1.78) Abbildung 13: Ein Spektrum besteht aus seinem fundamentalen Metamer, der die glei- chen XYZ-Koordinaten aufweist, wie das Original und einem Schwarz-Metamer

1.4.2 Wyszecki-Hypothese

Für eine weitere Betrachtung der Metamere ist eine Formalisierung sinnvoll, die auf Wyszecki zurückgeht [17]. Dabei betrachtet man jedes Spektrum als eine Summe von zwei Spektren: dem bereits erwähnten fundamentalen Metamer und einem Differenzspektrum (auch Schwarz-Metamer genannt), dessen Farbein- druck immer schwarz ist (metameric black):

(Gl. 1.75)

Der fundamentale Metamer berechnet sich mit Hilfe der Cohen-Matrix (s. Gl. 1.66). Projiziert man ein Spektrum auf die CIE-Normbasis, so ergibt sich:

(Gl. 1.76)

(Gl. 1.77)

Und damit:

(Gl. 1.78)

Abbildung 13: Ein Spektrum besteht aus seinem fundamentalen Metamer, der die glei- chen XYZ-Koordinaten aufweist, wie das Original und einem Schwarz-Metamer.

Im mathematischen Sinn besteht die lineare Abbildung vom n-dimensiona- len Spektralraum in den 3-dimensionalen Normfarbraum aus einem regulären und einem singulären Anteil. Der Bildraum (i.e. der Normfarbraum) wird durch die 3 linear unabhängigen, n-dimensionalen Primärspektren aufgespannt und besitzt Rang = 3. Der Kern der Abbildung hat die Dimension (auch Defekt

L = L+ΔL

L

B^T⋅L = B^T⋅L+B^T⋅ΔL L_XYZ = L_XYZ+ΔL_XYZ

ΔL_XYZ = (0 0 0, , )^T

L = L + ΔL

B^T

n–3

genannt) und dessen Basisspektren spannen den Nullraum der Abbildung auf.

Der fundamentale Metamer entspricht dem regulären Anteil des Spektrums, der sich durch Linearkombination der drei Primärspektren ausdrücken lässt; der Schwarz-Metamer stellt den singulären Anteil eines Metamers dar, der vollstän- dig im Nullraum liegt und nicht zum Farbeindruck beiträgt.

Beispiel 5: Bildraum und Nullraum einer Abbildung von

Eine geometrische Vorstellung von n-dimensionalen Räumen ist quasi nicht möglich und erfordert ein hohes Maß an Abstraktion. Eine Möglichkeit besteht in der abstrakten Vorstellung eines Raums, der durch n aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren aufgespannt wird, wobei jeder Einheitsvektor aus n Tupeln besteht. Dieser Sachverhalt soll am Beispiel einer Abbildung von 3D nach 2D verdeutlicht werden, wobei der 3D-Raum den n-dimensionalen Spek- tralraum und der 2D-Raum unseren Normfarbraum abstrahiert. Wählt man aus dem vereinfachten Spektralraum zwei linear unabhängige Vektoren aus, so span- nen diese eine Ebene auf, wobei der Ursprung Teil der Ebene ist (der Ursprung des Spektralraums entspricht dem Ursprung des Farbraums). Als Beispiel erwei- tern wir Abb. 2 um die z-Achse.

Abbildung 14: Verdeutlichung des regulären und singulären Anteils einer Abbildung.

In diesem vereinfachten Spektralraum sind die beiden Primärspektren und als 3-dimensionale Spektren gegeben und spannen die dargestellte Ebene als Farbraum auf. Die Abbildung hat damit Rang = 2 und Defekt = 1, wobei der 1- dimensionale Nullraum durch die z-Achse aufgespannt wird. Betrachten wir den Punkt als ein mögliches Spektrum, so erhalten wir seine XY-Koordinaten durch Projektion auf die Basis (berechnet durch die Pseudo-Inverse der Pri- märspektren) mit . Die Rekonstruktion durch die Linearkom- bination mit den Primärspektren liefert schließlich einen neuen Punkt als ein neues Spektrum, das vom Original verschieden ist. Erneute

ℜ³→ℜ²

s 1

1

e₁ e₂

L

x_p y_p

O L

1 e₃ = z

B_p

1 s 0 1

⎝ 0 0 ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

B^T 1 – 0s 0 1 0

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

L = (1 1 1, , )

x_p y_p

L

B^T L_XY = (1–s,1)_XY L = (1 1 0, , )

Projektion von auf die Basis liefert allerdings die gleichen XY-Koordinaten.

Entsprechend lässt sich das Spektrum auch ausdrücken durch

, (Gl. 1.79)

wobei sich der fundamentale Metamer aus einer Linearkombination der Basis des Bildraums und der Schwarz-Metamer aus einer Linearkombination der Basis des Nullraums ergibt. Geometrisch entspricht der fundamentale Metamer der senkrechten Projektion des Spektrums in den Farbraum und hat von all seinen Metameren damit den kürzesten Abstand zum Farbraum. Dabei berechnet sich der fundamentale Metamer mit Hilfe der Cohen-Matrix durch:

(Gl. 1.80)

Hatten wir Metamere bislang als Spektren mit identischem Farbeindruck beschrieben, so können wir diese Definition mathematisch ergänzen: addiert man zu einem Spektrum ein beliebiges Spektrum aus dem Nullraum, so erhält man einen Metamer. Dadurch lassen sich Metamere mathematisch sehr leicht erzeugen. Man wählt ein beliebiges Spektrum (z.B. durch Zufallszahlen oder einen fraktalen Algorithmus) und berechnet mit Hilfe der Cohen-Matrix seinen fundamentalen Metamer. Die Differenz zum Originalspektrum liefert einen gül- tigen Schwarz-Metamer. Durch Addition dieses Schwarz-Metamers erzeugt man für beliebige Spektren sehr einfach gültige Metamere.

