Albert Felix Baumann, BSc
Spielplanerstellung für die Österreichische Fußball-Bundesliga durch ganzzahlige Optimierung
Masterarbeit
zur Erlangung des akademischen Grades eines Master of Science
der Studienrichtung Betriebswirtschaft an der Karl-Franzens-Universität Graz
Betreuer: Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Ulrich Pferschy Institut für Statistik und Operations Research
Graz, April 2019
Ehrenwörtliche Erklärung
Ich erkläre ehrenwörtlich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen nicht benutzt und die den Quellen wörtlich oder inhaltlich entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe. Die Arbeit wurde bisher in gleicher oder ähnlicher Form keiner anderen inländischen oder ausländischen Prüfungsbehörde vorgelegt und auch noch nicht veröffentlicht. Die vor- liegende Fassung entspricht der eingereichten elektronischen Version.
Datum: Unterschrift:
I
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung ... 1
2. Grundlagen und Begriffe des Scheduling im Sport ... 3
2.1. Übliche Anforderungen an einen Spielplan ... 4
2.1.1. Optimierung des Heim-Auswärts-Schemas ... 6
2.1.2. Fairness ... 8
2.1.3. Ökonomische Kriterien ... 9
2.1.4. Organisatorische Anforderungen ... 10
2.2. Österreichische Fußball-Bundesliga ... 11
2.3. Die 2. Liga ... 15
2.4. Methoden der Spielplanoptimierung ... 18
3. Modellbildung ... 21
3.1. Grundmodell ... 21
3.2. Erweitertes Grundmodell ... 22
3.3. Modell für die Bundesliga... 24
3.3.1. Allgemeines Bundesliga-Modell ... 25
3.3.2. Bundesliga-Modell mit spezifischen Anforderungen ... 25
3.4. Modell für die 2.Liga ... 26
3.5. Code ... 28
4. Testläufe und Ergebnisse ... 31
4.1. Grundmodell und erweitertes Grundmodell ... 31
4.2. Spielplan der Bundesliga ... 33
4.3. Spielplan der 2.Liga ... 36
5. Zusammenfassung ... 38
6. Literaturverzeichnis ... 39
Anhang ... i
II
Abbildungs- und Tabellenverzeichnis
Abb. 1: Orientierte 1-Faktorisierung für K6 ... 5
Abb. 2: Kanonischer Spielplan zu Abb.1 ... 5
Abb. 3: Mosel-Code für das erweiterte Grundmodell ... 29
Abb. 4: Mosel-Code für das spezifische Bundesliga-Modell ... 29
Abb. 5: Deklarationen zum Modell der 2.Liga ... 30
Abb. 6: Nebenbedingungen des 2.Liga-Modells ... 30
Abb. 7: Beispiel für einen Spielplan mit 6 Teams ... 32
Abb. 8: Zusätzliche Nebenbedingung als Mosel-Code ... 36
Tab. 1: „Symmetrische“ Schemata ... 5
Tab. 2: HAP zum Spielplan in Tab.3 ... 12
Tab. 3: Offizieller Opponent Schedule für den Grunddurchgang ... 13
Tab. 4: Carry-over effects Matrix zu Tab.3 ... 13
Tab. 5: HAP der 2. Liga ... 17
Tab. 6: Rundenübersicht der beiden Ligen ... 28
Tab. 7: Laufzeiten des Grundmodells und verschiedener Varianten des erweiterten Grundmodells ... 32
Tab. 8: Index für Bundesliga-Spielplan ... 33
Tab. 9: Break-minimaler Opponent Schedule für den Grunddurchgang der Bundesliga ... 35
Tab. 10: HAP zum Spielplan in Abb.12 ... 35
Tab. 11: HAP der 2.Liga mit minimaler Summe aus Breaks und Überschneidungen ... 37
III
Abkürzungsverzeichnis
@ symbolisiert ein Auswärtsspiel
CP Constraint Programming
HAP Heim-Auswärts-Schema (home-away pattern)
IP Integer Programming
SRRT, DRRT Single bzw. Double Round Robin Tournament
1
1. Einleitung
Das Erstellen von Spielplänen ist ein Problem der Kombinatorik, das bis vor einigen Jahren sogar für manche Profiligen noch manuell gelöst wurde. Über eine systematische Herangehens- weise können allerdings Verbesserungspotentiale realisiert und die steigende Anzahl an Anfor- derungen berücksichtigt werden, die im modernen Fußball vorliegen. Hier ist zu bedenken, dass bei einer steigenden Anzahl an Teilnehmern die Anzahl möglicher Spielpläne gegen Unendlich wächst. Die Bearbeitung des Problems mit Methoden des Operations Research erscheint daher sinnvoll. In dieser Arbeit sollten die Spielpläne der Österreichischen Fußball-Bundesliga und der 2.Liga analysiert und optimiert werden.
In Kapitel 2 werden zuerst allgemeine Eigenschaften von Spielplänen besprochen. Dabei wird ein graphen-theoretischer Zugang verwendet. Neben diesen grundsätzlichen Eigenschaften müssen in Profiligen die Interessen von Vereinen, Veranstaltern, Fernsehstationen oder von öffentlichen Institutionen berücksichtigt werden. Diese können in die Bereiche der Verteilung von Heim- und Auswärtsspielen, der Sicherstellung von Fairness, und der Einhaltung ökono- mischer und organisatorischer Kriterien eingeteilt werden. Die Bereiche werden jeweils in den Kapiteln 2.1.1. bis 2.1.4. näher betrachtet.
Die Österreichische Fußball-Bundesliga wurde in der Saison 2018/19 von 10 auf 12 Vereine vergrößert und die wichtigsten Kriterien, die bei der Erstellung des Spielplans zu berücksichti- gen sind, betreffen die Verteilung von Heim- und Auswärtsspielen. Besonders sollten die soge- nannten Breaks minimiert werden. Damit werden Unterbrechungen der üblicherweise abwech- selnden Reihenfolge von Heim- und Auswärtsspielen für jeden Verein bezeichnet. Der offizi- elle Spielplan der Saison 2018/19 hat 34 Breaks. In dieser Arbeit wird ein Spielplan mit dem absoluten Minimum von 30 Breaks erstellt. Weitere Anforderungen und Eigenschaften des ak- tuellen Bundesliga-Spielplans werden in Kapitel 2.2. im Detail behandelt.
