Eine hybride Methode zur Berechnung von Liapunow-Exponenten

Liapunow-Exponenten

Dissertation

zur Erlangung des Doktorgrades

der Fakultät für Mathematik der Universität Bielefeld

vorgelegt von

Alexander Lust

hes Interesseerwiesen haben, bedanken.

In erster Linie danke i h meinem Mentor Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn, der

Verantwortung fürmi h übernommen hat, für dievielfältigeUnterstützung,

wi htige Hinweise und Anregungen.

I h danke au h Vera Thümmler für ihre Tipps zu der Auswertung

numeri-s her Ergebnisse und Erstellung vonBildern.

Der Deuts hen Fors hungsgemeins haft bin i h dankbar für das

Doktoran-denstipendium imRahmen des Graduiertenkollegs

Strukturbildungsprozes-se, über dasder Groÿteilder Arbeitander vorliegendenDissertation

nan-ziert wurde. Für dieans hlieÿende Förderungdanke i h SFB701 Spektrale

Strukturen und topologis he Methoden in der Mathematik.

Für dieUnterstützunginallenLebenslagen mö htei hmi hbeimeiner

gan-zen Familie bedanken insbesondere bei meiner Frau Natalia, diealle Höhen

Einleitung 3

1 Methoden zur Bere hnung von Liapunow-Exponenten 7

1.1 Theoretis he Grundlagen . . . 7

1.2 Bildung zeitli her Dur hs hnitte, diskrete QR-Methode . . . . 9

1.2.1 Eindeutige QR-Zerlegung . . . 9

1.2.2 Diskrete QR-Methode . . . 10

1.3 Räumli he Integrationsmethoden . . . 12

1.3.1 Räumli he Integration mit Hilfe der

Oselede -Zerleg-ung (na h G.Froyland) . . . 13

1.3.2 Zeitli h-räumli he Methode von Aston & Dellnitz . . . 15

1.4 Hybride Methode . . . 18

2 Hilfsmittel- das äuÿere Produkt 21

2.1 Notationen, Denitionen und primäre Eigens haften . . . 21

2.2 Äuÿeres Produkt und dieeindeutige QR-Zerlegung . . . 26

3 Liapunow-Exponenten 29

3.1 Typzahlen und Liapunow-Exponenten für Matrizenprodukte . 30

3.2 Regularität und der Satz vonOselede . . . 38

3.3 Liapunow-Exponenten höherer Ordnung . . . 40

4 Analyse der Fehlerentwi klung 47

4.1 Analyse mit Hilfe der Oselede -Zerlegung . . . 48

4.2 Erweiterung des Hyperbolizitätsbegries . . . 59

4.3 Zur Analyse der Zeitli h-Räumli hen Integration na h Aston

&Dellnitz . . . 69

5 Numeris he Beispiele 75

5.1 Bere hnung von Liapunow-Exponenten,

5.1.2 Auswirkungen der numeris hen Approximation. . . 78

5.2 Hénon-Abbildung . . . 82

5.2.1 Approximation des Attraktorsund des Maÿes . . . 82

5.2.2 Bere hnung von Liapunow-Exponenten . . . 87

5.3 Das Lorenz-System . . . 98

Oene Fragen 107

Symbolverzei hnis 109

Die Dynamik einer diskreten Evolutionsglei hung

x

n+1

= g(x

n

) ,

n = 0, 1, 2

· · · ,

g : R

d

−→ R

d

(1) istmaÿgebli hdur hihreLiapunow-Exponenten

1

geprägt.Beispielsweise

ha-rakterisiert der gröÿteLiapunow-Exponent

λ

1

, der si h mittels

λ

1

= lim

n→∞

1

n

log

kD g

n

(x)

_k

bere hnenlässt, 2

diedur hs hnittli heexponentielleRatederDivergenzbzw.

Konvergenz von dur h (1) erzeugten Folgen. Auÿerdem können mit Hilfe

von Liapunow-Exponenten unter anderem sol he Gröÿen wie

maÿtheoreti-s he Entropie bzgl. eines natürli hen (invarianten) Maÿes (siehe [7℄) sowie

dieHausdor-DimensiondesAttraktors 3

abges hätztbzw.bestimmtwerden.

Numeris he Verfahren zur Bere hnung der Liapunow-Exponenten kann

man imwesentli hen inzweiKlassen unterteilen: Methoden, dieaufder

Bil-dung eines zeitli hen Dur hs hnitts entlang einer Trajektorie

{x

n

}

n∈N

von

g

basieren, undVerfahren, diezur AuswertungvonLiapunow-Exponenten ein

räumli hes Mittelbenutzen.

ZudererstenKlassezählendiediskretenunddiekontinuierli hen

QR-Metho-den (siehez.B. [16℄,[24℄, [29℄,).Diese Verfahren sind relativlei ht zu

imple-mentieren(insbesonderediediskreteMethode)underlaubendieAuswertung

beliebig vieler Exponenten, haben jedo h den Na hteil, dass die Re hnung

1

Die harakteristis henZahlen,späterdie Liapunow-Exponenten genannt,fürdie

Lö-sungen vonautonomen gewöhnli henDierentialglei hungen

˙x = f (x)

wurdenvonA.M. Liapunow in seinerDissertation [28℄ imJahre 1892 eingeführt. Die Existenz der

Liapu-now-Exponenten wurde unter sehrallemeinen Bedingungen vonV.I. Oselede [30℄ über

siebzigJahre späterpräsentiert.

2

Mit

Dg

n

_(x)

wirddieAbleitungder

n

-tenIteration

g

n

derAbbildung

g

bei

x

bezei hnet und

k · k

isteineMatrixnorm.

3

FürdenzweidimensionalenFall

g

: R

2

→ R

2

siehe[37℄.BeihöherenDimensionenwird

oftdieKaplan-YorkeVermutung (siehe[20℄)verwendet,umausden

kann (siehe [5℄).

In den letzten Jahren wurden einige numeris he Verfahren zur Bere hnung

des dominanten Liapunow-Exponent

λ

1

entwi kelt, die auf der räumli hen Integration basieren (siehe z.B. [5℄, [21℄ und ihre Referenzen). Die Vorteile

dieser Methoden gegenüber der Bildung des zeitli hen Dur hs hnitts

beste-hen u.a. in der Unabhängigkeitvonder gewähltenTrajektorie

{x

n

}

n∈N

bzw. von dem Anfangswert

x

0

. Auÿerdem kann der Re henaufwand in einigen Fällen(siehe [4℄) reduziert werden.Man muss jedo h beidieser Artder

Ver-fahren eininvariantes Maÿ,überdas späterintegriertwird,ausre hnen bzw.

approximieren,wasdieKomplexitätder Implementierungerhöht.Auÿerdem

istdieseMethodeinderin[5℄,[21℄formuliertenFormnurzurApproximation

des gröÿtenbzw. des kleinsten Liapunow-Exponenten geeignet.

DasZieldieserArbeitistdieEntwi klungundAnalyseeinesnumeris hen

Verfahrens, das uns ermögli ht, eine beliebige Anzahl von

Liapunow-Expo-nenten unter der Anwendung der räumli hen Integration zu bere hnen. Da

hierbeidiediskrete QR-Methode mitder räumli hen Integration kombiniert

wird, nennen wir dieMethode hybrid.

DieUnterteilung dieserArbeitistdiefolgende: Im1. Kapitelwerden

zu-nä hsteinigewi htigenGrundlagenzuLiapunow-Exponenteneinesdiskreten

endli hdimensionalen dynamis hen Systems angegeben. In den Abs hnitten

1.2 und 1.3 bes häftigen wir uns mit den folgenden bereits bekannten

Ver-fahren zur Approximation vonLiapunow-Exponenten:

•

der weitverbreitetendiskretenQR-Methode (siehe[16℄,[24℄oder[29℄);

•

demvonG.Froylandundanderen[21℄entwi keltenräumli hen Verfah-ren, das zur Approximation der extremen (des gröÿten und des

klein-sten) Liapunow-Exponenten verwendet werden kann;

•

unds hlieÿli hmitderzeitli h-räumli henMethodevonJ.P.Astonund M. Dellnitz [4℄, [5℄zur Bere hnung des gröÿtenLiapunow-Exponenten

λ

1

.