1.4.3 Luther-Ives Bedingung

Bislang wurde gesagt, dass wir innerhalb des Normfarbraums beliebige rgb- Koordinatensysteme aufspannen können, insofern sich die rgb-Koordinaten durch eine nicht-singuläre, lineare 3×3 Matrix auf die XYZ-Koordinaten abbil- den lassen.

und ^{(Gl. 1.81)}

Das setzt allerdings voraus, dass auch die rgb-Basisvektoren durch diese Matrix auf die CIE-Normbasis abgebildet werden können. Dies birgt Einschränkungen an die rgb-Basis, da nicht jede beliebige rgb-Basis (man denke z.B. an sehr

L

L

L L+ΔL

1 1

⎝ 0 ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞ 0

0

⎝ 1 ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

+

= =

L

L B_p⋅B^T⋅L 1 0 0 0 1 0 0 0 0

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅L

= =

L_XYZ = M L⋅ _rgb L_rgb = M^–1⋅L_XYZ

fraktale Spektren) durch eine 3×3 Matrix in die CIE-Normbasis (die sehr glatt verläuft) überführt werden kann. Konkret muss die rgb-Basis aus fundamentalen Metameren bestehen. Zur Begründung betrachten wir folgende Identität:

(Gl. 1.82)

Diese Gleichung ist sogar zweifach erfüllt, da auf der einen Seite

ist; auf der anderen Seite entspricht der Cohen-Matrix, die nach Gl. 1.71 auf seinen fundamentalen Metamer abbildet. Zur Notation sei angemerkt: da die CIE-Normbasis quasi aus den fundamentalsten Metameren gebildet wird und hierfür die Betrachtung von Metameren nicht sinnvoll ist, stellt die Notation eine Abkürzung für dar.

Erweitert man die Gleichung durch Multiplikation von , so ergibt sich:

(Gl. 1.83)

Vergleich mit Gl. 1.71 zeigt, dass das Ergebnis auf der linken Seite auf jeden Fall eine Basis von fundamentalen Metameren ergibt. Die Gleichung kann also nur erfüllt werden durch

, („Luther-Ives Bedingung“) (Gl. 1.84)

wobei die fundamentalen Metamere einer beliebigen rgb-Basis sind. Das bedeutet, dass eine lineare Abbildung von XYZ-Koordinaten in rgb- Koordinaten nur möglich ist, wenn die Konstruktionsbasis des rgb-Koordinaten- systems sich durch eine lineare Abbildung auf die CIE-Normbasis abbilden lässt.

Diese Bedingung ist gleichbedeutend mit der Forderung, dass die Basisvektoren der rgb-Basis fundamentale Metamere sind.

Im Umgang mit Eingabegeräten (z.B. Kameras oder Scannern) ist diese Bedin- gung auch als Luther-Ives Bedingung bekannt [12]. Eine Kamera ist nur dann farbmetrisch konsistent, wenn die Sensorantwortkurven der Geräte sich durch eine 3×3 Matrix auf die CIE-Normbasis abbilden lassen (also fundamentale Metamere sind). Ansonsten sind die resultierenden rgb-Koordinaten nicht mehr durch eine lineare Abbildung in XYZ-Koordinaten abbildbar und es entsteht ein systematischer Farbfehler (Bias), der durch eine Erweiterung der Wyszecki- Hypothese berechnet werden kann. So lassen sich Basisspektren, die nicht die Luther-Ives Bedingung erfüllen ebenfalls in eine Summe von zwei Spektren auf- teilen:

B^T = B^T⋅B_p⋅B^T

B^T⋅B_p = E B_p⋅B^T

B^T

B B = B

M^–1 M^–1⋅B^T = M^–1⋅B^T⋅B_p⋅B^T

R^T = M^–1⋅B^T R = (r g b, , )

(Gl. 1.85)

Dabei besteht aus 3 beliebigen, linear unabhängigen Spektren;

sind die dazugehörigen, fundamentalen Metamere und die Schwarz-Metamere. Denkt man dabei an die Sensorantwortkurven einer Kamera, so hätte diese Kamera einen systematischen Farbfehler, wenn vom Nullspektrum verschieden ist. Projizieren wir ein beliebiges Spektrum

auf diese Basis (i.e. wir machen ein Foto), dann ergibt sich:

(Gl. 1.86)

Hierbei gilt , da der Bild- und der Nullraum orthogonal zueinander stehen; projiziert man einen Vektor aus dem Nullraum auf eine Basis des Bildraums oder projiziert man einen Vektor aus dem Bildraum auf eine Basis des Nullraums , so ist das Resultat immer ein Nullvek- tor. Anders ist dies, wenn man einen Vektor des einen Raums auf eine Basis des gleichen Raums ( , bzw. ) projiziert.

Damit erhält man:

(Gl. 1.87)

Dabei bestehen die resultierende rgb-Koordinaten aus den rgb-Koordinaten, die linear auf die XYZ-Koordinaten abgebildet werden können und einem Fehleran-

teil mit , der vom Eingangsspektrum abhängt

und ohne dessen Kenntnis leider nicht ausgeglichen werden kann.

Beispiel 6: Abbildungsfehler einer Kamera

Zur Verdeutlichung dieser Problematik wird Bsp. 5 erweitert und um die y- Achse mit Winkel in einer Linksschraube in den Raum gedreht (s. Abb. 15).

Der CIE-Normfarbraum wird wieder durch die -Ebene abstrahiert, wobei der Farbraum einer Kamera durch die Primärspektren gegeben ist. Es ist offensichtlich, dass diese Basis auch Anteile im Nullraum der Normba- sis hat und damit nicht durch eine 2×2 Matrix (dies entspricht dem Rang des Bildraums) auf die Normbasis abgebildet werden kann. Sie verletzt damit die Luther-Yves Bedingung.

