Theorie der Informatik
G. R¨oger
Fr¨uhjahrssemester 2019
Universit¨at Basel Fachbereich Informatik
Ubungsblatt 11 ¨
Abgabe: Mittwoch, 15. Mai 2019 Aufgabe 11.1(Polynomielle Reduktion, 2.5 + 0.5 Punkte) Betrachten Sie das Entscheidungsproblem3Coloring:
• Gegeben: ungerichteter GraphG=hV, Ei
• Gefragt: Gibt es eine totale Funktionf :V → {r, g, b}mitf(v)6=f(w) f¨ur alle{v, w} ∈E?
sowie das Entscheidungsproblem3SAT:
• Gegeben:Eine aussagenlogische Formelϕin konjunktiver Normalform mit der Einschr¨ankung, dass jede Klausel aush¨ochstens3 Literalen besteht
• Gefragt: Istϕerf¨ullbar?
(a) Zeigen Sie, dass3Coloring≤p3SATgilt.
(b) Was k¨onnen wir aus (a) und der NP-Vollst¨andigkeit von3SATf¨ur3Coloringschliessen?
Aufgabe 11.2(NP-Vollst¨andigkeit, 2+2 Punkte) Betrachten Sie das EntscheidungsproblemHittingSet:
• Gegeben: Eine endliche MengeT, eine Menge von MengenS ={S1, . . . , Sn} mitSi⊆T f¨ur alle i∈ {1, . . . , n}, eine nat¨urliche ZahlK∈N0mit K≤ |T|.
• Gefragt:Gibt es eine MengeH mit h¨ochstensKElementen, die mindestens ein Element aus jeder Menge aus S enth¨alt?
(a) Zeigen Sie, dass HittingSet in NP liegt, indem Sie einen nicht-deterministischen Algo- rithmus f¨ur HittingSet angeben, dessen Laufzeit durch ein Polynom inn|T| beschr¨ankt ist.
(b) Beweisen Sie, dassHittingSetNP-vollst¨andig ist. Sie d¨urfen dabei ohne Beweis verwenden, dass das Problem VertexCover(aus Kapitel E4) NP-vollst¨andig ist.
Aufgabe 11.3(NP-H¨arte, 3 Punkte)
Betrachten Sie die folgenden Entscheidungsprobleme:
IndSet:
• Gegeben: ungerichteter GraphG=hV, Ei, Zahlk∈N0
• Gefragt: Enth¨altGeine unabh¨angige Menge der Gr¨ossekoder mehr, d.h. eine Knotenmenge I⊆V mit |I| ≥kund{u, v} 6∈E f¨ur alleu, v∈I?
SetPacking:
• Gegeben: endliche Menge M, MengeS ={S1, . . . , Sn} mit Si ⊆M f¨ur alle i ∈ {1, . . . , n}, Zahlk∈N0
• Gefragt:Gibt esS0⊆ S mit|S0| ≥k, so dass alle Mengen inS0 paarweise disjunkt sind, d.h.
f¨ur alleSi, Sj ∈ S0 mit Si6=Sj giltSi∩Sj=∅?
Beweisen Sie, dassSetPackingNP-hart ist. Sie d¨urfen dabei verwenden, dass das ProblemInd- SetNP-vollst¨andig ist.