Für das zuletzt genannte Verfahren wird au h eine Konvergenzaussage

for-muliert, diespäter im entspre henden Teildes 4. Kapitelsbewiesen wird. 4

Im letzten Abs hnitt des ersten Kapitels wird die neue hybride

Metho-de präsentiert, dieden wi htigstenalgorithmis hen Beitragder vorliegenden

Arbeit liefert.Siestellt eine ArtSynthese des QR-Algorithmusund des

Ver-fahrens von Aston und Dellnitz dar. Die Ideedieser Methode besteht in der

4

DerBeweisderKonvergenzaussagein[5℄enthältausmeinerSi hteinige

Auswertungderbezügli heinesinvariantenMaÿes

µ

(imIdealfalleines SRB-Maÿes [15℄, [34℄) gebildetenIntegralfolge

1

n

Z

ln R

ii

(Dg

n

(x))dµ i = 1,

· · · , d ,

(2) wobeimit

R(Dg

n

_(x))

dieR-KomponentedereindeutigenQR-Zerlegung

(sie-he [25℄) der Matrix

Dg

n

_(x)

bezei hnet wird und mit

R

ii

(Dg

n

_(x))

ihr

i

-ter Diagonaleintrag.Dieunter (2) angegebeneFolge approximiert den

i

-ten Lia-punow-Exponenten

λ

i

des Systems (1) für

i = 1,

· · · , d

. Dieser Abs hnitt enthält au heinen Konvergenzsatz zum hybriden Verfahren, fürdessen

Vor-aussetzungenhinrei hendeBedingungenim3.Kapiteldiskutiertwerden.

Au-ÿerdemwerdenAbs hätzungenzuderEntwi klungdesFehlersderFolgen(2),

die im4. Kapitelbewiesen werden.

Inden nä hsten dreiKapitelnbes häftigenwir uns (direktoderindirekt)

mit der Analyse der hybriden Methode: Zunä hst wird im 2. Kapitel eine

Koordinatendarstellung des äuÿeren Produktes von Vektoren aus

R

d

sowie

der äuÿeren Potenzen vonreellen

d

× d

-Matrizenund ihre Eigens haften be-tra htet. DiesesMaterial erlei htert uns dieweitere Analyse.

Im 3. Kapitel werden die Voraussetzungen des im Abs hnitt 1.4

enthalte-nen Konvergenzsatzes für die hybride Methode veriziert. Zu diesem Zwe k

werdenimAbs hnitt3.1einigeTeilederArbeit[30℄vonOselede

na hvollzo-gen. 5

Über die Anwendung einer im Abs hnitt 3.2 angegebenen Version des

Satzes vonOselede auf äuÿerePotenzen der Matrizen

Dg

n

_(x)

kommen wir

imAbs hnitt3.3zueiner hinrei henden Bedingung,unter derdie

Vorausset-zungen des besagten Konvergenzsatzes erfüllt sind.

Weiter befassen wir uns mit der Entwi klung von Fehlertermen der Folgen

(2). Dafür ziehen wir imersten Abs hnitt des 4.KapitelsResultate von [21℄

sowie einige Ansätze aus [5℄ hinzu. Als äuÿersthilfrei h bei der Analyse der

hybriden Methode erweist si h die Nutzung des äuÿeren Produktes für die

Darstellungvon

R

ii

(Dg

n

_(x))

.Beispeziellendynamis henSystemenführtuns

dieser Ansatz zu einerEntwi klung des Fehlers der hybriden Approximation

des

i

-ten Liapunow-Exponenten

λ

i

in der folgenden Form

1

n

Z

ln R

ii

(Dg

n

(x))dµ = λ

i

+

C

i

n

+ o

 1

n



,

i = 1,

_{· · · , d,}

(3)

wobei

C

i

eine nurvon

i

abhängige Konstantebezei hnet.

EineVers härfungderKonvergenzaussagezuderFehlerentwi klungerrei hen

5

DiegenannteArbeit[30℄lässt si hwegenihrerStrukturaneingenfürunsrelevanten

1

n

Z

ln R

ii

(Dg

n

(x))dµ = λ

i

+

C

i

n

+ o

 e

−θ

i

n

n



,

wobei

θ

i

> 0

nurvon

i

abhängig ist.Dabei wird eine spezielle Artder T ren-nungvoneinzelnenLiapunow-Exponentenvorausgesetzt,diewirals

λ

i+1

−λ

i

Hyperbolizität bezei hnen, wobei

λ

i+1

und

λ

i

zwei bena hbarte Liapunow-Exponenten sind. Die

λ

i+1

− λ

i

Hyperbolizitätstellt eine Verallgemeinerung des Begriesder glei hmäÿigen (uniformly) Hyperbolizität dar.

6

Beendet wird das 4. Kapitel mitdem Beweis der Konvergenzaussage zu der

zeitli h-räumli henMethode vonAston und Dellnitz, dieimAbs hnitt 1.3.2

formuliertwurde.

Im 5.Kapiteltesten wir das hybride Verfahren ander Hénon-Abbildung

und dem Lorenz-System. Dabei werden inersten Abs hnitt des Kapitels die

in [4℄, [5℄ vorges hlagenen Extrapolationsmögli hkeiten für die Folgen der

Form (3) diskutiert.

Es zeigt si h am Beispiel der Hénon-Abbildung, dass die hybride Methode

selbst für den gröÿten Liapunow-Exponenten s hneller konvergiert als die

Matrixnorm-Methode von Aston & Dellnitz, in der

ln

kDg

n

_(x)

_k

bezügli h

des invarianten Maÿes integriert wird. Man sollte jedo h festhalten, dass

die hybride Methode, wenn man diese alleine zur Bere hnung des

dominan-tenLiapunow-Exponentenbenutzt,eineSpezialformdes in[6℄bes hriebenen

Verfahrens ist.

6

Eine Denition von glei hmäÿighyperbolis hen Mengen ndet man z.B. in [27℄, [7℄

oder[31℄.In[27℄wirddieDenitionderexponentiellenAufspaltung(exponentialsplitting,

(λ, µ)

splitting)angegeben,diein einerdirektenBeziehungzudem Begrider

λ

i+1

− λ

i

Hyperbolizitätsteht.IndergenanntenQuellewirdjedo hhauptsä hli heinespezielleArt

der Aufspaltung untersu ht, die zu dem Begri der glei hmäÿigen Hyperbolizität führt

Methoden zur Bere hnung von

Liapunow-Exponenten

Im ersten Teil dieses Kapitels wird eine spezielle Version des Satzes von

Oselede [32℄,diediezentralenEigens haftenvonLiapunow-Exponenten

be-s hreibt, angegeben und erläutert. Die darauolgenden Abs hnitte 1.2 und

1.3 bes häftigen si h mit einigen bereits bekannten Methoden zur

nume-ris hen Bere hnung von Liapunow-Exponenten. Im Abs hnitt 1.4 wird die

neuentwi kelte hybride Methode und eine Konvergenzaussage zu dieser

prä-sentiert.

1.1 Theoretis he Grundlagen

In dieser Arbeit werden hauptsä hli h diskrete dynamis he Systeme auf

ei-ner endli hdimensionalen glatten Mannigfaltigkeit

M

betra htet. Diese sind dur h eine invertierbare Abbildungauf

M

induziert:

g : M

_{→ M .}

(1.1)

DieDynamik(bzw.zeitli heTransformationoder BewegungeinesZustandes

x

∈ M

) wird in diesem Fall dur h die na heinander folgenden Iterationen von

g

deniert:

g

n

_{(x) =}







x ,

n = 0

g

_{◦ g}

n−1

_{(x) ,}

_{n = 1, 2,}

_{· · ·}

g

−1

_{◦ g}

n+1

_{(x) , n =}

_{−1, −2, · · ·}

(

g

n

_(x)

-istalsder Zustand des Systemszum Zeitpunkt

n

beidem Startwert

Punkt

x

¯

, mit

γ(¯

x)

bezei hnet, ist dieMenge aller Zustände in

M

, dievon

x

¯

aus imLaufeder Bewegung errei hbar sind. Alsoist

γ(¯

x) =

{g

n

_(¯

_x)

_{| n ∈ Z}}

.

Die Liapunow-Exponenten sind endogene Gröÿen des auf diese Weise

be-s hriebenen dynamis hen Systems. Mit deren Hilfe kann man zum Beispiel

dieexponentielleDivergenzvonbena hbartenTrajektorien

γ(¯

x)

und

γ(¯

x+ε)

untersu hen. Die Existenz von Liapunow-Exponenten si hert der folgende

Satz (siehe z.B. [32℄).