R^T = R^T+ΔR^T R = (r g b, , )

R = (r g b, , ) ΔR

ΔR

L = L+ΔL

R^T⋅L = R^T⋅L+ΔR^T⋅L

R^T⋅L+R^T⋅ΔL+ΔR^T⋅L+ΔR^T⋅ΔL

=

R^T⋅L+ΔR^T⋅ΔL

=

R^T⋅ΔL = ΔR^T⋅L = 0 R^T⋅ΔL

( )

ΔR^T⋅L

( )

R^T⋅L ΔR^T⋅ΔL

L_rgb^Bias = L_rgb+ΔL_rgb^Bias

ΔR^T⋅ΔL = ΔL_rgb^Bias≠(0 0 0, , )^T

α

x_py_p

R_p = (r_p,g_p)

Abbildung 15: Verdeutlichung des systematischen Farbfehlers einer Kamera bei Verlet- zung der Luther-Yves Bedingung.

ergibt sich durch die Rotation von um die y-Achse:

mit ^{(Gl. 1.88)}

Berechnung der fundamentalen Metamere von ergibt:

(Gl. 1.89)

Der Metamer der rgb-Basis lässt sich damit darstellen durch:

(Gl. 1.90)

Entsprechendes gilt auch für das gegebene Spektrum :

B^T 1 – 0s 0 1 0

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

R^T cosα –s sinα

0 1 0

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= B_p

1 s 0 1

⎝ 0 0⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= L = (1 1 1, , ) α

1 1

e₂

L

r_p g_p

O

1 e₃ = z

e₁ g_p

r_p

L^Bias

s α

L

L_rg α

ΔL^Bias

R^T B^T

R

α

cos 0 –sinα

0 1 0

α

sin 0 cosα

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅B

= R^T cosα –s sinα

0 1 0

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

R^T

R^T R^T⋅B_p⋅B^T cosα – 0s

0 1 0

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= =

R^T R^T+ΔR^T cosα – 0s

0 1 0

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞ 0 0 sinα

0 0 0

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

+

= =

L

(Gl. 1.91)

Hierbei wird deutlich, warum gilt. Projektion des Spektrums auf diese Basis liefert:

(Gl. 1.92)

mit dem gesuchten Bildraumanteil:

(Gl. 1.93)

und dem systematischen Farbfehler für dieses Eingangsspektrum

(Gl. 1.94)

Um aus diesen Koordinaten den Farbort im Normfarbraum zu bestimmen, benö- tigen wir die Pseudo-Inverse des fundamentalen Metamers:

(Gl. 1.95)

Einsetzen ergibt (s.Abb. 15):

(Gl. 1.96)

Wobei:

L L+ΔL

1 1

⎝ 0 ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

0 0

⎝ 1⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

+

= =

R^T⋅ΔL = ΔR^T⋅L = 0 L

L_rg^Bias L_rg+ΔL_rg^Bias R^T⋅L cosα–s+ sinα

⎝ 1 ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= = =

L_rg R^T⋅L cosα–s

⎝ 1 ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= =

ΔL_rg^Bias ΔR^T⋅ΔL sinα

⎝ 0 ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= =

R_p R⋅(R^T⋅R)^–1 1 α ---cos

1 s

0 cosα

0 0

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅

= =

L^Bias L+ΔL^Bias

1 1

⎝ 0 ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞ tanα

0

⎝ 0 ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

+

= =

(Gl. 1.97)

Hieraus wird noch einmal deutlich, dass der Fehlerterm nur durch Kenntnis des Eingangsspektrums berechnet bzw. korrigiert werden kann.

1.5 Farbraumtransformation

In Kap. 1.3 hatten wir bereits festgehalten, dass ein identischer Farbeindruck durch andere Koordinatensysteme im Normfarbraum ausgedrückt werden kann, wobei die Koordinaten sich durch eine nicht-singuläre, lineare 3×3 Matrix auf die XYZ-Koordinaten abbilden lassen.

und (Gl. 1.98)

Aus dem letzten Kapitel geht hervor, dass dies nur möglich ist, wenn die Kon- struktionsbasis (z.B. die Sensorantwortkurven der Kamera) ein fundamentaler Metamer ist. Dies ist gleichbedeutend mit der Bedingung, dass die Kon- struktionsbasis durch eine nicht-singuläre, lineare 3×3 Matrix auf die CIE- Normbasis abgebildet werden kann.

(Gl. 1.99)

Die Matrizen lassen sich dabei berechnen durch:

(Gl. 1.100)

(Gl. 1.101)

Zur Herleitung betrachtet man noch einmal Gl. 1.71:

(Gl. 1.102)

L R_p⋅L_rg 1 α ---cos

1 s

0 cosα

0 0

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

α cos –s

⎝ 1 ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅ ⋅ 1

1

⎝ 0⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= = =

ΔL^Bias R_p⋅ΔL_rg^Bias 1 α ---cos

1 s

0 cosα

0 0

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

α sin

⎝ 0 ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅ ⋅ tanα

0

⎝ 0 ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= = =

M

L_XYZ = M L⋅ _rgb L_rgb = M^–1⋅L_XYZ

R^T

M

R^T = M^–1⋅B^T

M^–1 = R^T⋅B_p = R^T⋅B_p M = B^T⋅R_p = B^T⋅R_p

R^T = R^T⋅B_p⋅B^T = R^T⋅B_p⋅B^T

Durch Ersetzen von (Gl. 1.100) erhält man schließlich Gl. 1.99. Analoges gilt für .

1.5.1 Bildschirme

Die Restriktionen für Bildschirme sind nicht so stark, wie für Kameras, da es hier keine Luther-Ives Bedingung gibt. Für eine farbkonsistente Darstellung genügt es, wenn der Bildschirm drei beliebige Primärspektren (also nicht unbedingt fundamentale Metamere) verwendet, insofern diese linear unabhängig sind. Für einen gegebenen rgb-Wert wird durch den Bildschirm das Spek- trum reproduziert, dessen Farbeindruck für den farbnormalsichtigen Betrachter in XYZ-Koordinaten ausgedrückt folgendes ergibt:

(Gl. 1.103)

Für die Kalibrierung eines Bildschirms muss daher nur die 3×3 Matrix bestimmt werden:

(Gl. 1.104)

Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten. Eine Möglichkeit besteht in einer spektralen Messung, wobei ein rotes, grünes und blaues Bild mit maximaler Leuchtdichte dargestellt und die zugehörigen , und Spektren des Bildschirms gemes- sen und mit der CIE-Normbasis gewichtet werden. Wie man sieht, ergibt dies gerade die XYZ-Koordinaten der rgb-Primärspektren des Bildschirms.

