V 8.1. Es sei A =

Humboldt-Universit¨ at zu Berlin, Institut f¨ ur Mathematik Mathematik f¨ ur NaturwissenschaftlerInnen 2

Dr. Caroline L¨ obhard

Sommersemester 2016, Blatt 8: Lineare Gleichungssysteme und Determinanten

V 8.1. Es sei A =





5 2 1

−1 1 1 3 −2 2



 , b =



 8 1

−3



 . L¨ osen Sie das lineare Gleichungssystem A · x = b

a) durch Anwendung des Gauß-Algorithmus,

b) durch Berechnung der Inversen der Systemmatrix A, und c) mit der Cramer’schen Regel.

V 8.2. F¨ ur einen Parameter λ sei die Matrix A gegeben durch

A =





2 − λ −1 1

5 −4 − λ 1

6 −6 3 − λ



 =





2 −1 1 5 −4 1 6 −6 3



 − λE

3

.

a) Berechnen Sie die Determinante von A in Abh¨ angigkeit von λ.

b) F¨ ur welche Werte von λ besitzt das lineare Gleichungssystem A · x = 0 mehr als eine L¨ osung?

c) Bestimmen Sie f¨ ur alle in b) gefundenen Werte von λ den Kern der Abbildung f

_A

.

V 8.3. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begr¨ unden Sie Ihre Aussage jeweils durch einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.

a) Aus A · A

^>

= E

_n

folgt, dass det(A) = 1.

b) Sind A, B ∈ K

^n×n

zwei invertierbare Matrizen, so ist det(A · B

^>

) 6= 0.

c) Besitzt ein lineares Gleichungssystem mehr Unbestimmte als Gleichungen, so besitzt es unendlich viele L¨ osungen.

d) Besitzt ein lineares Gleichungssystem weniger Unbestimmte als Gleichungen, so besitzt es keine L¨ osung.

e) Es sei A ∈ K

^n×n

mit det(A) = 0. Dann gibt es eine rechte Seite b, so dass das LGS Ax = b unendlich viele L¨ osungen besitzt.

V 8.4.

a) Liegt b = (1, −2, −5, 2, 7) in U = L({(3, 7, −1, −1, 0), (−1, −4, −3, 2, 5), (2, −1, −12, 5, 17)})?

b) Liegt b = (−7, 14, 5, −9) in U = L({(1, −2, 1, 2), (4, 1, 2, −2), (−2, 3, 2, −1), (−2, 1, −1, −1)})?

Hinweis: Die Fragestellung f¨ uhrt jeweils auf ein lineares Gleichungssystem dessen L¨ osbarkeit unter- sucht werden muss.

S 8.5. Berechnen Sie die Inversen der folgenden Matrizen, A =









0 0 0 1 0 2 0 4 8 0 0 0 0 1 2 0







 , B =





a b c 0 d e 0 0 f



 (wobei a · d · f 6= 0).

S 8.6. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen (in Abh¨ angigkeit von α, x, y, z),

A =





0 4 0 3 1 2 2 1 1



 , B =

















1 2 3 4 5 6 0 2 3 4 5 6 0 0 3 4 5 6 0 0 0 4 5 6 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 3 4

















, C =

sin(α) cos(α)

− cos(α) sin(α)

, D =





1 x x

²

1 y y

²

1 z z

²



 .

Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2

Abgabe der S-Aufgaben am 20.6.2016, V-Aufgaben vorzubereiten zur Woche ab 20.6.2016