Satz 1.1.1 (Oselede , 1968) Sei

g

ein

C

1

-Dieomorphismus auf einer

kompakten glatten Riemanns hen Mannigfaltigkeit

M

von der Dimension

d

und

µ

ein ergodis hes Maÿ darauf. Dann gibt es eine Borels he Teilmenge

M

µ

⊂ M

, so dass

g(M

µ

) = M

µ

und

µ(M

µ

) = 1

gilt, mit folgenden Eigen-s haften.

(i) Es existieren natürli he Zahlen

d

1

,

· · · , d

s

(

s

≤ d

) mit

P

s

i=1

d

i

= d

(ii) Für jedes

x

∈ M

µ

gibt es eine messbare Zerlegung des Tangentialrau-mes

T

x

M =

L

s

i=1

W

i

(x)

mit

dim W

i

_{(x) = m}

i

und

D g(x) (W

i

_{(x)) =}

W

i

_(g(x))

(iii) Es existieren reelle Zahlen

λ

1

> λ

2

> . . . > λ

s

derart,dass

lim

n→∞

1

n

log

kDg

n

(x)v

k = λ

m

(1.2) für alle

v

∈

L

s

i=m

W

i

(x)

mit

v /

∈

L

s

i=m+1

W

i

(x)

und

x

∈ M

µ

gilt. Dieser Satz ist eine spezielle Form des multiplikativen Ergodensatzes von

Oselede (siehe [30℄). Eine allgemeinere Form des Satzes 1.1.1 wird au h in

dieser Arbeit (Kapitel3.2) angegeben.

Anmerkungen

(i) Die Punkte aus

M

µ

werden als (Liapunow-)regulär bezei hnet. (ii) Die Zerlegung

T

x

M =

L

s

i=1

W

i

(x)

in invariante Vektorräume nennt man die Oselede -Zerlegungvon

T

x

M

.

(iii) DieZahlen

λ

1

,

· · · , λ

s

heiÿen dieLiapunow-Exponenten(au h harakte-ristis heZahlen genannt) vomSystem (1.1) bezügli h

µ

.

(iv)

d

i

istdie Vielfa hheitvon

λ

i

(

i = 1,

· · · , s

).

(v) DergröÿteLiapunow-Exponent

λ

1

kann au hmittelseinerMatrixnorm

λ

1

= lim

n→∞

1

n

ln

kD g

n

(x)

k µ −

f.ü (1.3)

QR-Methode

Eines der gebräu hli hsten Verfahren, das auf der Auswertung eines

zeitli- hen Dur hs hnitts entlang einer Halbtrajektorie

{x

n

}

n∈N

mit

x

n

= g

n

_(x)

basiert, ist die diskrete QR-Methode (siehe [16℄, [24℄ oder [29℄). Mit diesem

Verfahren kann manbeliebigvieleLiapunow-Exponenten des gegebenen

Sy-stems bere hnen. Einweiterer Pluspunkt dieserMethode ist dieEinfa hheit

der Implementierung.

1.2.1 Eindeutige QR-Zerlegung

Sei

M = Q(M)R(M)

die eindeutige QR-Zerlegungeiner invertierbaren Ma-trix

M

∈ R

d×d

_(C

d×d

₎

, das heiÿt:

• Q(M) ∈ R

d×d

ist orthogonal(unitär);

• R(M) ∈ R

d×d

ist eine obere Dreie ksmatrix, mit positiven (reellen)

Diagonaleinträgen.

DieseZerlegungerhältmanz.B.mitdem(modizierten)Gram-S hmidt

Ver-fahren (siehe [25℄). Wegen

kMvk = kR(M)vk

für alle

v

∈ R

d

ist

lim

n→∞

1

n

ln

kDg

n

_(x)v

k = lim

_n→∞

1

n

ln

kR (Dg

n

_{(x)) v}

k .

Damit ist es mögli h anstatt der zeitli hen Evolution von

Dg

n

_(x)

zu

verfol-gen, die Entwi klung von

R (Dg

n

_(x))

zur Bere hnung von

Liapunow-Expo-nenten zu benutzen.

Genauere Informationen über den Zusammenhang zwis hen den

Liapunow-Exponenten vomSystem (1.1)und der R-Komponenteseiner Linearisierung

R (Dg

n

_(x))

liefertuns der folgende Satz.

Satz 1.2.1 1

Mit

λ

1

,

· · · , λ

d

bezei hne man die Liapunow-Exponenten mit ihrer Vielfa hheit. Unter den Voraussetzungen des Satzes von Oselede

exi-1

DieserSatzstellteinenTeildesSatzesvonLiapunowdar,adaptiertfürdiediskreten

stiert für

x

∈ M

µ

eine Permutation

π

x

mit

λ

π

x

(i)

= lim

n→∞

1

n

ln R

ii

(Dg

n

(x))

für

i = 1,

· · · , d

.

Der Satz wird später in einer allgemeinerenForm bewiesen (siehe den Satz

3.1.10).

1.2.2 Diskrete QR-Methode

Um die Liapunow-Exponenten von (1.1) zu bere hnen, geht man

folgender-maÿen vor:

Als Startwert

Z

0

∈ R

d×d

nehme man 2

Z

0

= I

d

und setze weiter die Folge

{Z

n

}

n∈N

0

wie folgtfort:

Z

n+1

:= Dg(g

n

(x)) Q(Z

n

) ,

n

∈ N

0

,

wobei

Q(Z

n

)

der Q-Faktor der eindeutigen QR-Zerlegungvon

Z

n

ist:

Z

n

= Q(Z

n

)R(Z

n

) n

∈ N

0

Das folgende Lemma wird fürein beliebiges

Z

0

bewiesen. Lemma 1.2.2 Sei

Dg

n

_(x)Z

0

= Q (Dg

n

(x)Z

0

) R (Dg

n

(x)Z

0

)

, dannist

R (Dg

n

_(x)Z

0

) =

0

Y

j=n

R(Z

j

)

und

Q (Dg

n

_(x)Z

0

) = Q(Z

n

)

für

n

∈ N

0

, Beweis:

Induktion über

n

: Die Fälle

n = 0, 1

sind klar. Weiter giltmitder Induktionsannahme

Dg

n+1

(x)Z

0

= Dg (g

n

(x)) Dg

n

(x)Z

0

= Dg (g

n

(x)) Q(Z

n

)

0

Y

j=n

R(Z

j

) =

2

Von derIdentität abwei hendeStartwertekönnennur dann sinnvollsein, wenn man

nur einige Liapunow-Exponenten bere hnen mö hte(siehe weiterunten) und dabei über

genauereKenntnisseüberdie Oselede -Zerlegungvon

T

x

M

verfügt.Dies ist aberin der Regelni htderFall.

= Z

n+1

0

Y

j=n

R(Z

j

) = Q(Z

n+1

)R(Z

n+1

)

0

Y

j=n

R(Z

j

) = Q(Z

n+1

)

0

Y

j=n+1

R(Z

j

).

Da

Q(Z

n+1

)

orthogonal und

Q

0

j=n+1

R(Z

j

)

von der oberen Dreie ksgestalt mitpositiven Diagonaleinträgenist,folgtdieBehauptungausder

Eindeutig-keitder Zerlegung.



Dawir aber

Z

0

= I

d

gesetzthaben,ist

Dg

n

_(x)Z

0

= Dg

n

(x)

und

R

0

= I

d

. Also ist

R (Dg

n

_{(x)) =}

1

Y

j=n

R(Z

j

)

für

n

∈ N

Mit dem Satz 1.2.1 haben wir dann

λ

π

x

(i)

= lim

n→∞

1

n

ln

1

Y

j=n

R

ii

(Z

j

) = lim

n→∞

1

n

n

X

j=1

ln R

ii

(Z

j

)

(1.4) für eine Permutation

π

x

.

Sind wir nuran einigen (meistens gröÿten) Liapunow-Exponenten

inter-essiert, so ist es sinnvoll dies hlanke 3

QR-Zerlegung zu benutzen, denn der

Re henaufwand (in Flops) zur Dur hführung der QR-Zerlegung hängt

qua-dratis h (siehe [25℄) von der Anzahl der Spalten der zu zerlegenden Matrix

ab. In unserem Fallheiÿtesvonder Zahl dergesu hten

Liapunow-Exponen-ten.