Da vier Vereine der Bundesliga ihr Stadion gemeinsam mit jeweils einem Verein in der 2.Liga nutzen, muss auch der Spielplan für die 2.Liga erstellt werden, sodass es hier zu möglichst wenigen Überschneidungen kommt. Auch in der 2.Liga sollten die Breaks minimiert werden.
Es liegt der offizielle Spielplan mit 58 Breaks und 5 Überschneidungen vor. In dieser Arbeit konnte ein Spielplan mit nur noch 46 Breaks bei 7 Überschneidungen ermittelt werden. Die 2.Liga wird in Kapitel 2.3. genauer besprochen.
2
Die meistverwendeten Methoden zur Erstellung von optimalen Spielplänen sind die ganzzah- lige Optimierung (IP) oder das Constraint Programming (CP). Häufig kommt es auch zu einer Kombination der beiden Methoden. In dieser Arbeit wird ein IP-Ansatz verwendet, der in Ka- pitel 3 dargestellt wird. Einige Nebenbedingungen sind dabei allerdings an Formulierungen des CP angelehnt. Diese werden in Kapitel 3.2. gezeigt. Für die Bundesliga wird in der Zielfunktion die Gesamtanzahl der Breaks minimiert. Für die 2.Liga wird die Summe aus Breaks und Über- schneidungen minimiert.
In Kapitel 4 werden die Implementierung des Modells kommentiert und die Ergebnisse, d.h.
die optimierten Spielpläne für die Bundesliga und für die 2.Liga präsentiert.
3
2. Grundlagen und Begriffe des Scheduling im Sport
Die Literatur über das Scheduling von Sportveranstaltungen ist relativ jung. Ende der 1970er Jahre begann man die Spielpläne von Basketball- und Baseballligen in den USA in Bezug auf die Reisedistanzen zu optimieren. Als erste wichtige graphen-theoretische Arbeiten werden im- mer wieder Beiträge von DeWerra v.a. (1980) und (1988) zitiert. Hier werden Definitionen eingeführt und verschiedene Eigenschaften von Spielplänen bewiesen. Eine frühe Anwendung im Fußball findet sich bei Schreuder (1992), der ein Programm zur Planung der Niederländi- schen Liga, unter Berücksichtigung verschiedener Nebenbedingungen, erstellt hat. In Belgien hingegen wurden die Spielpläne noch bis zur Saison 2005-2006 manuell erstellt.1
Heute haben sich in der Literatur verschiedene Probleme etabliert, die jeweils unterschiedliche Aspekte fokussieren. Neben der reinen Spielplanerstellung bei einer ganzen Reihe von Sport- arten im Profi- und Amateurbereich, werden auch Arbeiten über die Zuordnung von Schieds- richtern, die Einteilung von Gruppen oder über das mit dem TSP verwandte Traveling Tourna- ment Problem TTP veröffentlicht. Kendall et al. (2010) geben einen umfassenden Überblick über die bis dahin relevante Literatur.2
Auf einer Homepage der Universität Osnabrück sind die wichtigsten Begriffe des Scheduling im Sport zusammengefasst und es sind dort auch Java-Applikationen zu verschiedenen Stan- dard-Problemen verfügbar.3
In der Folge sollen übliche Eigenschaften der Spielpläne der wichtigsten professionellen Fuß- ballligen eingeführt werden. Diese weisen, je nach den Präferenzen der Teilnehmer und Veran- stalter, Unterschiede auf. Einige Strukturen sind allerdings weitverbreitet und auch bei Ama- teurturnieren gängig. Goossens/Spieksma (2012) haben die höchsten Ligen in 25 europäischen Ländern nach dem Auftreten einigen dieser Eigenschaften analysiert.4
Die tabellarische Darstellung eines Spielplans erfolgt in einer Gegner-Matrix (opponent schedule) und als Heim-Auswärts-Schema (home-away pattern, HAP). Der opponent schedule ist eine n×(n-1) Matrix mit den Einträgen ∈ 1, … \ und zeigt für jedes Team den Geg- ner in jeder Runde t an. Der HAP ist eine n×(n-1) Matrix mit den Einträgen ℎ = „H“, wenn Team i in Runde t zuhause spielt oder „A“ bei einem Auswärtsspiel.5
1 Vgl. Goossens/Spieksma (2009), 109-118.
2 Vgl. Kendall et al. (2010), 1-19.
3 Vgl. Knust (o.J.), online.
4 Vgl. Goossens/Spieksma (2012), 641-651.
5 Vgl. Kendall et al. (2010), 3-4.
4
2.1. Übliche Anforderungen an einen Spielplan
Der Planungshorizont von Turnieren wird in eine bestimmte Anzahl von Perioden, sogenannten Runden, eingeteilt. Bei zeitlich begrenzten Problemen wird der Spielplan so erstellt, dass die Anzahl der Runden minimal ist, also alle Teilnehmer in jeder Runde einmal spielen (kompakter Spielplan). Bei zeitlich nicht begrenzten Problemen ist die Anzahl der Runden größer, sodass nicht alle Teilnehmer in jeder Runde spielen. Grundsätzlich spielen im Ligamodus eine gerade Anzahl von n Teams ∈ 1, … , jeweils genau ≥ 1 -mal gegen jedes andere Team. Ein kompakter Spielplan besteht also aus = − 1 Runden und insgesamt
2 Spielen.6 Eine Liga kann als vollständiger Graph dargestellt werden, bei dem die Kanten [i,j] ein Spiel zwischen Team i und Team j repräsentieren. Der Spielplan, bei gerader Anzahl von Teams, ist durch eine 1-Faktorisierung in die disjunkten Kantenmengen , … , gegeben.7 Als k-Fak- tor eines Graphen G bezeichnet man einen k-regulären Teilgraphen V, mit derselben Knoten- menge wie G. Das heißt, dass in V alle Knoten den Grad k haben.8 Jeder 1-Faktor ist also ein perfektes Matching. Die Unterscheidung zwischen Heim- und Auswärtsspielen wird durch die Verwendung von gerichteten Kanten (i,j) bzw. (j,i) erreicht. Über einen Markierungsalgorith- mus kann so ein Spielplan erstellt werden, nachdem i ein Heimspiel gegen j in Runde p hat, wenn , ∈ !!!" .9 Die Anzahl möglicher unterschiedlicher Spielpläne läuft mit zunehmendem n gegen Unendlich.10 Von einem kanonischen Spielplan spricht man, wenn er als kanonische 1-Faktorisierung erstellt wird. Diese ist folgendermaßen für = 1, … , − 1 definiert:
= , ∪ + %, − % : % = 1, … , − 1
wobei + % und − % als 1, … , − 1 ' ( − 1 dargestellt werden.11
Die folgenden beiden Abbildungen zeigen beispielhaft eine 1-Faktorisierung und einen kano- nischen Spielplan für = 6 und = 1 (single round-robin tournament, SRRT).
