Theorie der Gravitationswellen

(1)

Christian Scholz

28. Januar 2008

(2)

1 Historisches

2 Theoretische Grundlagen

3 Die Feldgleichungen

4 Eigenschaften von Gravitationswellen

5 Ausblick

(3)

Theorie der Gravitationswellen Historisches

Historisches

1905 H. Poincar´ e : Gravitationswechselwirkung m¨ usste sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten ^[1]

1915 A. Einstein : Allgemeine Relativit¨ atstheorie ^[2]

1916 A. Einstein : Erste Vorhersage und mathematische Beschreibung von Gravitationswellen ^[3]

1918 A. Einstein : ¨ Uber Gravitationswellen ^[4]

(4)

Theorie der Gravitationswellen Historisches

Historisches

1936 A. Einstein & N. Rosen verrechnen sich und verwerfen die Idee von Gravitationswellen ^[5]

1937 Kurz vor der Ver¨ offentlichung korrigiert Einstein den Fehler ^[6]

...

1960 J. Weber : Vorschlag zur Detektion von Gravitationswellen ^[7][8]

1975 R.A. Hulse & J.H. Taylor : PSR1913+16 Indirekter

Nachweis von Gravitationswellen ^[9]

(5)

Theorie der Gravitationswellen Theoretische Grundlagen

Wieso k¨ onnte es Gravitationswellen geben?

SRT: die zeitliche Reihenfolge h¨ angt vom Bezugssystem ab

Konsequenz

Keine instantane Wechselwirkungen

(6)

Gravitation und Relativit¨ at

Wie kann man eine relativistische Theorie mit Gravitationskraft aufstellen?

Einsteins ¨ Aquivalenzprinzip : Freier Fall und Schwerelosigkeit sind lokal ununterscheidbar Kovarianz : Gleichungen sind forminvariant unter Koordinatentransformation

⇒ Gravitation ist ¨ aquivalent zur Kr¨ ummung des Raumes

(7)

Nichtgekr¨ ummter Raum - Minkowskiraum

R¨ aume ohne Kr¨ ummung

z.B. Euklidischer R ⁿ , Minkowskiraum, ...

Vorsicht

Ein Kreiszylinder besitzt keine innere Kr¨ ummung

(8)

Das Wegelement

Relativistisches Wegelement

ds ² = η _µν dx ^µ dx ^ν

(η µν ) =







1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1







Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in jedem Bezugssystem fordert

η _µν

(9)

Lokal gekr¨ ummter Raum

Betrachte Wegelement auf Kugeloberfl¨ ache: θ = ξ ¹ , φ = ξ ² ds ² = r ² (d θ ² + sin ² θd φ ² ) = g ij (ξ)d ξ ⁱ d ξ ^j Hieraus kann man den metrischen Tensor ablesen

(g _ij ) = r ²

1 0 0 sin ² θ

(10)

Lokal gekr¨ ummter Raum

Ausdruck f¨ ur ds ² auf Kugeloberfl¨ ache kann man nicht in kartesische Koordinaten transformieren!

Der Raum ist genau dann nicht gekr¨ ummt, wenn kartesische

Koordinaten m¨ oglich sind.

(11)

Kr¨ ummungstensor

Gibt es ein “Objekt”, dass die Kr¨ ummung eines Raumes in beliebiger Dimension quantitativ beschreibt?

⇒ Kr¨ ummungstensor

R _ijk ^m

(12)

Kr¨ ummungstensor

Wie kann man die innere Kr¨ ummung einer Kugel “messen”?

I

δA ⁱ = − 1

2 R _ijk ^m A m df ^jk

Anderung des Vektors ¨

bei Parallelverschiebung

entlang geschlossener

Kurve

(13)

Kr¨ ummungstensor

R _ijk ^m = f (∂g ) ² , ∂ ² g

L¨ asst sich durch die erste und zweite Ableitung von g _µν bilden

quadratisch in der ersten Ableitung linear in der zweiten Ableitung

Wird ben¨ otigt um die Feldgleichungen aufzustellen

(14)

Relativistische Bewegungsgleichung mit Gravitation Bewegungsgleichung im Gravitationsfeld

Bewegungsgleichungen im Gravitationsfeld

Wie sehen die relativistischen Bewegungsgleichungen aus?