(Gl. 1.105)

Eine andere Möglichkeit bietet ein Farbmessgerät mit dem XYZ-Koordinaten gemessen werden können. Auch hier wird ein rotes, grünes und blaues Bild mit maximaler Leuchtdichte dargestellt, die zugehörigen XYZ-Koordinaten gemes- sen und direkt in die Matrix eingesetzt. Im Bereich der Farbmetrik werden diese Koordinaten auch Primärvalenzen genannt und die Linearkombination der Pri- märvalenzen (gewichtet mit den rgb-Koordinaten) als additive Farbmischung bezeichnet.

Beispiel 7: Ein Bildschirm mit monochromatischen Primärspektren bei 435nm, 545 nm und 625nm

M^–1 M

R_p

L_rgb R_p⋅L_rgb

L_XYZ = B^T⋅R_p⋅L_rgb = B^T⋅R_p⋅L_rgb

M

M = B^T⋅R_p

r_p g_p b_p

M

x ro _p x go _p x bo _p y ro _p y go _p y bo _p zor_p zog_p zob_p

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

X_r X_g X_b Y_r Y_g Y_b Z_r Z_g Z_b

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= =

In Abb. 16 (a) sind die monochromatischen Primärspektren eines fiktiven Bild- schirms mit und die dazugehörigen fundamentalen Metamere dargestellt. Zur Berechnung wird davon ausgegangen, dass dieser Wert sich konstant über ein 5nm-Intervall erstreckt. Für die Farbmatrix ergibt sich gemäß Gl. 1.105:

(Gl. 1.106)

Der Bildschirm hat damit eine maximale Leuchtdichte von:

(Gl. 1.107)

.

Abbildung 16: (a) ein Bildschirm mit drei monochromatischen Primärspektren und den dazugehörigen fundamentalen Metameren. (b) ein konstantes Einheitsspektrum mit fun- damentalem Metamer.

Als Beispiel dient ein konstantes Einheitsspektrum mit

(s. Abb. 16 (b), ebenfalls mit fundamentalem Metamer) und den XYZ-Koordina- ten:

(Gl. 1.108)

1×10⁸ W sr⋅ ^–1⋅m^–3

M

M

0,3757 0,1799 0,1643 0,1605 0,4902 0,0084 0,0001 0,0067 0,8115

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

L_max = K_m⋅(Y_r+Y_g+Y_b) = 450 cd m⁄ ²

1

360 0

λ[nm] 830

(b)

360 0

1 R_p

R_p

L

L

(a)

L( )λ ×10⁸ W m³⋅sr ---

λ[nm] 830

L( )λ ×10⁶ W m³⋅sr ---

1×10⁶ W sr⋅ ^–1⋅m^–3

L_XYZ B^T⋅L 0,1069 0,1069 0,1069

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= =

Die Umrechnung in die rgb-Koordinaten des Koordinatensystems dieses Bild- schirms ergibt:

(Gl. 1.109)

Da die rgb-Werte positiv und kleiner Eins sind, kann die Farbe und die Leucht- dichte konsistent durch den Bildschirm reproduziert werden. Das resultierende Spektrum ist in Abb. 17 (a) dargestellt. Der fundamentale Metamer dieses Spek- trums (Abb. 17 (b)) ist mit dem fundamentalen Metamer des Eingangsspektrums aus Abb. 16 (b) identisch.

Abbildung 17: (a) das reproduzierte Spektrum des Bildschirms und der zugehörige fun- damentale Metamer (b).

Diskussion der nicht idealen Bedingungen: Gamut, Tone-Mapping, Gamma, color constancy, chanel independance, Schwarzwert.

1.5.2 Farbkonsistente Kameras

Bei einer farbkonsistenten Kamera erfüllen die Sensorantwortkurven die Luther- Ives Bedingung. Eine solche Kamera könnte auch direkt als Farbmessinstrument verwendet werden. Die drei Basisspektren sind linear unabhängige, fundamen- tale Metamere . Ein gegebenes Spektrum wird durch die Kamera auf rgb- Werte abgebildet mit

. (Gl. 1.110)

Für die Kalibrierung dieser Kamera genügt die Bestimmung der 3×3 Matrix :

L_rgb M^–1⋅L_XYZ 0,147 0,168 0,130

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= =

0,2

0,1

R_p⋅L_rgb

1

360 0

λ[nm] 830

(b)

360 0

L

(a)

L( )λ ×10⁸ W m³⋅sr ---

λ[nm] 830

L( )λ ×10⁶ W m³⋅sr ---

R^T L

L_rgb = R^T⋅L

M^–1

(Gl. 1.111)

Auch hierfür gibt es zwei Möglichkeiten. Einerseits könnten die Sensorantwort- kurven der Kamera spektral vermessen werden. Hierzu muss ein Gleichungssy- stem mit n×3 Unbekannten aufgestellt und gelöst werden (n ist wieder die Anzahl der Abtastwerte der Spektren). Eine Möglichkeit besteht darin, n bekannte Spektren mit der Kamera zu fotografieren und folgendes Gleichungs- system nach aufzulösen (z.B. Pseudo-Inverse oder Singulärwertzerlegung):

(Gl. 1.112)

Die gesuchte Matrix ergibt sich durch Gewichtung der Sensorantwortkur- ven , und mit den Primärspektren der CIE-Normbasis:

(Gl. 1.113)