6 Vgl. Kendall et al. (2010), 3-4.
7 Vgl. DeWerra (1980), 327-328.
8 Vgl. Diestel (2000),31-35.
9 Vgl. DeWerra (1980), 327-328.
10 Vgl. Rosa/Wallis (1982), 291.
11 Vgl. Goossens/Spieksma (2012), 644-645, Rasmussen/Trick (2008), 621-622 sowie DeWerra (1980) 327-328.
5
Abb. 1: Orientierte 1-Faktorisierung für K6, Rasmussen/Trick (2008), S.621
Abb. 2: Kanonischer Spielplan zu Abb.1, Rasmussen/Trick (2008), S.621
Der häufigste Modus in europäischen Fußball-Ligen ist ein double round-robin tournament, DRRT ( = 2 , wobei die Saison in zwei Hälfen geteilt wird und jede Begegnung genau einmal in jeder Hälfte, mit umgekehrtem Heimrecht (Hin- und Rückrunde), stattfindet. Es wird als fair angesehen, dass es in den beiden Hälften eine ähnliche Abfolge der Spiele gibt. Es gibt mehrere
„symmetrische“ Schemata, die alle in verschiedenen Ligen praktiziert werden. Beim gespiegel- ten Spielplan ist die zweite Saisonhälfte identisch zur ersten. Nach dem Französischen Schema ist die erste Runde der Hinrunde identisch zur letzten Runde der Rückrunde. Sonst entspricht die (Rück-)Runde − 1 + * der (Hin-)Runde * + 1 mit * = 1, … , − 2. Nach dem Engli- schen Schema ist die letzte Runde der Hinrunde identisch zur ersten Runde der Rückrunde.
Sonst ist die Runde + * identisch zu Runde * mit * = 1, … , − 2. Beim invertierten Spiel- plan sind jeweils die Runden * und − 1 ∗ 2 − * + 1 identisch. In der folgenden Tabelle sind diese Schemata zusammengefasst und veranschaulicht.12
Hinrunde Rückrunde
t 1 2 … n-1 n n+1 … (n-1)*2-1 (n-1)*2
Spiegelung 1 2 … n-1 1 2 … n-2 n-1
Französisches Schema 1 2 … n-1 2 3 … n-1 1
Englisches Schema 1 2 … n-1 n-1 1 … n-3 n-2
Invertierung 1 2 … n-1 n-1 n-2 … 2 1
Tab. 1: „Symmetrische“ Schemata, selbst erstellt nach Goossens/Spieksma (2012), S.645
12 Vgl. Goossens/Spieksma (2012), 645-646.
6
Die einzelnen Spiele einer Runde finden üblicherweise nicht alle gleichzeitig, sondern bloß an aufeinanderfolgenden Tagen statt. Die konkrete Zuteilung von Spielen einer Runde zu einem Termin (Tag und Uhrzeit) erfolgt in der Regel nicht zu Beginn für alle Runden, sondern erst im Verlauf des Turniers jeweils für wenige Runden im Voraus.
Neben den bisher erläuterten erwünschten Eigenschaften von Spielplänen, gibt es eine Vielzahl zusätzlicher Erfordernisse und Wünsche, die von den Vereinen, Veranstaltern, Fernsehstatio- nen oder von öffentlichen Institutionen geltend gemacht werden und bei der Erstellung von Spielplänen berücksichtigt werden müssen. Man kann sie in Kategorien betreffend den HAP, die Fairness, ökonomische Kriterien und organisatorische Anforderungen einteilen. Sie sollen in den nächsten Kapiteln näher besprochen werden.
2.1.1. Optimierung des Heim-Auswärts-Schemas
Eine Forderung bei fast allen Spielplänen ist, dass sie eine – in Folge näher definierte – „faire Verteilung“ von Heim- und Auswärtsspielen ergeben, also soweit möglich, einem bestimmten HAP folgen sollen. Ganz allgemein fordern Knust/v.Thaden (2006), dass in einem SRRT für alle Vereine die Differenz zwischen Heim- und Auswärtsspielen nicht größer als eins sei (HA- balance). Diese Eigenschaft kann für alle n erfüllt werden.13 Wenn zu jeder Runde die Differenz zwischen Heim- und Auswärtsspielen maximal k beträgt, spricht man von k-balance. Goos- sens/Spieksma (2012) führen als Maß für die Ausgeglichenheit des HAP die g-ranking-balan- cedness ein. Bis zu jeder Runde r soll der Unterschied der absolvierten Heimspiele zwischen allen Vereinen maximal g betragen, also max ℎ/ − min2 3ℎ2/4 ≤ 6. Bei einem niedrigen g- Wert gibt es keine Vereine, die in irgendeiner Phase der Saison übermäßig viele Heimspiele haben. Der g-Wert kann minimal 1 betragen, was in der Englischen Liga der Fall ist. Die meis- ten anderen Ligen weisen einen g-Wert von 2 auf.14
Ein zentrales Ziel ist häufig die Minimierung der sogenannten Breaks. So wird eine Unterbre- chung der üblichen Abfolge „HAHA“ oder „AHAH“ genannt, also eine Abfolge von zwei oder mehr Heim- oder Auswärtsspielen.15 Bei einer geraden Anzahl von Vereinen gibt es in einem Spielplan mit = 1 mindestens − 2 Breaks.16 Ein solcher Spielplan kann unter anderem er- stellt werden, indem bei der kanonischen 1-Faktorisierung bei ungeraden der Pfeil , , bei geraden der Pfeil , eingefügt wird. Die anderen gerichteten Kanten in sind + %, −