Um

m

Liapunow-Exponentenzubere hnen,deniertmandieFolge

{Z

m

n

}

n∈N

folgendermaÿen:

Wähle einen Startwert

Z

m

0

∈ R

d×m

mit

(Z

m

0

)

T

Z

0

m

= I

m

(inder Regel nimmt man die ersten

m

Spaltender Einheitsmatrix

I

d

) und setze weiter

Z

m

n+1

:= Dg(g

n

(x)) Q(Z

n

m

) ,

n

∈ N

0

,

wobei

Q

n

(Z

m

n

)

der Q-Faktor der eindeutigen s hlanken QR-Zerlegung

Z

n

=

Q(Z

m

n

)R(Z

n

m

)

(

n

∈ N

) ist. D.h.,

Q(Z

m

n

)

∈ R

d×m

hat orthonormale Spal-ten und

R(Z

m

n

)

∈ R

m×m

ist von der oberen Dreie ksgestalt mit positiven (reellen)Diagonaleinträgen.Der

π(i)

-te Liapunow-Exponent

λ

π(i)

(mit einer geeigneten Permutation

π

kann dann als

λ

π(i)

= lim

n→∞

1

n

ln

1

Y

j=n

R

ii

(Z

j

m

) = lim

_n→∞

1

n

n

X

j=1

ln R

ii

(Z

j

m

)

3

Diese Zerlegung erhält man ebenso mit Hilfe des bereits erwähnten modizierten

In meisten Fällen kann angenommen werden, dass

π = id

ist (dazu etwas später imKapitel 3.3). Dies bestätigen au h diepraktis hen Re hnungen.

1.3 Räumli he Integrationsmethoden

Neben den im letzten Abs hnitt genannten Vorteilen der Bere hnung von

Liapunow-Exponenten mit der diskreten QR-Methode wie die Einfa hheit

der Implementierungund dieMögli hkeit der Approximation beliebig vieler

Liapunow-Exponenten, hatdieseMethode(wieau halleaufder Bildungder

zeitli hen Dur hs hnitte basierende Verfahren) einige Na hteile:

•

Die Formel (1.2) (also au h (1.4)) gilt nur

µ

-fast überall für das gege-bene ergodis he Maÿ

µ

.

•

In den genannten Formeln sind Liapunow-Exponenten als zeitli he Grenzwerte angegeben. Es ist also notwendig Langzeittrajektorien zu

bere hnen. Dies ist aber aus numeris her Si ht problematis h, weil

dieAufhäufung der Rundungs-bzw. Approximationsfehlersignikante

Auswirkungen auf das Resultat haben kann.

•

EsexistierenkeineAussagen(soweitesdemAutorbekanntist)überdie Konvergenzges hwindigkeit der QR-Verfahren.Also gibt es au h keine

Kriterien zumAbbru hder Bere hnungen, wasdazuführen kann, dass

diese zu frühgestoppt werden.

Die Anwendung der räumli hen bzw.der zeitli h-räumli henIntegration zur

Bere hnung von Liapunow-Exponenten beseitigt (zum Teil) die

bes hriebe-nen Na hteile der Bildung von zeitli hen Dur hs hnitten. Die räumli he

In-tegration setzt aber dieBestimmung des Attraktors des gegebenen Systems

und eines invarianten Maÿes darauf voraus, wasdiese Verfahren

komplizier-ter ma ht.

Eine eektiveMethodezurApproximationvonAttraktorenundzugehörigen

invarianten Maÿenfür haotis he dynamis he Systemewurdein[5℄

bes hrie-ben. Die Idee dieser Methode ist diefolgende:

•

Zuerst wird eine Überde kung des Attraktors gefunden. Dies wird mit Hilfe des Unterteilungsalgorithmus(Subdivision Algorithm,siehe [14℄)

bzw. einer seiner Variationen realisiert.

Am Anfang der Re hnung hat man eine grobe Überde kung des

At-traktors (inder Regel eine Box), die S hritt für S hritt dur h die

Am Ende hat man eine Boxenkollektion

{A

n

}

K

n=1

, die als eine Appro-ximation des gesu hten Attraktors dienensoll.

•

Dur h dieBoxenüberde kung des Attraktorserhält maneine Diskreti-sierung des Perron-Frobenius Operators inForm einer Matrix

P

mit

P

i,j

=

m(A

j

)

∩ g

−1

(A

i

)

m(A

j

)

i, j

_{∈ {1, · · · , K},}

wobei mit

m

das Lebesgue Maÿ bezei hnet wird. Eine Approximati-on

µ

˜

des invarianten Maÿes

µ

auf dem Attraktor ist dur h den zum Eigenwert

+1

korrespondierenden normierten Eigenvektor

ρ

der Ma-trix

P

gegeben. D.h., das approximative Maÿ

µ

˜

auf dem von

{A

n

}

K

n=1

erzeugten Ringwird dur h

µ

˜

i

= ˜

µ(A

i

) = ρ

i

deniert.

DieseMethode miteinigenVariationen(siehe[13℄)wurdeindem

Programm-paket GAIO 4

von der Gruppe um M.Dellnitz und O.Junge von der

Univer-sität Paderborn realisiert.

NungehenwirzudenMethodenzurBere hnung vonLiapunow-Exponenten,

die aufder räumli hen Integration basieren, über.

1.3.1 Räumli heIntegration mit Hilfeder

Oselede -Zer-legung (na h G.Froyland)

In den Arbeiten [21℄, [22℄ wurde der Vors hlag gema ht, die

Liapunow-Ex-ponenten mittelsräumli her Integration mitHilfe vonOselede -Vektoren zu

bere hnen.Da wirdieindengenannten Arbeitenenthaltene Resultatesowie

die dort eingeführte Notation nutzen werden, wollen wir an dieser Stelle

ausführli hdarauf eingehen.

Wirbetra htendasfolgendedynamis heSystemaufeiner

d

-dimensionalen glatten abges hlossenen reellen Untermannigfaltigkeit

M

:

g : M

_{→ M, g}

ein

C

1

-Dieomorphismus

, µ

ergodis h. (1.5) Dieses System genügt den Voraussetzungen des Satzes 1.1.1.Also hat esauf

einer Borels hen Menge

M

µ

vom vollen Maÿ die konstanten Liapunow-Ex-ponenten

λ

1

> . . . > λ

s

(

s

≤ d

). Es wird für die Oselede -Zerlegung des

4

SiehedieWebsitehttp://www-math.upb.de/

∼

agdellnitz/Software/gaio.htmlfürmehr InformationenzuGAIO.

Tangentialraumes

T

x

M =

L

s

i=1

W

i

(x)

angenommen, dass die Unterräume

W

i

_(x)

eindimensionalsind:

dim W

i

_{(x) = 1}

für

i = 1,

· · · , d

(also

s = d

)

µ

−

f.ü. (1.6) Mit

w

i

(x)

bezei hneeinenauf1normiertenVektorausdemUnterraum

W

i

_(x)

für

i = 1,

· · · , d

, so dass

{w

i

(x)

| x ∈ M

µ

}

ein messbares Vektorfeld für

i = 1,

· · · , d

ist. Danngiltwegen der Invarianzvon

W

i

_(x)

unter

g

Dg(x)w

i

(x) = a

(i)

(x)w

i

(g(x)),

(1.7) wobei

a

(i)

_(x)

einSkalarist.Für dieauf diese Weise denierten Abbildungen

a

(i)

_{: M}

µ

→ R

gilt

a

(i)

(x) =

± kDg(x)w

i

(x)

k i = 1, · · · , d .

und damit sind





a

(i)

(

·)





für

i = 1,

· · · , d

messbar wegen der Stetigkeit von

Dg(

·)

und der Messbarkeit von

w

i

(

·)

,

i = 1,

· · · , d

. Weiter erhalten wir aus (1.7) perInduktion

Dg

n

(x)w

i

(x) =

0

Y

j=n−1

a

(i)

(g

j

(x))w

i

(g

n

(x)) .