Andererseits genügt es völlig, die unbekannten 9 Werte der Matrix zu bestim- men, indem drei bekannte XYZ-Werte fotografiert werden und die korres- pondierenden rgb-Werte ermittelt werden. Die gesuchte Matrix erhält man durch Invertierung der folgenden Gleichung:

(Gl. 1.114)

1.5.3 Farbinkonsistente Kamera

Bei einer farbinkonsistenten Kamera erfüllen die Sensorantwortkurven nicht die Luther-Ives Bedingung. Die drei Basisspektren sind also linear unabhängige (nicht fundamentale) Metamere . Ein gegebenes Spektrum wird durch die Kamera auf rgb-Werte abgebildet mit

(Gl. 1.115)

M^–1 = R^T⋅B_p

R^T

L_r,1 L_r,2 … L_{r n,} L_g,1 L_g,2 … L_{g n,} L_b,1 L_b,2 … L_{b n,}

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

R^T⋅⎝⎛ L₁ L₂ … L_n ⎠⎞

=

M^–1

r g b

M^–1

rox_p roy_p roz_p gox_p goy_p goz_p box_p boy_p boz_p

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞ r_x

p r_y

p r_z

p

g_x

p g_y

p g_z

p

b_x

p b_y

p b_z

⎝ p ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= =

L_r,1 L_r,2 L_r,3 L_g,1 L_g,2 L_g,3 L_b,1 L_b,2 L_b,3

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

M^–1

L_X,1 L_X,2 L_X,3 L_Y,1 L_Y,2 L_Y,3 L_Z,1 L_Z,2 L_Z,3

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅

=

R^T L

R^T⋅L = R^T⋅L+ΔR^T⋅ΔL

(Gl. 1.116)

Für die Bestimmung der Farbmatrix der Kamera können die gleichen Methoden verwendet werden, wie bei der farbkonsistenten Kamera. Es genügt auch hier die Bestimmung der 3×3 Matrix, da die Bestimmung des Fehlerterms ohne die Kenntnis des Eingangsspektrums ohnehin nicht möglich ist:

(Gl. 1.117)

Die Umrechnung in die XYZ-Koordinaten erfolgt dann durch:

(Gl. 1.118)

Beispiel 8: Eine farbinkonsistente Kamera mit monochromatischen Absorptions- spektren bei 435nm, 545 nm und 625nm

In Abb. 18 sind die Sensorantwortkurven einer fiktiven Kamera dargestellt, die schmalbandig nur drei Wellenlängenintervalle erfasst. Zur Berechnung wird davon ausgegangen, dass die Werte sich konstant über ein 5nm-Intervall erstrek- ken. Die Farbmatrix ergibt sich gemäß Gl. 1.117:

(Gl. 1.119)

L_rgb^Bias = L_rgb+ΔL_rgb^Bias M^–1

M^–1 = R^T⋅B_p

L_XYZ^Bias = M L⋅ _rgb^Bias

M L⋅ _rgb+M⋅ΔL_rgb^Bias

=

L_XYZ+ΔL_XYZ^Bias

=

M^–1

M^–1

0,1881 –0,0933 –0,0287 0,1252

– 0,2172 0,0106

0,0328 –0,0342 0,1117

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

.

Abbildung 18: (a) eine Kamera mit drei monochromatischen Absorptionsspektren und den dazugehörigen fundamentalen Metameren (b).

Als Beispiel dient wieder das konstante Einheitsspektrum aus Abb. 16. Dieses wird mit der Kamera auf die rgb-Koordinaten abgebildet:

(Gl. 1.120)

In XYZ-Koordinaten bedeutet dies:

(Gl. 1.121)

Der Vergleich mit Gl. 1.108 zeigt, dass der reguläre Anteil der XYZ-Koordina- ten korrekt ist. Der Lab-Fehler (CIE 1976) dieser Kamera bei diesem Eingangs- spektrum liegt allerdings bei 10 und damit außerhalb des Toleranzbereiches (Details zum Lab-Fehler s. Kap. 1.7.5).

Diskussion der nicht idealen Bedingungen: Gamut, Tone-Mapping, Gamma, color constancy, chanel independance, Schwarzwert.

R 0,2 R

360 0

λ[nm] 830

(b)

360 0 2

(a)

λ[nm] 830

L_rgb^Bias = L_rgb+ΔL_rgb^Bias 0,01

0,01

⎝ 0,01⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

0,0071 0,0110 0,0118

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

0,0029 0,0010 –

0,0018

⎝ – ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

+

=

L_XYZ^Bias = L_XYZ+ΔL_XYZ^Bias

M L⋅ _rgb^Bias = M L⋅ _rgb+M⋅ΔL_rgb^Bias 0,1221

0,1118 0,0879

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

0,1069 0,1069 0,1069

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

0,0152 0,0050 0,0190

⎝ – ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

+

=

1.5.4 Photometrisch und farbmetrisch konsistente Abbildung: Kamera und Display

Zu zeigen ist schließlich noch, dass die vorgestellten Farbmatrizen tatsächlich invers sind. Im allgemeinen Fall ist der Farbraum einer Kamera vom Farbraum eines Displays verschieden. Ein Beispiel einer typischen Prozesskette ist in Abb. 19 abgebildet. Ein Flächenelement eines Objekts reflektiert ein Spektrum in Richtung des Betrachters, wobei dessen fundamentaler Metamer für die Wahrnehmung der Farbe und der Helligkeit entscheidend ist. Nimmt eine farb- konsistente Kamera mit Sensorantwortkurven ein Bild von diesem Spektrum auf, so resultiert dies in dem entsprechenden rgb-Farbwert der Kamera.

Die Farbmatrix überführt den rgb-Wert in den Normfarbraum . Dieser Wert wird mit der Farbmatrix des Displays in dessen Farbraum mit den Koordinaten überführt. Durch das Display wird schließlich ein neues Spektrum erzeugt, das nichts anderes ist, als ein Metamer des ursprünglichen

.