13 Vgl. Knust/v.Thaden (2006),356-359.
14 Vgl. Goossens/Spieksma (2012), 647-648.
15 Verweise in Kendall et al. (2010), 5.
16 Vgl. Schreuder (1992), 305-307.
7
% bei ungeraden % und − %, + % sonst. Daraus folgt, dass ein gespiegelter DRRT- Schedule mindestens − 2 ∗ 3 = 3 − 6 Breaks hat. Breaks in der Hinrunde wiederholen sich nämlich in der Rückrunde und zusätzlich haben die Teams mit (einer ungeraden Anzahl) Breaks auch eines am Beginn der Rückrunde.17 Außerdem ist die Gesamtanzahl der Breaks in einem Spielplan immer gerade, da es nicht möglich ist in zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Runden für eine ungerade Anzahl an Vereinen ein Break einzuplanen.18 Für einen gegebenen Spielplan (ohne HA-Zuteilung) kann eine breakminimale HA-Zuteilung in polynomieller Zeit gefunden werden.19
Neben der Minimierung von Breaks, kann es auch erwünscht sein, ein Break in bestimmten Runden zu vermeiden, typischerweise in den ersten und letzten beiden Runden der Saison.20 Je nach der konkreten Charakteristik eines Turniers kann es auch gewünscht sein, innerhalb einer bestimmten Abfolge von Runden keine Breaks zuzulassen. So etwa bei Durán et al. (2017), die einen neuen Spielplan für die CONMEBOL-Qualifikation zur FIFA Weltmeisterschaft vorge- schlagen haben. Dieses Turnier wird über eineinhalb Jahre gespielt, wobei immer zwei Runden (Doppelrunde) innerhalb einer Woche anstehen, und dann eine mindestens einmonatige Unter- brechung. Hier war eines der Hauptziele, für jeden Teilnehmer in jeder Doppelrunde genau ein Heimspiel und ein Auswärtsspiel zu planen.21 In manchen Ligen ist es zudem üblich, dass in der ersten Runde die Aufsteiger ein Heimspiel haben und jene Vereine, die in der ersten Runde des Vorjahres ein Auswärtsspiel hatten.22 DeWerra (1982) stellt fest, dass wenn ein Spielplan zwischen den Runden % + 1, … , % + keine Breaks aufweist, die Kanten der Runden %, % + 1, … , % + einen regulären bipartiten Graphen mit (86 = + 1 (regulärer bipartiter Faktor) bilden. Um die Anzahl der Runden mit Break zu minimieren muss der Graph in diekleinste Anzahl regulärer bipartiter Faktoren zerlegt werden, diese beträgt 9 = :log> ?. Sollen die Breaks auch gleichmäßig über die Saison verteilt werden, kann eine Zerteilung in κ bipartite Faktoren gefunden werden, mit der Bedingung −1 ≤ (86 − (862 ≤ +1 , ≤ 9 .23
17 Vgl. Rasmussen/Trick (2008), 620-622.
18 Vgl. Régin (2001), 16.
19 Vgl. Miyashiro/Matsui (2005), 235-241.
20 Vgl. Goossens/Spieksma (2009), 110-111.
21 Vgl. Durán et al. (2017), 1109-1114.
22 Vgl. Bartsch et al. (2006), 1910.
23 Vgl. DeWerra (1982), 217-225.
8 2.1.2. Fairness
Unter dem Aspekt der Fairness fordern Vereine in manchen Ligen, nicht zu viele Spiele in Folge gegen starke Gegner zu spielen. In Belgien sind z.B. in vier aufeinanderfolgenden Run- den höchstens zwei Spiele gegen Top-Vereine – als solche werden 4 von 18 Vereinen definiert - zulässig. Zusätzlich muss in jeder Hälfte der Saison mindestens ein Spiel gegen einen Top- Verein zuhause stattfinden.24 Wenn generell vermieden werden soll, dass ein Team in Folge gegen sehr schwache oder sehr starke Gegner spielt, wird eine Spielplanerstellung mit Leis- tungsgruppen durchgeführt. Die Vereine werden dazu in |A| ≥ 2 Gruppen gleicher Größe geteilt. Wenn kein Team in zwei aufeinanderfolgenden Runden gegen ein Team derselben Gruppe spielt, spricht man von einem group-changing schedule. Wenn kein Team öfter als einmal in |A| aufeinanderfolgenden Runden gegen ein Team derselben Gruppe spielt, besteht group-balance. Die zweite Eigenschaft ist eine Verschärfung der ersten. Dementsprechend sind group-balanced Schedules eine Teilmenge von group-changing Schedules für eine Liga mit n Vereinen und |A| Leistungsgruppen. Group-balanced Schedules existieren genau dann, wenn
|A| und
|B| gerade sind. Briskorn (2009) zeigt auch die Kombinationen von n und |A|, für die bloß group-changing Schedules existieren.25
Es kann auch erwünscht sein, den Spielplan fair, nach den sogenannten carry-over effects, zu gestalten. Hier wird angenommen, dass ein Team i einem Team j einen Vorteil oder Nachteil mitgibt, wenn ein drittes Team x in Runde t gegen i und in t+1 gegen j spielt; die Variable C2 in der carry-over effects Matrix zeigt die Anzahl der carry-over-Effekte von i zu j. Um die C2 zu ermitteln, muss (z.B. im opponent schedule) gezählt werden, wie viele Teams in zwei auf- einanderfolgenden Runden zuerst gegen i und dann gegen j spielen. Daraus ergibt sich im All- gemeinen, dass C2 ≠ C2 und die carry-over effects Matrix daher nicht symmetrisch ist. Der carry-over effects value ist als Summe ∑ C,2 >2definiert und misst die Fairness eines Spielplans.