Daraus folgtmitdem Satz vonOselede (Satz1.1.1)

λ

i

=

lim

n→∞

1

n

ln

kDg

n

(x)w

i

(x)

k

=

lim

n→∞

1

n

ln

0

Y

j=n−1





a

(i)

(g

j

(x))





kw

_i

(g

n

(x))

k

|

{z

}

=1

=

lim

n→∞

1

n

n−1

X

j=0

ln





a

(i)

(g

j

(x))





.

Die Anwendung des Birkhos hen Ergodensatzes (siehe [32℄) liefertuns

λ

i

= lim

n→∞

1

n

n−1

X

j=0

ln





a

(i)

(g

j

(x))





=

Z

ln





a

(i)

(x)





dµ .

Mit der Denition von

a

(i)

_(x)

folgtaus der letztenGlei hung

λ

i

=

Z

Bei der Kenntnis von

w

i

(x)

lässt si h also

λ

i

als ein räumli hes Mittel aus-werten.

DasHauptproblemdiesesVerfahrensistdieApproximationdergenannten

Vektorfelder. In [21℄ wird die folgende Vorgehenweise zur Bere hnung des

gröÿten Liapunow-Exponentes

λ

1

vorges hlagen:

•

Man iteriere

x

∈ M

µ

rü kwärts in der Zeit

k

mal (

k

≈ 4

) und erhalte eine Folge von Punkten

g

−1

_(x),

_{· · · , g}

−k

_(x)

.

•

Für ein

v

∈ T

x

M

werte das Produkt

Dg(g

−1

₎

_{· . . . · Dg(g}

−k

_)v

aus.

•

Das auf1normierteder Ergebnisder imletztenPunkt dur hgeführten Multiplikation

v(x)

¯

wird alsApproximation für

w

1

(x)

genommen. Zur Bere hnung des zu dem kleinsten Liapunow-Exponent gehörenden V

ek-torfeldes

w

d

(x)

wird dieses Verfahren auf die inverse Abbildung

g

−1

ange-wendet.

Das Problem der praktis hen Bere hnung von

w

i

für

i

∈ {2, · · · , d − 1}

ist na h meinen Kenntnissen ni ht gelöst. Au h für

i = 1

(bzw.

i = d

) ist die bes hriebene Bere hnung des Vektorfeldes in einigen Fällen kritis h (siehe

[22℄).

Einezu derangegebenenalternativeVorgehensweise zurBere hnungder F

el-der

w

1

(x)

und

w

d

(x)

(die aus meiner Si hteinbesserestheoretis hes F unda-ment hat, aberre hneris h aufwendiger ist)istin [12℄ bes hrieben.

1.3.2 Zeitli h-räumli he Methode von Aston & Dellnitz

In[4℄und[5℄wurdeder Vors hlaggema ht,dengröÿtenLiapunow-Exponent

als Grenzwert einer Folge von räumli hen Integralen zu bere hnen. Von der

zentralen Bedeutung ist dabeider folgende Satz vonKingman(siehe [32℄).

Satz 1.3.1 (Subadditiver Ergodensatz, 1968) Sei

g

eine messbare Transformation auf einem Wahrs heinli hkeitsraum

(M,

B, µ)

, wobei

µ

er-godis h ist. Weiter sei

{F

n

}

n∈N

⊂ L

1

_(µ)

eine Funktionenfolgemit

F

k+n

(x)

≤ F

k

(x) + F

n

(g

k

(x))

∀ n, k ≥ 1 µ −

f.ü.

Dann gilt

(i) Es existiert

λ

∈ R ∪ {−∞}

, so dass

λ = lim

n→∞

1

n

F

n

(x) µ

- f.ü. ist. (ii)

λ = lim

n→∞

1

n

R

F

n

(x) dµ = inf

{

_n

1

R

F

n

(x) dµ

| n ≥ 1} .

Die Folge

F

n

(x) = ln

kDg

n

_(x)

_k

,

n

∈ N

, erfüllt die Voraussetzungen des Satzes:

•

Für alle

n

∈ N

ist

kDg

n

_(x)

k

bes hränkt, da

M

kompakt und

x

7→

Dg

n

_(x)

stetig ist.Also ist

ln

kDg

n

_(x)

_k

integrierbar für

n

∈ N

.

•

Wegen der Submultiplizitätder Matrixnorm gilt

ln

Dg

n+k

(x)

= ln

Dg

n

(g

k

(x))Dg

k

(x)

≤ ln

Dg

n

(g

k

(x))

+ ln

Dg

k

(x)

.

Also erhalten wir mit (1.3)

λ

1

= lim

n→∞

1

n

ln

kDg

n

(x)

k = lim

n→∞

1

n

Z

ln

kDg

n

(x)

k dµ .

Zur numeris henBere hnung von

λ

1

werdenalsodieerstenGliederderFolge

{a

n

}

n∈N

von Integralen

a

n

=

1

n

Z

ln

kDg

n

(x)

k dµ

(1.9)

ausgewertet. Für die Fehlerentwi klung dieser Folge kann man die folgende

Absätzung erhalten.

Man bezei hne mit

w

i

(x)

für

i = 1,

· · · , d

(wie im letzten Abs hnitt) die messbarenVektorfelder,diedur hdieOselede -ZerlegungdesT

angentialrau-mes deniert sind. Weiter deniere man

α

1

(x)

auf

M

µ

als dieerste Zeile der zu

[w

1

(x),

· · · , w

d

(x)]

(die MatrixmitdenSpalten

w

1

(x),

· · · , w

d

(x)

)inversen Matrix.

Satz 1.3.2 Das System (1.5) genüge der Annahme (1.6). Es besitze eine

glei hmäÿig hyperbolis he Menge vom vollen Maÿ und es gelte

λ

1

> 0

und

λ

i

< 0

für

i = 2,

· · · , d

. Weiter existiere ein

ε > 0

, so dass





sin ∠ w

i

(x), span



w

i

1

(x),

· · · , w

i

d−1

(x)





≥ ε

für

i = 2,

· · · , d

mit

{i

1

,

· · · , i

d−1

} = {1, · · · , d} \ {i}

für

µ

-fastalle

x

gilt.

Dann existiert ein

δ

∈ (0, 1)

, so dass

a

n

= λ

1

+

c

1

n

+ o

 δ

n

n



(1.10) gilt, wobei

c

1

=

Z

ln

_kα

1

(x)

kdµ.

ist.

a

n

= λ

1

+

c

1

n

+ o

 1

n



unter der alleinigen Annahme der glei hmäÿigen Hyperbolizität behauptet

(siehe Theorem4.2in[5℄).DenBeweisdazukonnte i hni htna hvollziehen.

Aus diesem Grundesind die Voraussetzungen vers härftworden:

Im Beweis des Satzes wird die Bes hränktheit von

kα

1

(x)

k

gebrau ht. Wie wir später im Kapitel4.3sehen werden (Bemerkung 4.3.1) ist

kα

1

(x)

k = |sin ∠ (w

1

(x), span

{w

2

(x),

· · · , w

d

(x)

})|

−1

.

DieVoraussetzungderglei hmäÿigenHyperbolizität(hierorientierei hmi h

an der in [7℄ Ÿ2.2 gegebenen Denition) liefert aber nur die Bes hränktheit

na huntendesWinkelszwis hen denTangentialräumenderstabilenundder

instabilen Mannigfaltigkeiten. Gibt es aber mehrere positive

Liapunow-Ex-ponenten,diedieinstabileRi htung bestimmen,soliefertdieHyperbolizität

(imSinne von[7℄ oder au h[31℄) keine Anhaltpunkte auf das Verhalten von

kα

1

(x)

k

.Deshalb istdiein[5℄ enthaltene Voraussetzung imallgemeinen Fall aus meinerSi ht (zumindest für den angegebenen Beweis) unzurei hend.

Ein Beweis für den etwas allgemeiner formulierten Satz (der Satz 4.3.2)

wird im Kapitel4.3angegeben.

IndemZusammenhangmitderAbs hätzung (1.10)in[4℄und [5℄ wurden

Vors hlägezur Extrapolationder Folge

{a

n

}

gema ht.Eine Mögli hkeitzum Eliminierendes Hauptfehlerterms

c

1

n

besteht inder Verwendung der Folge:

b

n

= (n + 1)a

n+1

− na

n

n = 1, 2, 3,

· · · .

Für diese giltdann

b

n

= λ

1

+ o (δ

n

) .