Aquivalenzprinzip : In frei fallendem Koordinatensystem ¨ α ^µ gelten die Gesetze der SRT(kr¨ aftefrei)

d ² α ^µ

d τ ² = 0 , τ = Eigenzeit

(15)

Relativistische Bewegungsgleichung mit Gravitation Bewegungsgleichung im Gravitationsfeld

Bewegungsgleichungen im Gravitationsfeld

Koordinatentransformation α ^µ → β ^µ

Relativistische Bewegungsgleichung mit Gravitation ^[10]

d ² β ^κ

d τ ² = −Γ ^κ _µν d β ^µ d τ

d β ^ν

d τ

Christoffelsymbole: Γ ^κ _µν = f (∂g .. )

g µν ≡ relativistische Gravitationspotentiale

(16)

Theorie der Gravitationswellen Die Feldgleichungen

Die Feldgleichungen der ART

Von der Statik zur Dynamik

Wie sehen die Feldgleichungen aus?

Newtonscher Grenzfall

∆Φ = 4πG ρ(r)

Eine relativistische Feldgleichung muss kovariant sein Φ(r ) → g _µν metrischer Tensor

ρ(r ) → T µν Energie-Impuls-Tensor

(17)

Die Feldgleichungen

Wir suchen den Zusammenhang zwischen den g µν und den T µν

“Konstruiere” Theorie

Newtonscher Grenzfall

Analogie zur Elektrodynamik

Selbstwechselwirkung

(18)

Form der Feldgleichungen

Allgemeinste Form

G µν ∝ T µν

Die linke Seite muss folgende Eigenschaften haben Linear in zweiter Ableitung von g _µν

(Newton+Elektrodynamik) Quadratisch in erster Ableitung

(Selbstwechselwirkung+Elektrodynamik : ∝ E ² + B ² ) Gleichung muss kovariant sein

Diese Forderungen werden gerade vom Kr¨ ummungstensor erf¨ ullt!

(19)

Die Feldgleichungen

Ricci-Tensor R _µν

Kontraktion des Kr¨ ummungstensors: R µρν ^ρ

Erf¨ ullt die Vorraussetzungen Kr¨ ummungsskalar R

Kontraktion des Ricci-Tensors: R _µ ^µ

Erf¨ ullt die Vorraussetzungen

(20)

Die Feldgleichungen

Man findet die Feldgleichungen

R µν − R 2 g µν

= − 8πG c ⁴ T µν

bzw.

R µν = − 8πG c ⁴

T µν − T 2 g µν

T = T _µ ^µ

(21)

Zwischenbilanz

Was haben wir bis jetzt?

klassischer Grenzfall + Analogie zur Elektrodynamik + Kovarianz ⇒ Feldgleichungen

nichtlinear

System aus 10 gekoppelten partiellen Differentialgleichungen

(22)

Theorie der Gravitationswellen Eigenschaften von Gravitationswellen

Herleitung

Herleitung der Wellengleichung

Bei kleinen Auslenkungen fallen Terme h¨ oherer Ordnung weg Ansatz

g µν = η µν + h µν

wobei

|h _µν | 1

(23)

Herleitung

Herleitung der Wellengleichung

(24)

Herleitung

Herleitung der Wellengleichung

Vernachl¨ assige Terme h¨ oherer Ordnung Nutze Eichinvarianz

Linearisierte Feldgleichung ^{[10] [3]}

G µν → h µν

h µν = − 16πG

c ⁴

T µν − T 2 η µν

(25)

Herleitung

Analogie zur Elektrodynamik

Qualitative Herleitung Statik

∆Φ _el = 4πρ _el (r ) ⇐⇒ ∆Φ _grav = 4πG ρ _mass (r ) Dynamik

A ^µ = 4π

c j ^µ ⇐⇒ g _µν ∼ T _µν

(26)

Freie Wellengleichung

Linearisierte Feldgleichungen im Vakuum

Im Vakuum fallen die Quellterme mit T _µν und T weg Die Feldgleichungen werden dann zu

h _µν = 0

Homogene Wellengleichung!

