b

₂

, . . . , b

_n

), W sei ein Vek- torraum mit der geordneten Basis C = (c

₁

, c

₂

, . . . , c

_m

), und f : V → W sei eine lineare Abbildung. Denkt man an Satz 4.11, so ist f bereits vollst¨ andig gegeben durch die Definition von

f(b

₁

) = w

₁

, f (b

₂

) = w

₂

, . . . f (b

_n

) = w

_n

.

Stellt man die Vektoren w

_i

als Linearkombinationen in der Basis C dar (vgl. Satz 2.16), so bekommt man das Schema

f (b

₁

) = a

₁₁

c

₁

+ a

₂₁

c

₂

+ . . . a

_m1

c

_m

, f (b

₂

) = a

₁₂

c

₁

+ a

₂₂

c

₂

+ . . . a

_m2

c

_m

,

.. . .. .

f (b

_n

) = a

_1n

c

₁

+ a

_2n

c

₂

+ . . . a

_mn

c

_m

. Die lineare Abbildung f ist also durch das Zahlenschema

A =







a

₁₁

a

₁₂

. . . a

_1n

a

21

a

22

. . . a

2n

.. . .. . .. . .. . a

_m1

a

_m2

. . . a

_mn







(?)

eindeutig definiert.

(5)

Definition 4.15. Ein Zahlenschema der Form (?) heißt m × n-Matrix. Die Menge aller solcher Zahlenschemata wird mit K

^m×n

bezeichnet. Man kann zwei m × n-Matrizen addieren wie folgt,







a

₁₁

a

₁₂

. . . a

_1n

a

₂₁

a

₂₂

. . . a

_2n

.. . .. . .. . .. . a

m1

a

m2

. . . a

mn





 +







b

₁₁

b

₁₂

. . . b

_1n

b

₂₁

b

₂₂

. . . b

_2n

.. . .. . .. . .. . b

m1

b

m2

. . . b

mn







=







a

₁₁

+b

₁₁

a

₁₂

+b

₁₂

. . . a

_1n

+b

_1n

a

₂₁

+b

₂₁

a

₂₂

+b

₂₂

. . . a

_2n

+b

_2n

.. . .. . .. . .. . a

m1

+b

m1

a

m2

+b

m2

. . . a

mn

+b

mn







und mit einer Zahl λ ∈ K multiplizieren,

λ ·







a

₁₁

a

₁₂

. . . a

_1n

a

₂₁

a

₂₂

. . . a

_2n

.. . .. . .. . .. . a

_m1

a

_m2

. . . a

_mn







=







λa

₁₁

λa

₁₂

. . . λa

_1n

λa

₂₁

λa

₂₂

. . . λa

_2n

.. . .. . .. . .. . λa

_m1

λa

_m2

. . . λa

_mn

.







Mit diesen Operationen + und · ist die Menge K

^m×n

ein K-Vektorraum.

Definition 4.16. Es sei A ∈ K

^m×n

und B ∈ K

^n×p

. Man kann das Produkt C = A · B ∈ K

^m×p

definieren wie folgt,







a

₁₁

a

₁₂

. . . a

_1n

a

₂₁

a

₂₂

. . . a

_2n

.. . .. . .. . .. . a

_m1

a

_m2

. . . a

_mn







· 





b

₁₁

b

₁₂

. . . b

_1p

b

₂₁

b

₂₂

. . . b

_2p

.. . .. . .. . .. . b

_n1

b

_n2

. . . b

_np







=







c

₁₁

c

₁₂

. . . c

_1p

c

₂₁

c

₂₂

. . . c

_2p

.. . .. . .. . .. . c

_m1

c

_m2

. . . c

_mp





 ,

wobei c

_kj

= P

n

i=1

a

_ki

b

_ij

= ha

_k

, b

_j

i, wobei a

_k

die k-te Zeile von A, und b

_j

die j -te Spalte von B ist (

” Zeile mal Spalte“). Das neutrale Element der Matrixmultiplikation in K

^n×n

ist die Einheitsmatrix

E = E

_n

=







1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . .. . . .. ...

0 0 . . . 1





 .

Beispiel 4.17.