In einem neutralen Spielplan sollten keine Teams i,j,x,y existieren, sodass x und y beide in Folge gegen i und dann gegen j spielen, d.h. C2 = 1 ∀ , ; ≠ und somit ∑ C,2 >2 = ∗ − 1 . Es wurde gezeigt, dass solche Spielpläne für = 2H, ' ∈ ℤ und für = 20,22 existie- ren. In Anderson (1999) werden eine Methode zur Minimierung des carry-over effects values
24 Vgl. Goossens/Spieksma (2009), 110-112.
25 Vgl. Briskorn (2009), 744-750 und Kendall et al. (2010), 6.
9
und die entsprechenden minimalen Werte für verschiedene n vorgestellt. Kanonische Spiel- pläne führen immer zum maximalen carry-over effects value, wobei das bloße Vertauschen einiger Runden zu einer bemerkenswerten Verbesserung führen kann.26
Zu den Fairness-Kriterien kann auch die Berücksichtigung von internationalen Bewerben ge- zählt werden. Die besten Vereine der europäischen Ligen können an den Klub-Bewerben der UEFA teilnehmen. Die Spiele der Champions League finden Dienstag oder Mittwoch statt, die Spiele der Europa League donnerstags. Dies ist bei der Planung der nationalen Meisterschaften insofern zu beachten, als dass für jeden Verein mindestens zwei freie Tage zwischen zwei Spie- len liegen müssen, z.B. darf eine Mannschaft nach einem Spiel der Europa League frühestens wieder am Sonntag spielen.27
2.1.3. Ökonomische Kriterien
Die Gestaltung des Spielplans kann Auswirkungen auf das ökonomische Ergebnis der Vereine, der Fernsehstationen und der veranstaltenden Verbände haben. Um Kosten zu senken kann etwa die gesamte Reisedistanz der Vereine minimiert werden (Traveling Tournament Problem, TTP). Dabei werden längere Breaks in Kauf genommen und die Vereine absolvieren u.U. meh- rere Auswärtsspiele in Folge, ohne inzwischen zum Heimort zurückzukehren (sogenannte roadtrips). Das TTP wurde erstmals bei der Spielplanerstellung für die nord-amerikanische Baseball-Liga MLB eingeführt.28 Diese Art von Spielplanung wird bei Fußball-Ligen in Europa nicht praktiziert. Auch bei einem Break von zwei Auswärtsspielen kehren die Mannschaften inzwischen üblicherweise zum Heimort zurück.
Es kann aber auch versucht werden, die Umsätze der Vereine zu erhöhen, indem bestimmte Begegnungen an Terminen festgesetzt werden, die ein größeres Publikum versprechen z.B. an Feiertagen. Da an Werktagen die Anzahl der Zuschauer üblicherweise niedriger ist, als an Wo- chenenden, und der Umsatz aus dem Ticketverkauf an den Heimverein geht, kann es auch wich- tig sein, die Anzahl der Heimspiele an Werktagen möglichst gleich über alle Vereine zu vertei- len, um keinen zu benachteiligen.29
Weiters kann es von der Liga oder von den Vereinen gefordert werden, sogenannte Top-Spiele zwischen zwei Vereinen mit besonders vielen Anhängern oder „Klassiker“ zwischen Vereinen mit einer historischen Rivalität in einem bestimmten Zeitraum zwischen Runde t und t + x
26 Vgl. Russell (1980), 127-131, Anderson (1999), 1-9, Kendall et al. (2010), 5 und Goossens/Spieksma (2012), 648-650.
27 Vgl. Bartsch et al. (2006), 1910-1911.
28 Vgl. Easton et al. (2001), 581.
29 Vgl. Durán et al. (2007), 540.
10
anzusetzen.30 In manchen Ligen werden Spiele, die für den Ausgang der Meisterschaft wahr- scheinlich entscheidend sind, erst in einer der letzten Runden eingeplant, damit der Sieger nicht frühzeitig feststeht. Dabei spricht man von einer „Fixierung“ der Begegnung.31
Die Fernsehstationen, die die Spiele übertragen, sind an möglichst hohen und gleichmäßigen Zuschauerzahlen interessiert. Das kann z.B. erreicht werden, indem möglichst in jeder Runde eine Begegnung mit zwei Vereinen aus einer bestimmten geographischen Region oder nicht mehr als eine bestimmte Anzahl interessanter Spiele gleichzeitig stattfinden.32 In Italien teilen sich immer zwei Gesellschaften die Rechte an der Übertragung. Bei der Erstellung des Spiel- plans müssen die Spiele so zu einem der zwei Sender zugeteilt werden, dass sich die Spiele eines Senders auf möglichst viele Termine verteilen, also möglichst wenig Spiele parallel über- tragen werden.33 In Brasilien soll, neben der Break-Minimierung, eine zufriedenstellende Auf- teilung der Spiele zwischen öffentlichen und privaten Sendern erzielt werden. Die attraktivsten Spiele sollen dabei vorzugsweise an Wochenenden stattfinden.34
2.1.4. Organisatorische Anforderungen
Es können auch eine Reihe von Einschränkungen organisatorischer Natur vorliegen. Erstens muss die Verfügbarkeit der Spielstätten berücksichtigt werden, da es vorkommen kann, dass mehrere Vereine im selben Stadion ihre Heimspiele haben. In einem Spielplan mit − 2 Breaks existieren stets ⁄2 Teilmengen von Paaren mit komplementären HAP. Zwei Vereine, die nie gleichzeitig zuhause spielen sollen, können zu einem dieser Paare zugeteilt werden.35 Aus Gründen der Verkehrsplanung oder der Sicherheit könnte es notwendig sein, die Anzahl der Spiele pro Runde in einer gewissen Region auf ein Maximum zu begrenzen. Dies kann auch Liga übergreifend erforderlich sein.36
Abschließend können in den unterschiedlichen Ligen spezifische Anforderungen auftreten. In England werden z.B. für die 4 höchsten Ligen die Spiele in der Weihnachtszeit so geplant, dass die Gesamtdistanz aller Vereine zu den Auswärtsspielen minimal ist. Das soll eine bessere Er- reichbarkeit für die Zuschauer garantieren, da zu dieser Zeit die Straßenverhältnisse mäßig sind und öffentliche Verkehrsmittel nur eingeschränkte Fahrpläne einsetzen.37
30 Vgl. Durán et al. (2007), 542-543.
31 Vgl. Bartsch et al. (2006), 1910.
32 Vgl. Durán et al. (2007), 543.
33 Vgl. Della Croce/Oliveri (2006), 1963-1964.
34 Vgl. Ribeiro/Urrutia (2012), 260-272.
35 Vgl. DeWerra (1980), 330-331.
36 Vgl. Bartsch et al. (2006), 1907-1910.
37 Vgl. Kendall/Westphal (2013), 1-3.
11
2.2. Österreichische Fußball-Bundesliga
Die Österreichische Fußball-Bundesliga ist die höchste Spielklasse für Vereinsmannschaften innerhalb des Österreichischen Fußball-Bundes. Sie wird seit der Saison 1974/75 ausgetragen.