Abbildung 19: Photometrisch und farbmetrisch konsistente Prozesskette zwischen Kamera und Display.

Gezeigt werden soll, dass die ausmultiplizierte Gesamtgleichung tatsächlich die ursprünglichen XYZ-Koordinaten liefert:

(Gl. 1.122)

Daraus folgt:

L L

R_K^T

L_{K rgb,}

M_K^–1 L_XYZ

M_D L_{D rgb,}

L_D L

L_{K rgb,} = R_K^T⋅L L

L_D = R_{D p,} ⋅L_{D rgb,}

L = B^T⋅L = B^T⋅L_D M_K^–1 = R_K^T⋅B_p

L_XYZ = M_K⋅L_{K rgb,} M_D = B^T⋅R_{D p,} L_{D rgb,} = M_D^–1⋅L_XYZ

L

830 360

1

0

L_XYZ = B^T⋅R_{D p,} ⋅M_D^–1⋅M_K⋅R_K^T⋅L

B^T⋅R_{D p,} ⋅(B^T⋅R_{D p,} )^–1⋅(R_K^T ⋅B_p)^–1⋅R_K^T ⋅L

=

R_K^T ⋅B_p

( )^–1⋅R_K^T ⋅L

=

(Gl. 1.123)

Diese Gleichung ist als Grunddefinition der fundamentalen Metamere (s.

Gl. 1.62) erfüllt, insofern die Kamera die Luther-Ives Bedingung erfüllt.

1.6 Experimente zur Bestimmung von Spektralwertfunktionen

Die meisten heute verfügbaren Farbmessgeräte basieren auf dem CIE Standard von 1931, dem entsprechende Experimente zugrundelagen (color matching experiment). Die Details dieser Experimente sind in vielen Literaturquellen nachzulesen; der Schwerpunkt der Beschreibung liegt hier wieder in der Darstel- lung des mathematischen Zusammenhangs.

1.6.1 Die ursprünglichen Experimente

Für diese Experimente wurden drei Primärspektren ausgewählt, die mono- chromatisches Licht mit den Wellenlängen 700,0 nm, 546,1 nm und 435,8 nm aussenden mit Lichtströmen im Verhältnis 1 : 4,5907 : 0,0601 (rgb). Präsentiert wurden den Probanden Referenzfarben, wobei der Reihe nach monochromati- sches Licht gleichen Lichtstroms im Wellenlängenbereich von 380 nm bis 780 nm in 5nm-Schritten angezeigt wurde. Es handelt sich also um ein konstan- tes Einheitsspektrum (Pantone E). Einzustellen waren die rgb-Werte (i.e. Koordi- naten) der Primärspektren, um einen identischen Farbeindruck mit der Referenzfarbe zu erzielen.

Jedes Spektrum der Referenzspektren hat damit die Koordinaten mit einer Eins an der Stelle i mit und korrespondiert mit dem rgb-Wert . Betrachtet man die unbekannten spektralen Wertfunk- tionen des menschlichen Auges analog zu den Sensorantwortkurven einer Kamera als eine Transformation , wobei durch die Betrachtung der Spektren der identische Farbeindruck herstellt wird, so kann man den Versuch mathema- tisch so ausdrücken:

(Gl. 1.124)

Für alle n Versuche entsteht auf der linken Seite eine n×n Einheitsmatrix und auf der rechten Seite eine 3×n Matrix der korrespondierenden rgb-Werte.

R_K^T⋅B_p⋅L_XYZ = R_K^T⋅L R_K^T ⋅L = R_K^T⋅L

R_p

L_i n = 81 0 0, ,…, ,1 …,0

( ) 1≤ ≤i n

L_{rgb i,}

A^T

A^T⋅L_i = A^T⋅R_p⋅L_{rgb i,}

(Gl. 1.125)

In Kap. 1.3 haben wir festgestellt, dass der Farbraum der menschlich wahrnehm- baren Farben durch verschiedene Koordinatensysteme ausgedrückt werden kann.

In Kap. 1.4 folgten die Betrachtungen, dass alle Basisspektren, die in diesen Farbraum abbilden, fundamentale Metamere sein müssen, die sich durch eine 3×3 Matrix ineinander überführen lassen. Insofern können wir die tatsächliche Wertfunktion des menschlichen Auges mit einem solchen Experiment nicht bestimmen, sondern nur einen fundamentalen Metamer zu den gewählten Pri- märspektren. Im englischen Sprachgebrauch spricht man entsprechend vermehrt von cone fundamentals statt von color matching functions, wobei fundamentals wie schon erwähnt die Kurzform für fundamentale Metamere ist. In Gl. 1.125 ersetzen wir die Unbekannte durch die tatsächlich bestimmbare Größe

:

(Gl. 1.126)

Die Matrix kürzt sich auf beiden Seiten und man erkennt: durch die eingege- benen rgb-Werte werden die fundamentalen Metamere der zugehörigen Kon- struktionsbasis bestimmt.

(Gl. 1.127)

Denn aus (s. Gl. 1.72) folgt auch:

(Gl. 1.128)

Zur Begründung genügt das Einsetzen der Wyszecki-Hypothese, z.B.:

, (Gl. 1.129)

A^T

1 0 … 0

0 1 … 0

… … … …

0 0 … 1

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅ A^T R_p

r₁ r₂ … r_n g₁ g₂ … g_n b₁ b₂ … b_n

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅ ⋅

=

A^T M R⋅ ^T

M R⋅ ^T M R^T R_p

r₁ r₂ … r_n g₁ g₂ … g_n b₁ b₂ … b_n

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅ ⋅ ⋅

=

M

R^T

r₁ r₂ … r_n g₁ g₂ … g_n b₁ b₂ … b_n

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

B_p⋅B^T = R_p⋅R^T

R_p⋅R^T = R_p⋅R^T = R_p⋅R^T

R_p⋅R^T = R_p⋅(R^T+ΔR^T)

wobei wieder ist.