Mankann au h eine monotone Folge

B

n

= 2a

2

n

− a

₂

n−1

n = 1, 2, 3,

· · ·

(1.11) denieren,inderderHauptfehlerterm

c

1

n

wegsubtrahiertwird.DieMonotonie dieser Folge erhält man aus der Monotonievon

{a

2

n

}

n∈N

,die in[4℄ (Lemma 3.2) gezeigt wurde.

In einer weiteren Arbeit [6℄ haben die Autoren eine andere Folge von

Inte-gralen

{d

n

}

n∈N

mit

d

n

=

1

n

Z

ln

_kDg

n

_{(x) v}

k dµ

(1.12) fürein

v

∈ R

d

betra htet. DabeiwurdeeinKriteriumfürdieKonvergenzder

Die Idee der hybriden Methode besteht darin, die QR-Methode (in diesem

FalldiediskreteQR-Methode)mitderräumli henIntegrationzu verbinden.

BevorwirzurgenauerenBes hreibung diesesVerfahrensübergehen,wirdder

folgende Satz bewiesen.

Satz 1.4.1 Seien

λ

1

≥ . . . ≥ λ

d

dieLiapunow-ExponentendesSystems(1.5) mit ihren Vielfa hheiten. Es gelte

λ

i

= lim

n→∞

1

n

ln R

ii

(Dg

n

(x))

µ

-f.ü

, i = 1,

· · · , d,

(1.13) dann ist

λ

i

= lim

n→∞

1

n

Z

ln R

ii

(Dg

n

(x))dµ i = 1,

· · · , d .

(1.14)

Bemerkung 1.4.2 Die Existenz einer Permutation

π

x

mit

λ

π

x

(i)

= lim

n→∞

1

n

ln R

ii

(Dg

n

_(x))

für jedes

x

∈ M

µ

erhalten wir aus dem Satz 1.2.1. Für die Gültigkeit der Formel (1.14) ist es erforderli h, dass

π

x

= id

auf einer Teilmenge

M

¯

µ

von

M

µ

mitvollemMaÿgilt(die Voraussetzung (1.13)).Interessiert uns dieR ei-henfolgederLiapunow-Exponenten ni ht,sokann(1.13)etwasabges hwä ht

werden, indem wir eine (

µ

-f.ü.konstante) Permutation

π

zulassen:

λ

π(i)

= lim

n→∞

1

n

ln R

ii

(Dg

n

(x)) µ

-f.ü

, i = 1,

· · · , d.

Dies ändert amBeweis dieses Satzes jedo h ni hts.

Am Endedes 3.Kapitels,dessenHauptziel dieUntersu hung der

Vorausset-zung (1.13) ist,wird eine hinrei hendeBedingung für (1.13) formuliert (der

Korollar 3.3.4).

Beweis des Satzes:

Dur h Integration beider Seiten der Glei hung (1.13) na h

µ

erhältman

λ

i

=

Z

lim

n→∞

1

n

ln R

ii

(Dg

n

_{(x)) dµ .}

Nun ist

1

n

ln

kDg

n

_(x)

k =

1

n

ln

0

Y

j=n−1

Dg g

j

_(x)

≤

1

n

n−1

X

j=0

ln

Dg g

j

(x)

≤

_n

1

nK = K

da

Dg

stetigmitkompaktemDenitionsberei h ist.Damitsind dieF unktio-nen

a

i

n

(x) =

1

n

ln R

ii

(Dg

n

_(x))

für jedes

i = 1,

· · · , d

dur h eine Konstante bes hränkt, denn

kDg

n

_(x)

k = kR(Dg

n

_(x))

k

und

R

ii

(Dg

n

(x))

≤ kR(Dg

n

(x))

k .

ist.AlsokönnenwirdenLebesgues hen SatzüberdiedominierteKonvergenz

anwenden und erhalten

λ

i

=

Z

lim

n→∞

1

n

ln R

ii

(Dg

n

(x)) dµ = lim

n→∞

1

n

Z

ln R

ii

(Dg

n

(x)) dµ

für

i = 1,

· · · , d

.



Ist also die Voraussetzung (1.13) für das System erfüllt, so können wir die

Folgen

{a

i

n

}

n∈N

vonIntegralenfür

i = 1,

· · · , d

a

i

n

=

1

n

Z

ln (R

ii

(Dg

n

(x)) dµ

(1.15)

zur Bere hnung vonLiapunow-Exponenten

λ

1

,

· · · λ

d

benutzen.

Wiewir späterinKapiteln4.1und 4.2sehenwerden(Sätze4.1.5 und4.2.6),

habendieFolgen

{a

i

n

}

n∈N

untergewissen zusätzli henBedingungendas Kon-vergenzverhalten

a

i

n

= λ

i

+

c

i

n

+ o

 1

n



(1.16) bzw.

a

i

n

= λ

i

+

c

i

n

+ o

 e

−θn

n



,

(1.17)

wobei

c

i

für

i = 1,

· · · , d

konstantund

θ

positivist.Alsokönnenwir indiesen Fällendiein[4℄und [5℄vorges hlagenen Extrapolationsmögli hkeitenfürdie

Folgen dieser Art benutzen, indemwir dieFolgen

B

n

= 2a

2

n

− a

₂

n−1

n = 1, 2, 3,

· · ·

(1.19)

für

i = 1,

· · · , d

denieren.

Die Anwendung dieserFolgen beiden praktis hen Bere hnungen von

Liapu-now-Exponenten werden imKapitel5 diskutiert.

Es wird die folgende Vorgehensweise zur Approximation von

m

ersten Lia-punow-Exponenten

λ

1

,

· · · , λ

m

na h der Formel (1.15)vorges hlagen:

•

Zuerst bere hnet man (z.B. mit Hilfe von GAIO) eine Boxenüber-de kung des Attraktors

{A

j

}

K

j=1

und die zugehörige Approximation

˜

µ

_{∈ R}

K

(

K

- Anzahl der Boxen) des invarianten Maÿes

µ

, wobei

˜

µ(A

i

) = ˜

µ

i

für

i = 1,

· · · , K

ist.

•

ManwähleausjederBox

A

j

einenRepräsentanten

x

j

für

j = 1,

· · · , K

aus, z.B. den Mittelpunkt der jeweiligen Box.

•

Für die gewählten Punkte

x

j

,

j = 1,

· · · , K

, führe die im Abs hnitt 1.2.2(QR-Methode)bes hriebeneBere hnungvon

R

ii

(Dg

n

_(x

j

))

für

i =

1,

_{· · · , m}

und

n = 1,

· · · , T

(

T

- Anzahl der Zeits hritte)dur h.

•

Die Approximationen

˜a

i

n

von

a

i

n

für

i = 1,

· · · , m

werden na h der Formel

˜

a

i

n

=

1

n

K

X

j=1

ln R

ii

(Dg

n

(x

j

))˜

µ

j

n = 1,

· · · , T

bere hnet.

Benutze gegebenfallsau h dieExtrapolationsfolgen (1.18),(1.19).

Mit dieser Methode können wir also eine beliebige Zahl von

Liapunow-Ex-ponenten bere hnen imGegensatz zu den imKapitel 1.3bes hriebenen

Hilfsmittel - das äuÿere Produkt

In diesem Kapitel werden einige relevante Eigens haften des äuÿeren

Pro-duktes vonVektoren aus

R

d

inKoordinatenform zusammengestelltund

her-geleitet. Es ist eine selbständige Ausarbeitung des Materials, das der Autor

in der hier vorgestellten Form in keiner Quelle nden konnte. Dabei habe

i h mi h an den Referenzen [2℄, [23℄ und [26℄ orientiert. Dieses Material ist

zum Verständnissowohlder darauolgendenVerizierung derhinrei henden

Bedingung für die Konvergenz (Kapitel 3) als au h der Fehlerentwi klung

(Kapitel 4)der hybriden Methode notwendig.

2.1 Notationen, Denitionen und primäre

Ei-gens haften

Eine Abbildung

δ :

{1, · · · , m} → {1, · · · , d}

mit

m

≤ d

wird streng monoton genannt, falls

δ(1) < δ(2) < . . . < δ(m)

gilt. Die Menge aller streng mono-tonen Funktionenvon

{1, · · · , m}

na h

{1, · · · , d}

werden wir mit

Ord(m, d)

bezei hnen:

Ord(m, d) =

_{{δ : {1, · · · , m} → {1, · · · , d} | δ}

strengmonoton

}.