Davor bestanden schon seit 1911 offizielle Fußballmeisterschaften.38 In den Saisonen 1993/94 bis 2017/18 nahmen 10 Vereine teil und spielten in 36 Runden vier Mal gegeneinander (4RRT).
Der Spielplan war in zwei unterschiedliche Hälften geteilt, in denen jeweils 18 Spiele nach dem Englischen System stattfanden.39 In der Saison 2018/19 wurde die Liga auf 12 Vereine erwei- tert. Zuerst wird ein DRRT mit 22 Runden gespielt. Die jeweils ersten und letzten sechs Vereine nach diesem sogenannten Grunddurchgang spielen wiederum ein DRRT mit 10 Runden (Meis- tergruppe bzw. Qualifikationsgruppe). Der Sieger der Meistergruppe ist österreichischer Fuß- ball-Meister, der Letzte der Qualifikationsgruppe steigt in die Zweite Liga ab. Der Sieger der Qualifikationsgruppe und – je nach Anzahl der UEFA-Startplätze – der Dritte und Vierte oder der Vierte und Fünfte der Meistergruppe spielen das Europa League-Play-Off.40
In einer Presseaussendung hat die Bundesliga die relevanten Kriterien für die Erstellung des Spielplans (für den Grunddurchgang) bekannt gemacht. Zusammengefasst sind folgende Punkte zu beachten:
• Minimale Anzahl an Breaks pro Team
• Keine Spielfolgen von drei (oder mehr) Heim- oder Auswärtsspielen
• Keine Breaks in den ersten und letzten beiden Runden
• Jeweils zwei Heim- und Auswärtsspiele in den Runden 19 bis 22
• Verfügbarkeit der Stadien (z.B. Sperren oder Umbauten)
• Behördliche Vorgaben und Sicherheitsaspekte (z.B. komplementäre HAP für die Wie- ner Vereine und Berücksichtigung der Eishockey-Spiele).
Die Spiele einer Runde finden samstags und sonntags statt; im Sommer jeweils um 17:00 Uhr und ab Mitte September um 14:30 oder 17:00 Uhr. Die konkrete Zuteilung der Spiele zu den Terminen erfolgt erst im Verlauf des Turniers jeweils für die Runden 1 - 7 zu Beginn, 8 – 18 im September und 19 – 22 im Dezember. Der Spielplan für die Runden 23 - 32 kann erst im
38 Vgl. ÖFBL (2018a), online.
39 Vgl. Bartsch et al. (2006), 1911 und Goossens/Spieksma (2012), 645-646.
40 Vgl. ÖFBL (2016), online.
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März erstellt werden, weil dann die Trennung in Meister- und Qualifikationsgruppe stattfin- det.41 Diese Vorgehensweise ist in den Europäischen Ligen üblich, da zu Beginn der Saison nicht gänzlich feststeht, welche Vereine an welchen UEFA-Bewerben teilnehmen. Diese Ver- eine müssen vor bzw- nach den Europapokal-Spielen mindestens zwei freie Tage haben. Da die UEFA-Spiele im Abstand von mindestens zwei Wochen stattfinden, kann diese Anforderung immer durch das Ansetzen am Samstag oder Sonntag erfüllt werden und es gibt in den betroffe- nen Runden dadurch keine „verbotenen“ Paarungen. In Folge wird der Spielplan für die Saison 2018/19 hinsichtlich der in Kapitel 2.1 und 2.3 genannten Kriterien analysiert und verbesse- rungswürdige Eigenschaften festgestellt werden. Der Spielplan ist in den Tabellen 2 und 3 dar- gestellt. Die Strichlinien repräsentieren die Unterbrechungen der Meisterschaft durch Länder- spiele bzw. durch die Winterpause, die fette Linie teilt die zwei Hälften, wobei hier keine Un- terbrechung vorliegt.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Breaks FC Red Bull Salz-
burg RBS H A H H A H A H A A H A H A A H A H A H H A 4
SK Puntigamer
Sturm Graz STU H A A H A H A H A H A A H H A H A H A H A H 3
SK Rapid Wien SCR A H H A H A H A H H A H A A H A H A H A A H 4 LASK ASK A H A H A H A A H A H H A H A H A H H A H A 3 FC Flyeralarm
Admira ADM H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A 0
SV Mattersburg SVM A H A H A A H A H A H H A H A H H A H A H A 3 FK Austria Wien FAK H A A H A H A H A A H A H H A H A H A H H A 4 CASHPOINT CSR
Altach ALT H A H A H H A H A H A A H A H A A H A H A H 3
RZ Pellets WAC WAC A H A A H A H A H H A H A H H A H A H A A H 4 SKN St. Pölten SKN H A H A H A H H A H A A H A H A H A A H A H 3 FC Wacker Inns-