Die grundsätzliche Gleichung, die einem Experiment zur Ermittlung von Spek- tralwertfunktionen zugrunde liegt, lautet damit:

(Gl. 1.130)

wobei für gegebene Primärspektren die zugehörigen fundamentalen Metamere eingestellt werden.

1.6.2 CIE-rgb und CIE-XYZ Kurven

Die Ergebnisse dieser Experimente führten zu den CIE-rgb Kurven aus Abb. 20.

Ausgehend von diesen rgb-Kurven wurden die XYZ-Normspektralwertkurven definiert mit den folgenden Eigenschaften:

• Alle drei Spektren sind positiv. Damit sind die XYZ-Koordinaten für reale Spektren auch immer positiv.

• Das -Spektrum entspricht der -Kurve. Damit können die photometri- schen Werte direkt aus den Y-Komponenten durch Multiplikation mit dem photometrischen Strahlungsäquivalent berechnet werden.

• Die Flächen unter den Spektren sind gleich. Dadurch resultiert ein konstan- tes Spektrum in gleichen XYZ-Koordinaten.

• Die Spektren bilden kein orthonormales Basissystem.

Abbildung 20: CIE 1931 rgb Spektralwertfunktionen für 2°-Gesichtsfeldgröße von 380 - 780 nm, abgetastet in 5 nm-Schritten (81 Abtastpunkte).

R_p⋅ΔR^T = 0

R^T = R^T⋅R_p⋅R^T R_p R^T

y V( )λ

0,35

700

546,1

435,8

r

g b

380 0

λ[nm] 780

Die Umrechnung der CIE-rgb in die CIE-XYZ Basis ergibt sich gem. Gl. 1.100 mit⁴:

(Gl. 1.131)

Hier kommt noch was zu lms und CIE 2007

1.7 Das Farb-Mysterium in der Computergraphik: die Reflexion

Während die bisherigen Betrachtungen die Zusammenhänge zwischen Farbräu- men sehr genau untersuchten, um letztendlich die Grundlagen einer photometri- schen und farbmetrischen Konsistenz zwischen Aus- und Eingabegeräten zu gewährleisten, soll in diesem Kapitel die Simulation der Wechselwirkung von Licht und Materialien näher untersucht werden. In allen Beleuchtungsmodellen oder Lichtsimulationsgleichungen in der Computergraphik findet sich in seiner Essenz folgende Gleichung, wobei einfallendes Licht (spektrale Bestrahlungs- stärke) auf ein Material auftrifft und um einen Materialparameter (BRDF) ver- mindert wieder in die Umgebung reflektiert wird (ausfallende Strahldichte). In Form von spektralen Funktionen notiert bedeutet das

, (Gl. 1.132)

wobei das Produkt zwischen Funktionen als Ergebnis wieder eine Funktion lie- fert⁵. In der Computergraphik ist es übliche Praxis, dieses Produkt durch rgb- Vektoren wie folgt darzustellen:

(„CG-Methode“) (Gl. 1.133)

Dieses Produkt wird oft als „Computergraphik-Produkt“ bezeichnet, wobei es in der Literatur auch als Hadamard-Produkt oder Schur-Produkt bekannt ist;

gemeint ist eine komponentenweise Multiplikation:

4. Da die CIE-rgb Werte nur im Bereich von 380-780 nm vorliegen, wurden zur Berechnung der Matrix auch nur die CIE-XYZ Werte in diesem Bereich verwendet.

5. Im Rahmen dieses Kapitels werden die geometrischen Eigenschaften wie winkelabhängiges Beleuchtungsverhalten des Materials oder die Berechnung der einfallenden Bestrahlungs- stärke außer Acht gelassen.

B^T

2,76891 1,75172 1,13016 1,00001 4,59063 0,06009 0,00003 0,05653 5,59433

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

R^T

⋅

=

L( )λ = f( )λ ⋅E( )λ

L_rgb = f_rgb•E_rgb

(Gl. 1.134)

In der üblichen Vektor-/Matrixnotation ist die Darstellung mit Hilfe einer Skalie- rungsmatrix mit den Komponenten von in der Dia- gonalen sinnvoller.

(Gl. 1.135)

Diese Gleichung ist eines der großen Mysterien der Computergraphik und wird im Folgenden CG-Methode genannt. Diese Gleichung ist auf jeden Fall sehr feh- lerbehaftet und im CIE-Normfarbraum vom Ansatz her nur schwer nachzuvoll- ziehen. Eines der Mysterien ist dabei, dass sie sich dennoch in dieser Form als Standard entwickeln konnte und letztendlich oftmals anschauliche Ergebnisse erzielt. All diese Punkte werden nun näher untersucht.

1.7.1 Die spektrale Darstellung der Reflexion

Bei den bisherigen Betrachtungen hat eine Darstellung der Farbwerte durch 3 Komponenten durchaus genügt, da es rein um die farbtreue Ein- und Ausgabe der Werte ging. Das wirkliche Problem entsteht durch die Multiplikation von Spektren, wofür diese vereinfachte Betrachtung nicht mehr ausreicht. Zur nähe- ren Betrachtung formulieren wir Gl. 1.132 mit Hilfe von Vektoren und wenden die Wyszecki-Hypothese an (s. Abb. 21):

(Gl. 1.136)

(Gl. 1.137)

L_r L_g L_b

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞ f_r⋅E_r f_g⋅E_g f_b⋅E_b

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

F_rgb = diag f( _r, ,f_g f_b) f_rgb

L_rgb F_rgb⋅E_rgb

f_r 0 0 0 f_g 0 0 0 f_b

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞ E_r

E_g E_b

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅

= =

L F E⋅

f₁ … 0

… … … 0 … f_n

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞ E₁

… E_n

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅

= =

L+ΔL

( ) = (F+ΔF)⋅(E+ΔE)

F E⋅ +F⋅ΔE+ΔF⋅E+ΔF⋅ΔE

=

Abbildung 21: Beispiel einer 100 W Halogen Lampe, deren Licht auf ein weißes Material auftrifft (Patch A1, Abb. 24) mit der resultierenden Strahldichte . Dargestellt sind die Originalspektren und deren fundamentale Metamere.