Ein Element

i

∈ Ord(m, d)

kann au h als ein Tupel

i = (i

1

,

· · · , i

m

)

bzw.

i = i

1

· · · i

m

mit

1

≤ i

1

< . . . < i

m

≤ d

dargestellt werden.

Auf

Ord(m, d)

wird dielexikographis he Ordnung eingeführt, d.h. für

σ, δ

∈

Ord(m, d)

gilt

σ < δ

,falls esein

j

∈ {1, · · · , m}

mit

σ(k) = δ(k)

für

k = 1,

· · · , j − 1

und

σ(j) < δ(j)

gibt. Somit wird

δ

1

= (1,

· · · , m)

alsdas kleinste bzw.das erste Element von

letzte (gröÿte)Elementist

δ

D

= (d + m

− 1, · · · , d)

mit

D = ♯Ord(m, d)

. Sei

A(d) =

{A

1

,

· · · , A

d

}

eine d-elementige Menge. Sei

A(d, m) =

_{{B ⊂ A(d) | ♯B = m}}

die Menge allen

m

-elementigen Teilmengen von

A(d)

.

Bemerkung 2.1.1

Ord(m, d)

und

A(d, m)

sind isomorph. Insbesondere ist

♯Ord(m, d) =

_m

d

.

Seien

x

1

,

· · · , x

m

Vektoren aus

R

d

mit Koordinaten

x

j

= (x

1j

,

· · · , x

dj

)

T

. Als

X = [x

1

,

· · · , x

m

]

bezei hne die

d

× m

Matrix mit den Spalten

x

1

,

· · · , x

m

, d.h.

X =









x

11

· · · x

1m

x

21

· · · x

2m

...

x

d1

· · · x

dm









.

Als

X

i

1

,···,i

m

wirddieUnterdeterminantederMatrix

X

bezei hnet,dieaus

X

dur h dieWahl der Zeilen

i

1

,

· · · , i

m

hervorgeht:

X

i

1

···i

m

= det









x

i

1

1

· · · x

i

1

m

x

i

2

1

· · · x

i

2

m

...

x

i

m

1

· · · x

i

m

m









.

(2.1)

Denition 2.1.2 Das äuÿere Produkt der Vektoren

x

1

,

· · · , x

m

∈ R

d

ist

der Vektor

x

1

∧ · · · ∧ x

m

∈ R(

d

m

)

mit den lexikographis h geordneten

Koor-dinaten

(x

1

∧ · · · ∧ x

m

)

i

1

···i

m

= X

i

1

···i

m

mit

(i

1

,

· · · , i

m

)

∈ Ord(m, d).

Der Vektor

x

1

∧ · · · ∧ x

m

wird au hin der Form

∧

m

j=1

x

j

ges hrieben. Bezei hnet manmit

{e

1

,

· · · , e

d

}

dieStandardbasis auf

R

d

,sofolgt

unmittel-bar aus der Denition, dass

{e

1

∧ · · · ∧ e

m

| (i

1

,

· · · , i

m

)

∈ Ord(m, d)}

die Standardbasis auf

R(

d

m

)

ist.

DasfolgendeLemmastelltdieBeziehungzuderkanonis hen Denitiondes

äuÿeren Produktes her.

Lemma 2.1.3 Seien

x

1

,

· · · , x

m

, v

∈ R

d

(i) Für eine Permutation

π

∈ S

m

ist

x

π(1)

∧ · · · ∧ x

π(m)

= sign(π)x

1

∧ · · · ∧ x

m

(Antisymmetrie)

.

(ii) Für

j = 1,

· · · , m

ist

x

1

∧ · · · ∧ x

j−1

∧ (αx

j

+ βv)

∧ x

j+1

∧ · · · ∧ x

m

=

α(x

1

∧ · · · ∧ x

j

∧ · · · ∧ x

m

) + β(x

1

∧ · · · ∧ v ∧ · · · ∧ x

m

)

(Multilinearität).

(iii)

x

1

,

· · · , x

m

linear abhängig

⇔ x

1

∧ · · · ∧ x

m

= 0

. Beweis:

(i) + (ii) :

DieAntisymmetrieunddieMultilinearitätfolgenaus den entspre- henden Eigens haften der Determinante.

(iii) : x

1

,

· · · , x

m

linear abhängig

⇔ rang (X) < m

mit

X = [x

1

,

· · · , x

m

]

⇔

es existieren keine

m

linear unabhängigen Zeilen von

X

⇔

alle m-zeiligen Minoren vers hwinden.



Mit

h·, ·i

k

bezei hne mandas gewöhnli heSkalarproduktauf

R

k

undmit

k · k

die dur h dieses denierte Norm:

kxk =

p

hx , xi

k

für

x

∈ R

k

. Satz 2.1.4 Seien

x, y

∈ R(

d

m

)

zerlegbar, d.h.

x = x

1

∧ · · · ∧ x

m

und

y = y

1

∧ · · · ∧ y

m

mit

x

j

, y

j

∈ R

d

, j = 1,

· · · , m,

dann gilt

hx, yi(

d

m

) = hx

1

∧ · · · ∧ x

m

, y

1

∧ · · · ∧ y

m

i(

d

m

) = det (M) ,

wobei

M

∈ R

m×m

mit

M

ij

=

hx

i

, y

j

i

d

für

i, j

∈ {1, · · · , m}

ist. Beweis:

Man setze

X = [x

1

,

· · · , x

m

]

und

Y = [y

1

,

· · · , y

m

]

. Mit dem Determinanten-Multiplikationstheorem(siehe [19℄) haben wir

det X

T

Y

=

X

i∈Ord(m,d)

X

i

1

···i

m

Y

i

1

···i

m

.

Der letzte Ausdru k istgerade

hx

1

∧ · · · ∧ x

m

, y

1

∧ · · · ∧ y

m

i(

d

m

)

.

Da

M = X

T

_Y

ist,folgt dieBehauptung.



Korollar 2.1.5 Seien

x

1

,

· · · , x

m

∈ R

d

. Dann ist

kx

1

∧ · · · ∧ x

m

k =

p

det (X

T

_X),

wobei

X

∈ R

d×m

die Matrix mit den Spalten

x

1

,

· · · , x

m

ist. Bei

m = d

gilt also

kx

1

∧ · · · ∧ x

d

k = |det (X)| .

Die Determinante

det X

T

_X

für

X

∈ R

d×m

heiÿt die Grams he

Deter-minante. Der Ausdru k

kx

1

∧ · · · ∧ x

m

k =

p

det (X

T

_X)

wird das Grams he

Volumengenannt.Esistglei hdemInhaltdesdur hdieVektoren

x

1

,

· · · , x

m

gebildeten Spates (siehe [23℄ Ÿ9.5).

Seien

x

1

,

· · · , x

m

,

x

∈ R

d

linear unabhängig. Man zerlege

x

in Kompo-nenten

x = x

p

_{+ x}

o

mit

x

p

∈ span {x

1

,

· · · , x

m

}

und

x

o

⊥ span {x

1

,

· · · , x

m

}

. Dann ist das Volumen des dur h die Vektoren

x

1

,

· · · , x

m

,

x

aufgespannten Parallelepipeds glei h

kx

1

∧ · · · ∧ x

m

∧ xk = kx

1

∧ · · · ∧ x

m

k kx

o

k.

Daraus folgt Bemerkung 2.1.6 (i)

kx

1

∧ · · · ∧ x

m

∧ xk

kx

1

∧ · · · ∧ x

m

k

=

kx

o

k

D.h. dieser Quotient ist glei h der Länge der zu

span

{x

1

,

· · · , x

m

}

or-thogonalenKomponentevon

x

.

(ii) Für einen normiertenVektor

kxk = 1

ist

x

o

geradeder Sinusdes

Win-kels zwis hen

x

und der von den Vektoren

x

1

,

· · · , x

m

aufgespannten Hyperebene. Also gilt

kx

1

∧ · · · ∧ x

m

∧ xk

kx

1

∧ · · · ∧ x

m

k

=

_{|sin ∠ (x, span {x}

1

,

· · · , x

m

})| .

(2.2)

Da

kx

o

k ≤ kxk

ist,giltauÿerdem die Unglei hung

kx

1

∧ · · · ∧ x

m

∧ xk ≤ kx

1

∧ · · · ∧ x

m

k kxk.