bruck FCW A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H 0
TSV Prolactal
Hartberg HTB A H H A H A H A H A H H A A H A H A H A H A 3
Summe 34
Tab. 2: HAP zum Spielplan in Tab.3
41 Vgl. ÖFBL (2018b), online.
12345678910111213141516171819202122 RBSASK@SVMFAKHTB@ALTADM@SKNSCR@WAC@STUFCW@ASKSVM@FAK@HTBALT@ADMSKN@SCRWAC STU@FCW STUHTB@FCW@SKNALT@WACSCR@ADMSVM@ASKRBS@FAK@HTBFCWSKN@ALTWAC @SCRADM@SVMASK@RBSFAK SCR@ADMALTWAC@ASKFCW@STUFAK@RBSSKNSVM@HTBADM@ALT@WACASK@FCWSTU@FAKRBS@SKN@SVMHTB ASK@RBSSKN@ADMSCR@HTBWAC@SVM@FAKSTU@FCWALTRBS@SKNADM@SCRHTB@WACSVMFAK@STUFCW@ALT ADMSCR@HTBASK@FAKSVM@RBSSTU@FCWALT@SKNWAC @SCRHTB@ASKFAK@SVMRBS@STUFCW@ALTSKN@WAC SVM@ALTRBS@HTBWAC@ADM@FAKASK@STUFCW@SCRSKNALT@RBSHTB@WACADMFAK@ASKSTU@FCWSCR@SKN FAKFCW@WAC@RBSADM@SKNSVM@SCRASK@HTB@ALTSTU@FCWWAC RBS@ADMSKN@SVMSCR@ASKHTBALT@STU ALTSVM@SCRFCW@STURBSSKN@HTBWAC@ADMFAK@ASK@SVMSCR@FCWSTU@RBS@SKNHTB@WACADM@FAKASK WAC@SKNFAK@SCR@SVMSTU@ASKFCW@ALTRBSHTB@ADMSKN@FAKSCRSVM@STUASK@FCWALT@RBS@HTBADM SKNWAC@ASKSTU@FCWFAK@ALTRBSHTB@SCRADM@SVM@WACASK@STUFCW@FAKALT@RBS@HTBSCR@ADMSVM FCW@FAKSTU@ALTSKN@SCRHTB@WACADM@SVMASK@RBSFAK@STUALT@SKNSCR@HTBWAC @ADMSVM@ASKRBS HTB@STUADMSVM@RBSASK@FCWALT@SKNFAK@WACSCRSTU@ADM@SVMRBS@ASKFCW@ALTSKN@FAKWAC @SCR Tab. 3: Offizieller Opponent Schedule für den Grunddurchgang RBSSTUSCRASKADMSVMFAKALTWACSKNFCWHTB RBS010110200303 STU100110110060 SCR010121001113 ASK220002100031 ADM001004210300 SVM212200201001 FAK121201011002 ALT410010002300 WAC113231000000 SKN002012221001 FCW021100141100 HTB001120024010 Tab. 4: Carry-over effects Matrix zu Tab.3
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Es ist ein kompakter Spielplan mit = 22 Runden und 12
2 ∗ 2 = 132 Spielen. Der Spielplan ist nicht kanonisch. Die verwendete „Symmetrie“ ist die Spiegelung. Alle Vereine haben genau 11 Heim- und 11 Auswärtsspiele, somit herrscht HA-balance nach Knust/v.Thaden (2006). Es besteht k-balance bei % = 2 und g-ranking-balance bei 6 = 2.
Der Spielplan weist 34 Breaks auf. Dem HAP in Tabelle 3 kann entnommen werden, dass vier Vereine 4 Breaks, sechs Vereine drei und 2 Vereine kein Break haben. Das Kriterium der Break- Minimierung ist somit nicht erfüllt, da für ein DRRT mit 12 Vereinen ein Schedule mit 30 Breaks existiert, bei dem 10 Vereine drei Breaks und zwei Vereine kein Break haben. Die an- deren Kriterien der Liga bezüglich des HAP werden allerdings erfüllt. Es gibt keine Spielfolgen von drei (oder mehr) Heim- oder Auswärtsspielen, keine Breaks in den ersten und letzten beiden Runden und in den Runden 19 bis 22 haben alle Vereine jeweils zwei Heim- und Auswärts- spiele.
Man sieht auch, dass bei einem gespiegelten Spielplan ein Break am Beginn der Rückrunde entsteht (hier: Runde 11 und 12), wenn der Verein in der Hinrunde genau ein Break hat.
Aus dem opponent schedule kann man leicht erkennen, dass der Spielplan nicht group-changing ist, zumindestens wenn als Grundlage für die Gruppeneinteilung das Ergebnis aus dem Jahr 2017/18 verwendet wird, also bei A1 = 1, … ,6 und A2 = 7, … ,12 . Auf Tabelle 4 ist die carry-over effects Matrix zu sehen. Definitionsgemäß werden nur die ersten − 1 Runden (SRRT) betrachtet und es werden auch die Effekte von * = − 1 zu * = 1 gezählt. Nachdem ein gespiegeltes Schema gespielt wird, ist dies durchaus realistisch, da die Runden 1 und identisch sind und die Spiele also tatsächlich stattfinden. Der carry-over effects value beträgt 302. Dies ist ein sehr guter Wert zwischen dem bisher bekannten Minimum von 176 (die theo- retische Untergrenze ist 132) und dem Maximum von 924.42 Die Einhaltung von Fairness-Kri- terien wird von der Liga allerdings nicht explizit gefordert.
Ebensowenig wird in der Presseaussendung der Liga die Einhaltung von ökonomischen Krite- rien als relevant genannt. Offenbar wählt der Sender Sky jedoch die Termine aus, d.h. ob ein Spiel am Samstag oder Sonntag stattfinden soll.43 Es fällt allerdings auf, dass von den sechs Spielen zwischen den historisch besten und meistverfolgten Vereinen FC Red Bull Salzburg, SK Puntigamer Sturm Graz, SK Rapid Wien und FK Austria Wien fünf in den Runden 6 – 11
42 Vgl. Russel (1980), 130-131, Goossens/Spieksma (2012), 648-650 und Anderson (1999), 1-9.
43 Vgl. ÖFBL (2018b), online.
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geplant sind und nur eines in den ersten 5 Runden der jeweiligen Saisonhälfte. Es gibt auch keine Runde, in der zwei Spitzenspiele stattfinden.
Die organisatorischen Anforderungen betreffend, sieht man, dass jeder der 12 Vereine ein ei- genes Stadion zur Verfügung hat, somit ergeben sich dadurch keine Probleme. Es sind auch keine Umbauarbeiten oder Stadionsperren bekannt. Jedoch sollen SK Rapid Wien und FK Aus- tria Wien komplementäre HAP haben, was auch zutrifft. Auch SK Puntigamer Sturm Graz und TSV Prolactal Hartberg haben von den Vereinen in geographischer Nähe komplementäre HAP zugeordnet bekommen. Es gibt vier Vereine, die sich ein Stadion mit jeweils einem Verein der 2.Liga teilen. Daher ist es notwendig, beide Ligen gemeinsam zu planen, und im nächsten Ab- schnitt wird ein genauerer Blick auf die zweite Spielklasse geworfen.