Die Differenzspektren alleine haben einen schwarzen Farbeindruck; die Multi- plikation mit schwarzen Metamere leider nicht. Dabei ist zu beachten: hier han- delt es sich nicht um eine Projektion von Vektoren aus dem Nullraum auf die Basis des Bildraums der Art dass (s. Gl. 1.86). Vielmehr geht es um eine Skalierung mit einer n×n Matrix, wobei alle vier Terme aus Gl. 1.137 Spektren liefern, die vom Nullspektrum verschieden sind und deren Farbein- druck leider nicht schwarz ist (s. Abb. 22).

Abbildung 22: Die Bilder zeigen die resultierende Strahldichte , wobei die einzelnen Spektren aus Gl. 1.137 aufaddiert sind. , , und das resultierende Spektrum . Auf der rechten Seite sind die zugehörigen, fun- damentalen Metamere eingezeichnet. Wie man sieht, liefert jeder Term auch eine farb- lich wahrnehmbare Komponente.

380 730

L

380 730

f

380 730

E

L = F E⋅

R^T⋅ΔL = 0

380 730

L

λ[nm]

380 730

L

λ[nm] (a)

(b) (c) (a) (d)

(b) (c) (d)

L

( ): F Ea ⋅ ( ):b +F⋅ΔE ( ):c +ΔF E⋅ ( ):d +ΔF⋅ΔE

1.7.2 Erster Versuch der Interpretation der CG-Methode: rgb im Normfarbraum In der Analogie der bisherigen Betrachtungen liegt es nahe, die rgb-Werte als Koordinaten im Normfarbraum zu interpretieren, wie sie von Eingabegeräten wie Kameras oder Scannern geliefert und von den Ausgabegeräten für die Dar- stellung benötigt werden. Ein Versuch der Interpretation der CG-Methode im Normfarbraum besteht in der Annahme, dass durch Gl. 1.137 nur der erste Term der fundamentalen Metamere bei der Simulation berücksichtigt wird:

(Gl. 1.138)

Es benötigt einiges an Fantasie, um von dieser Gleichung auf die CG-Methode zu schließen. Eine Möglichkeit wäre die Einführung des folgenden, offensichtli- chen Fehlers bei der Erweiterung durch :

(Gl. 1.139)

Eine nähere Betrachtung dieses Fehlers findet sich bei [2]. Das Ergebnis wäre zumindest die CG-Methode nach Gleichung Gl. 1.133 für XYZ-Koordinaten.

(Gl. 1.140)

Interessant wird diese Betrachtung, wenn man die XYZ-Koordinaten in rgb- Koordinaten mit einer Matrix überführt (vgl. Gl. 1.98).

(Gl. 1.141)

Zur Berechnung könnte man den gleichen Fehler einführen wie oben, oder die Gleichung korrekt weiterentwickeln. In beiden Fällen wird klar, dass die Refle- xion nicht mehr durch eine Skalierungsmatrix mit 3 Werten ausgedrückt werden kann, sondern durch ein voll besetzte 3×3 Matrix beschrieben wird. Die korrekte Weiterentwicklung liefert:

L = F E⋅

B_p L_X L_Y L_Z

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅ B_p

f_X f_Y f_Z

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

B_p E_X E_Y E_Z

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅

•

⋅

=

B^T

B^T B_p L_X L_Y L_Z

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅ ⋅ B^T⋅B_p

f_X f_Y f_Z

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

B^T⋅B_p E_X E_Y E_Z

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⋅

•

⋅

=

L_XYZ = f_XYZ•E_XYZ

M^–1

M^–1⋅L_XYZ = M^–1⋅(F_XYZ⋅E_XYZ)

(Gl. 1.142)

Durch Ersetzen von erhält man:

(Gl. 1.143)

Mit ergibt sich dann die gesuchte Gleichung in rgb, wobei keine einfache Skalierungsmatrix mehr ist:

(Gl. 1.144)

Zusammenfassend kann man sagen, dass die CG-Methode auf den hergeleiteten, farbmetrischen Grundlagen im Normfarbraum nicht wirklich erklärt werden kann.

1.7.3 Korrektere Betrachtung: Lichtquellen und Reflexionsspektren als fundamentale Metamere

Die Herleitung der CG-Methode im letzten Abschnitt beinhaltete einen offen- sichtlichen Fehler. Es stellt sich die Frage, ob eine korrekte Berechnung unter der Annahme, dass die Materialien und die Lichtspektren aus fundamentalen Metameren bestehen, zu einer besseren Farbqualität führen. In der Praxis wird es solche Materialien und Lichtquellen wohl kaum geben. Allerdings ist der Ansatz dadurch begründet, dass die Farben oftmals von Benutzern durch drei Farbwerte eingegeben werden. Wie im letzten Abschnitt reduziert sich die Berechnung unter dieser Annahme auf den ersten Term von Gl. 1.137⁶:

(Gl. 1.145)

Man beachte, dass dies nicht gleich dem fundamentalen Metamer von ist, also . Die korrekte Berechnung im Gegensatz zu Kap. 1.7.2 ist dann:

(Gl. 1.146)

Mit dem Ergebnis:

6. Eine ähnliche Herleitungen findet sich bei [10].

L_rgb = M^–1⋅F_XYZ⋅E_XYZ M E⋅ _rgb = E_XYZ

L_rgb = M^–1⋅F_XYZ⋅M E⋅ _rgb F_rgb = M^–1⋅F_XYZ⋅M

F_rgb

L_rgb = F_rgb⋅E_rgb

L = F E⋅

L L≠F E⋅

B^T⋅L = B^T⋅ ⋅F E

B^T⋅ ⋅F B_p⋅E_XYZ

=