(27)

L¨ osung der Wellengleichung ^[10]

Allgemeiner Ansatz

h µν = h ⁰ _µν exp

−ik _λ x ^λ

+ c.c . F¨ ur die weitere Betrachtung

Eichinvarianz

zus¨ atzliche Eichbedingung f¨ ur Wellenl¨ osungen

Betrachte Welle in z Richtung

(28)

L¨ osung der Wellengleichung

F¨ ur eine ebene Welle im Vakuum erh¨ alt man

(h µν ) =







0 0 0 0

0 h ₁₁ ⁰ h ⁰ ₁₂ 0 0 h ₁₂ ⁰ −h ⁰ ₁₁ 0

0 0 0 0







exp [ik (z − ct )] + c .c .

Es bleiben nur zwei unabh¨ angige Komponenten in der Amplitude.

(29)

Polarisation

linear polarisierte Wellen zwei M¨ oglichkeiten

h ⁰ ₁₁ = h , h ⁰ ₁₂ = 0 oder h ⁰ ₁₁ = 0 , h ⁰ ₁₂ = h elliptisch polarisierte Welle

h ⁰ ₁₁ = h ₁ , h ₁₂ ⁰ = ±ih ₂

Wie kann man sich diese Wellen vorstellen?

(30)

Teilchen im Feld der Welle

Auslenkung leichter Teilchen

(31)

Wie bewegen sich Teilchen im Feld der Welle?

Problem : Die Bewegungsgleichungen sind von der Wahl der Koordinaten abh¨ angig

Es gibt Koordinaten in den scheinen die Teilchen zu ruhen.

L¨ osung

Betrachte die ¨ Anderung der Abst¨ ande durch den metrischen Tensor.

ds ² = g µν (x)dx ^µ dx ^ν

(32)

Auslenkung leichter Teilchen

zeitlich-r¨ aumliche ¨ Anderung der Metrik g _µν = η _µν + h _µν

= η µν +







0 0 0 0

0 h ₁₁ ⁰ h ⁰ ₁₂ 0 0 h ₁₂ ⁰ −h ⁰ ₁₁ 0

0 0 0 0







exp[ik(z − ct)] + c .c .

und

ds ² = c ² dt ²

| {z }

“konstant”

− dl ²

|{z}

Auslenkung

− dz ²

|{z}

“konstant”

(33)

Auslenkung leichter Teilchen

Man erh¨ alt f¨ ur linear polarisierte Wellen ^[10]

L ⁰² = L ² ·

1 − 2h cos(2φ) cos(ωt) f¨ ur h ⁰ ₁₁ = h , h ₁₂ ⁰ = 0

1 − 2h sin(2φ) cos(ωt) f¨ ur h ⁰ ₁₁ = 0 , h ⁰ ₁₂ = h

(34)

Auslenkung leichter Teilchen

F¨ ur kleine h erh¨ alt man Ellipsen

(35)

Auslenkung leichter Teilchen

Nutze diesen Effekt zur Detektion!

Konzept

Interferometer zur Messung kleiner Auslenkungen

⇒ Direkte Messung von Gravitationswellen ^[8]

(36)

Energie und Impuls f¨ur Gravitationswellen

Energie und Impuls der Welle

Betrachte Feldgleichungen in zweiter Ordnung

Qualitativ

Energie-Impuls-Tensor des Feldes ist proportional zur ersten Ableitungen des metrischen Tensors

t _µν ^grav ∝ ∂h ..

∂x ^µ

∂h ^..

x ^ν ∝ k µ k ν h ²

(37)

Energie und Impuls f¨ur Gravitationswellen

Energie und Impuls der Welle

Exakte Rechnung liefert ^[10]

t _µν ^grav = c ⁴

8πG k _µ k _ν |h ⁰ ₁₁ | ² + |h ⁰ ₁₂ | ²

(38)

Theorie der Gravitationswellen Quellen von Gravitationsstrahlung

Quellen von Gravitationsstrahlung

Verschmelzende Schwarze L¨ocher (Quelle : MPI for Gravitational Physics/Zuse Institut Berlin/Center for Computation & Technology at Louisiana State University/W.Benger)

Quadrupolstrahlung

(39)

Quadrupolstrahlung

Dipolmoment verschwindet im CM-System In 1.Ordnung Quadrupolstrahlung

Dimension: Analog zu Elektrodynamik Abgestrahlte Leistung

P Q ∝ ω ⁶ Q ²

(40)

Quadrupolstrahlung

Exakte L¨ osung

Betrachte Wellengleichung mit Quelltermen

h _µν ∝

T _µν − T 2 η _µν

und oszillierende Massenverteilung

T µν = t µν (r) exp(−i ωt) + c.c .