Bei den Planungskriterien der Liga wird explizit auf Überschneidungen mit der Eishockey-Liga hingewiesen. Die Städte mit einem Fußball-Bundesliga Verein und einem Hockey Verein sind aktuell Wien, Graz, Linz, Salzburg und Innsbruck und die relevanten Spiele der Eishockey- Liga finden jeweils Freitag nach 19:15 Uhr und/oder Sonntag nach 17:30 Uhr statt. Die Fuß- ballspiele können also am Samstag stattfinden, um eine gleichzeitige Austragung zu vermeiden, obwohl ein Vergleich der beiden Spielpläne zeigt, dass es dennoch zu einigen wenigen Über- schneidungen kommt.44
2.3. Die 2. Liga
Im Zuge der Ligareform wurde auch für diese Meisterschaft ein neuer Modus entwickelt. Die 2. Liga besteht nun aus 16 Teams, die jeweils in einem Hin- und Rückspiel gegeneinander antreten (DRRT). Das ergibt 30 Runden, die, mit Ausnahme von einer Runde, alle an Wochen- enden ausgetragen werden.45 Die Kriterien zur Spielplanerstellung sind ähnlich zur Bundesliga:
• Minimale Anzahl an Breaks pro Team
• Keine Spielfolgen von drei (oder mehr) Heim- oder Auswärtsspielen
• Keine Breaks in den ersten und letzten beiden Runden
• Verfügbarkeit der Stadien (z.B. gemeinsame Nutzung mit Bundesligaverein, Sperren oder Umbauten)
44 ÖEHV (2014), online.
45 2. Liga (2018a), online.
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Der Spieltermin in jeder Runde wird vom Heimverein, unter Einhaltung bestimmter Vorgaben, festgelegt. Dabei können sie zwischen freitags um 19:10 Uhr, samstags von 12:30 bis 20:30 oder sonntags von 10:00 bis 17:00 wählen. Wenn die Gastmannschaft eine Anreise von über 300 km hat und keinem anderen Termin zustimmt, soll das Spiel am Samstag von 14:30 bis 20:30 oder am Sonntag von 10:00 bis 14:30 stattfinden. Zusätzlich sind 60 Live-Übertragungen geplant, 30 auf ORF Sport+ und 30 auf LAOLA1. Diese werden von den Sendern ausgewählt, wobei nur Spiele infrage kommen, die am Freitag, am Samstag mit Anpfiff bis 14:30 oder am Sonntag bis 12:30 stattfinden.46 Wie in der Bundesliga wird die genaue Zuteilung zu den Ter- minen erst im Lauf der Saison vollendet.
Auch in der 2. Liga wird der gespiegelte Spielplan verwendet. Wie man aus dem HAP auf Tabelle 5 erkennen kann, gibt es in den 30 Runden 58 Breaks, wobei zwei Vereine 7 Breaks, 8 Vereine 4 Breaks, vier Vereine drei Breaks und zwei Vereine kein Break haben. Das ist nicht optimal, da bei 16 Vereinen minimal 42 Breaks möglich sind. Es gibt keine Spielfolgen von drei (oder mehr) Heim- oder Auswärtsspielen und auch keine Breaks in den ersten und letzten beiden Runden.
Die Runden 1-15 finden parallel zu den Runden 1-15 der Bundesliga statt, die Runden 16-19 der 2. Liga finden an den selben Wochenenden statt, wie die Runden 19-22 der Bundesliga. So kommt es fünf Mal zur gemeinsamen Nutzung von Stadien; für RBS und FCL in Runde 3, für FAK und AUS in Runde 18(21) und für FCW und WII in den Runden 2, 8 und 19(22); ASK und JUN haben keine Überschneidungen zuhause. In diesen Fällen werden die Spiele der 2.
Liga an einem Tag vor oder nach dem Bundesligaspiel angesetzt. Obwohl dies eigentlich kein Problem darstellt, wird es gerne vermieden, da es die Qualität des Rasens für das zweite Spiel beeinträchtigen kann. Bloß durch den Tausch der Rollen von WII und WSG könnte eine Über- schneidung eliminiert werden. FCW und WII haben in der 9.Runde jeweils ein Auswärtsspiel, was wohl damit zusammenhängt, dass an dem Wochenende in Innsbruck die Straßenrad-Welt- meisterschaft stattfindet.
46 2. Liga (2018b), online.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 WRN H A A H A H A A H A H A H A H A H H A H A H H A H A H A H A SVR A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H FCL A H H A H A H A A H A H A H A H A A H A H A H H A H A H A H ALU A H A H A H A H H A H A H H A H A H A H A H A A H A H A A H WSG H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A H A KSV H A H H A H A H A H A H A A H A H A A H A H A H A H A H H A FAC A H A H H A H A H A H A H H A H A H A A H A H A H A H A A H BWL A H A H A H H A H A H A H A H H A H A H A A H A H A H A H A SVH H A H A H A H A H H A H A H A A H A H A H A H A A H A H A H SKU H A H A H A A H A H A H A H A A H A H A H H A H A H A H A H AUS A H A A H A H A H H A H A A H H A H H A H A H A A H A H H A SVL A H A H A H H A H A H H A H A H A H A H A A H A H A A H A H SKV H A H A A H A H A H A H A H A A H A H H A H A H A H A H A H JUN H A H A H A A H A H A A H A H A H A H A H H A H A H H A H A SKA H A A H A H A H A A H A H A H A H H A H A H A H H A H A H A WII A H H A H A H H A A H A H A H H A A H A H A A H H A H A H A Tab. 5: HAP der 2. Liga
Abschließend ist auch zu erwähnen, dass es in dem Spielplan der 2. Liga nur 3 Paare mit kom- plementären HAP gibt, und die restlichen Paare von Teams nur abschnittsweise komplementäre HAP haben. Dass es ⁄2 Teilmengen von Paaren mit komplementären HAP gibt, ist nur in einem Spielplan mit − 2 Breaks garantiert, was in Kapitel 2.1.4. bereits erwähnt wurde.