(2.3)

Als sehr nützli h erweist si hdie folgende allgemeinereAbs hätzung.

Lemma 2.1.7 (VerallgemeinerteHadamards he Unglei hung)

Es gilt für

x

1

,

· · · , x

m

∈ R

d

(i)

kx

1

∧ · · · ∧ x

m

k ≤ kx

1

∧ · · · ∧ x

k

kkx

k+1

∧ · · · ∧ x

m

k.

(ii)

kx

1

∧ · · · ∧ x

m

k ≤

m

Y

i=1

kx

i

k

. Beweis:

(ii) folgtper Induktion aus (2.3). Zum Beweis von (i)siehe [23℄Ÿ9.5.



Denition 2.1.8 Zu

A

∈ R

d×d

denieremandiem-teassoziierteMatrix

(au h m-te äuÿere Potenz genannt)

V

m

A

_{∈ R(}

m

d

)

×

(

d

m

)

dur h

V

m

A(x

1

∧ · · · ∧ x

m

) = Ax

1

∧ · · · ∧ Ax

m

für

x

1

,

· · · , x

m

∈ R

d

.

UnmittelbarausderDenitionfolgt,dassdieSpaltevon

V

m

A

mitdemIndex

j

1

· · · j

m

glei h

(

V

m

_{A) ·}

_j

₁

_···j

_m

=

V

m

A (e

j

1

∧ · · · ∧ e

j

m

) = A ·

j

1

∧ · · · ∧ A ·

j

m

(2.4) ist. Zusammen mitder Denition2.1.2 erhalten wir das

i

1

· · · i

m

-te Element der

j

1

· · · j

m

-ten Spalte:

(

V

m

A)

_i

₁

_···i

_m

_,j

₁

_···j

_m

= det









A

i

1

j

1

· · · A

i

1

j

m

A

i

2

j

1

· · · A

i

2

j

m

...

A

i

m

j

1

· · · A

i

m

j

m









.

(2.5)

Die folgendenEigens haftender äuÿeren Potenzen vonquadratis hen

Matri-zen sind lei htzu verizieren.

Lemma 2.1.9 Seien

A, B

∈ R

d×d

, dann gilt: (i)

V

m

(AB) =

V

m

(A)

V

m

(B)

. (ii)

V

m

A

T

_{= (}

V

m

A)

T

. (iii) Ist

A

invertierbar, so ist

V

m

(A

−1

_{) = (}

V

m

A)

−1

.

Lemma 2.1.10 Seien

x

1

,

· · · , x

d

und

y

1

,

· · · , y

m

Vektorenaus

R

d

derart,dass

y

j

=

d

X

i=1

A

ij

x

i

für

j = 1,

· · · , m, A

ij

∈ R

gilt. Mit

A

bezei hne man dieMatrix mitden Spalten

A ·

j

= (A

1j

,

· · · , A

dj

)

T

. Dann ist

y

1

∧ · · · ∧ y

m

=

X

(j

1

,···,j

m

)∈Ord(m,d)

A

j

1

···j

m

(x

j

1

∧ · · · ∧ x

j

m

)

Beweis:

Setze

X = [x

1

,

· · · , x

d

]

. Dann gilt

y

1

∧ · · · ∧ y

m

= X A ·

1

∧ · · · ∧ X A ·

m

=

V

m

X (A ·

1

∧ · · · ∧ A ·

m

) .

Aus

w =

n

X

j=1

v

j

B ·

j

für

w = Bv (n =

 d

m



, B

∈ R

n×n

und

v, w

∈ R

n

)

mit der Denition 2.1.2 (angewendet auf

v = A·

1

∧ · · · ∧ A·

m

)und der Glei- hung (2.4) (angewendet auf

B =

V

m

X

) folgt dieBehauptung.



2.2 Äuÿeres Produkt und die eindeutige

QR-Zerlegung

Lemma 2.2.1 Sei

A

∈ R

d×d

eine invertierbare Matrix und

A = QR

ihre eindeutige QR-Zerlegung. Dann ist

V

m

A = (

V

m

Q) (

V

m

R)

die eindeutige QR-Zerlegung der Matrix

V

m

A

.

Insbesondere sind die Diagonalelemente von

R (

V

m

A)

glei h

R

i

1

···i

m

,i

1

···i

m

(

V

m

A) =

m

Y

k=1

R

i

k

i

k

,

(i

1

· · · i

m

)

∈ Ord(m, d)

(2.6) Beweis:

Esistzuzeigen,dass

V

m

Q

orthogonalund

V

m

R

vonderoberenDreie ksform mitpositiven Diagonaleinträgenist.

Aus dem Lemma 2.1.9 folgtdieOrthogonalitätvon

V

m

Q

:

(

V

m

Q)

T

V

m

Q =

V

m

Q

T

V

m

Q =

V

m

Q

T

Q

=

V

m

I

d

= I(

d

m

).

Nunwird dieobere Dreie ksgestalt von

V

m

R

gezeigt.Na h(2.5) ist

(

V

m

R)

_i

₁

_···i

_m

_,j

₁

_···j

_m

= det









R

i

1

j

1

· · · R

i

1

j

m

R

i

2

j

1

· · · R

i

2

j

m

...

R

i

m

j

1

· · · R

i

m

j

m









.

(2.7)

Sei

(i

1

,

· · · , i

m

) > (j

1

,

· · · , j

m

)

. Dann existiert denitionsgemäÿ

ˆ

k

mit

i

l

= j

l

für

l = 1,

· · · , ˆk − 1

und

i

ˆ

k

> j

ˆ

k

. Somit ist

R

i

ˆ

k

j

ˆ

k

= 0

Da

j

l

< j

ˆ

k

für

l = 1,

· · · , ˆk − 1

und

i

n

> i

ˆ

k

für

n = ˆ

k + 1,

· · · , m

ist, haben wir

i

n

> j

l

für

l = 1,

· · · , ˆk − 1

und

n = ˆ

k + 1,

· · · , m.

Damit gilt

R

i

n

j

l

= 0

für

l = 1,

· · · , ˆk − 1

und

n = ˆ

k + 1,

· · · , m.

Also sind dieersten

k

ˆ

Spaltender Matrix aus (2.7) vonder Form

(R

i

1

j

l

,

· · · , R

i

ˆ

k−1

j

l

, 0,

· · · , 0)

T

für

l = 1,

· · · , ˆk,

undsomitlinearabhängig.Damitvers hwindetdieDeterminantein(2.7)für

(i

1

,

· · · , i

m

) > (j

1

,

· · · , j

m

)

. Für die Diagonalelementevon

V

m

R

gilt

(

V

m

R)

_i

₁

_···i

_m

_,i

₁

_···i

_m

= det











R

i

1

i

1

...

R

i

1

i

m

0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

0

..

0

R

i

m

i

m











.

Also ist

R

i

1

···i

m

,i

1

···i

m

(

V

m

A) =

Q

m

_k=1

R

i

k

i

k

> 0

für

(i

1

· · · i

m

)

∈ Ord(m, d)

, weil

R

ii

> 0

für

i = 1,

· · · , m

sind.



Lemma 2.2.2 Sei

A

∈ R

d×d

eine invertierbare Matrix und

A = QR

ihre eindeutige QR-Zerlegung. Dann gilt für

m = 1,

· · · , d

|det (

V

m

A)

| =

 d − 1

m

_{− 1}



|det (A)| .

Beweis: Es gilt:

|det (A)| = |det (Q) det (R)| = det (R) =

d

Y

i=1

R

ii

.

Mit dem Lemma 2.2.1 erhalten wir analog

|det (

V

m

A)

| =

Y

j∈Ord(m,d)

R

jj

(

V

m

A) =

Y

j∈Ord(m,d)

m

Y

k=1

R

j

k

j

k

Da dieses Produkt über alle Elemente von

Ord(m, d)

bzw. über alle

m

-elementigen Teilmengen von

{1, · · · , d}

(siehe Bemerkung 2.1.1) läuft und jedes Elementvon

{1, · · · , d}

ingenau

d−1

m−1

m

-elementigenTeilmengen ent-halten ist,gilt

Y

j∈Ord(m,d)

m

Y

k=1

R

j

k

j

k

=

d

Y

i=1

 d − 1

m

_{− 1}



R

ii

=

 d − 1

m

_{− 1}



|det (A)| .