(41)

Quadrupolstrahlung

Exakte L¨ osung

L¨ osung der Wellengleichung Greensfunktion

Asymptotik

Kontinuit¨ atsgleichung

Langwellenn¨ aherung

(42)

Quadrupolstrahlung

Exakte L¨ osung

Abgestrahlte Leistung ^[4]

P grav = 2G ω ⁶ 5c ⁵





3 X

i ,j =1

|Q _ij | ² − 1 3

3 X

i=1

Q ii

2 



Mit dem Quadrupolmoment Q _ij =

Z

d ³ r x _i x _j ρ

Wobei ρ der r¨ aumliche Anteil einer oszillierenden Massenverteilung

ist

(43)

Beispiele

Rotierende Starre K¨ orper

Starrer K¨ orper rotiert um z-Achse (Q _ij ) = I ₁ − I ₂

4 



1 i 0

i −1 0

0 0 0



 I ₁ , I ₂ : Haupttr¨ agheitsmomente Abgestrahlte Leistung

P grav ∝ ω ⁶ (I 1 − I 2 ) ²

(44)

Beispiele

Vereinfachtes Modell f¨ ur Doppelsternsystem

Tr¨ agheitsmoment

I ₁ = M ₁ M ₂ r ² M 1 + M 2

I ₂ = 0

(45)

Beispiele

Vereinfachtes Modell f¨ ur Doppelsternsysteme

klassische Rechnung:

Bahnfrequenz

ω ² = G M 1 + M 2

r ³ Damit:

Abgestrahlte Leistung

P _grav ∝ M ₁ ² M ₂ ² (M ₁ + M ₂ )

r ⁵

(46)

Beispiele

Konsequenz des Energieverlustes

Verringerung des Abstandes Verringerung der Bahnperiode

Indirekter Nachweis ^[9]

Messung der Bahnperiode von Doppelsternsystemen

z.B. PSR 1913+16

(47)

Theorie der Gravitationswellen Ausblick

Ausblick

Gravitationswellen relativistischer Quellen Gravitations-Hintergrundstrahlung Nichtlineare Effekte(Solitonen)

Quantisierung der Theorie(Gravitonen)

(48)

Theorie der Gravitationswellen Dank

Vielen Dank f¨ ur Ihre

Aufmerksamkeit!

(49)

Theorie der Gravitationswellen Quellenverzeichnis

Quellenverzeichnis

1 H. Poincar´e : Sur le dynamique d’electron, Comptes rendus de l’Acad´emie des sciences. 140, 1905b, S.

1504-1508, [Link]

2 A. Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativit¨atstheorie. In: Annalen der Physik. 49, 1916, S.

769–822, [Link]

3 A. Einstein : N¨aherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation, Sitzungsberichte der K¨oniglich Preußischen Akademie der Wissenschaften (22.6.1916 ) pp.688, [Link]

4 A. Einstein: ¨Uber Gravitationswellen 1918, Sitzungsberichte der K¨oniglich Preußischen Akademie der Wissenschaften (31.1.1918) pp.154, [Link]

5 Einstein versus the Physical Review, Daniel Kennefick, Sept. 2005, p.43 [Link]

6 A. Einstein & N. Eosen : On Gravitational Waves, Journal of the Franklin Institute (1937) , Vol. 223, p.43, [Link]

7 J.Weber & J.A. Wheeler : Reality of the Cylindrical Gravitational Waves of Einstein and Rosen, Rev. Mod.

Phys. 29, 509 - 515 (1957), [Issue 3 – July 1957], [Link]

8 J.Weber : Detection and Generation of Gravitational Waves, Phys. Rev. 117, 306 - 313 (1960), [Issue 1 – January 1960], [Link]

9 R.A. Hulse & J.H. Taylor : Discovery of a Pulsar in a Binary System, The Astrophysical Journal, 195:L51-53, (15.01.1975) [Link]

10 T. Fließbach : Allgemeine Relativit¨atstheorie, 5.Auflage, Elsevier (2006)

Theorie der Gravitationswellen