(6)

4 Lineare Abbildungen und Matrizen

Satz 4.18. Es seien Matrizen A, B, C, D gegeben so dass die jeweiligen Rechenopera- tionen ausf¨ uhrbar sind. Dann gilt

(i) E · A = A · E = A, (ii) (A · B) · C = A · (B · C),

(iii) A · (B + C) = A · B + A · C und (B + C) · D = B · D + C · D.

Im Allgemeinen gilt (iv) A · B 6= B · A,

(v) A · B = 0 6⇒ A = 0 oder B = 0.

Zu Beginn dieses Abschnitts haben wir gesehen, dass man lineare Abbildungen zwi- schen endlichdimensionalen Vektorr¨ aumen als Zahlenmatrix darstellen kann. Der folgen- de Satz besagt, dass auch umgekehrt durch jede Zahlenmatrix eine lineare Abbildung definiert wird.

Satz 4.19. Durch eine Matrix A ∈ K

^m×n

wird eine lineare Abbildung f

_A

: K

ⁿ

→ K

^m

definiert wie folgt:

f¨ ur x ∈ K

ⁿ

= K

^n×1

ist f

A

(x) = A · x.

Beweis.

Definition 4.20. Die Anzahl linear unabh¨ angiger Spalten einer Matrix A ∈ K

^m×n

ist gleich der Anzahl linear unabh¨ angiger Zeilen der Matrix. Diese Zahl heißt Rang von A und wird mit Rang(A) bezeichnet. Eine quadratische Matrix A ∈ K

^n×n

heißt regul¨ ar, wenn Sie vollen Rang hat, d.h., wenn Rang(A) = n. Ansonsten heißt die Matrix singul¨ ar.

Beispiel 4.21.

(7)

Satz 4.22. (i) Sind A ∈ K

^m×n

, B ∈ K

^n×`

Matrizen und f

_A

: K

ⁿ

→ K

^m

, f

_B

: K

^`

→ K

ⁿ

die zugeh¨ origen linearen Abbildungen, so gilt f

_A

◦ f

_B

= f

_A·B

, d.h., f¨ ur x ∈ K

^`

ist

(f

_A

◦ f

_B

)(x) = f

_A

(f

_B

(x)) = f

_A

(B · x) = A · (B · x) = (A · B) · x (vgl. Satz 4.18 (ii)).

(ii) Eine Matrix A ∈ K

^n×n

ist regul¨ ar, genau dann wenn die durch A induzierte lineare Abbildung f

_A

eine Umkehrfunktion besitzt. Die Matrix A besitzt dann eine Inverse A

⁻¹

(die Darstellungsmatrix von f

_A⁻¹

) und es gilt A · A

⁻¹

= A

⁻¹

· A = E.

Beispiel 4.23.

Satz 4.24. Es seien A, B ∈ K

^n×n

.

(i) Ist A · B = E

_n

, so sind A und B regul¨ ar und es ist A = B

⁻¹

und B = A

⁻¹

. (ii) Sind A und B regul¨ ar, so ist auch das Produkt A · B regul¨ ar und es gilt

(A · B)

⁻¹

= B

⁻¹

· A

⁻¹

. Definition 4.25. Es sei

A =







a

₁₁

a

₁₂

. . . a

_1n

a

21

a

22

. . . a

2n

.. . .. . .. . .. . a

_m1

a

_m2

. . . a

_mn







∈ K

^m×n

.

Dann ist

A

^>

=







a

₁₁

a

₂₁

. . . a

_n1

a

12

a

22

. . . a

2n

.. . .. . .. . .. .







∈ K

^n×m

(8)

4 Lineare Abbildungen und Matrizen Beispiel 4.26.

Satz 4.27. Es seien A, B, C, D Matrizen, so dass die folgenden Operationen durch- gef¨ uhrt werden k¨ onnen. Es gilt

(A + B)

^>

= A

^>

+ B

^>

, (C · D)

^>

= D

^>

· C

^>

. Ist F eine quadratische, regul¨ are Matrix, so ist

(F

⁻¹

)

^>

= (F

^>

)

⁻¹

.

Beispiel 4.28.