3. CKM Matrix

Kern- und Teilchenphysik I — SS 2005 — Prof. G. Dissertori — Serie 10

L¨osungen

1. Spontane Brechung von U (1) und Higgs Mechanismus

a) Die unter lokalenU(1) Transformationen invariante Lagrangedichte ist

L= (∂^µ+ieA^µ)φ^∗(∂µ−ieAµ)φ−µ²(φ^∗φ)−λ(φ^∗φ)²−1/4FµνF^µν. (1) b) Einsetzten und ausrechenen liefert

L=1

2 (∂µφ1)²+ (∂µφ2) +e²AµA^µ φ²1+φ²2

+e(∂µφ1A^µφ2−Aµφ1∂^µφ2)− µ²

2 φ²1+φ²2

−λ 4 φ²1+φ²2

2

−1 4FµνF^µν.

(2)

c) Nur zwei Terme geben einen beitrag zum Potential:

V(φ1, φ2) =−µ² 2 φ²1+φ²2

−λ 4 φ²1+φ²2

2

. (3)

d) V(r) =−^µ2²r²−^λ4r⁴ → ^dVdr =−µ²r−λr³hat Minimum beiv²:=r²=−^µλ²

e) Einsetzten und ausrechnen liefert L⁰=1

2 (∂µη(x))²+ (∂µξ(x))²

−v²λη(x)²+1

2e²v²AµA^µ−evAµ∂^µξ(x)− eη(x)Aµ∂^µξ(x) +eξ(x)Aµ∂^µη(x) +e²vAµA^µη(x) +1

2e²(Aµξ(x))²−

−λ

4 η(x)²+ξ(x)⁴

−λvη(x)³−λ

2η(x)²ξ(x)²−λvη(x)ξ(x)²+C,

(4)

wobeiCkonstatnte, d.h. von allen Feldern unabh¨angige Terme sind.

f) Massenterme sind von der Form±¹2m²(Feld)², mit−f¨ur die skalaren Felder und + f¨ur die Eichbosonfelder. Daraus folgtmA=ev, mη=√

2λv², mξ= 0.

g) Einsetzten und ausrechnen liefert L⁰⁰=1

2(∂µh)²−λv²h²+1

2e²v²A²µ−λvh³−1 4λh⁴+ 1

2e²A²µh²+ve²A²µh−1

4FµνF^µν+C⁰.

(5)

Daraus folgtmh=√

2λv²undmA=ev. Das Goldstone-Boson wurde von der longitudinal- polaristierten Mode des Eichbosons absorbiert. Finde mehr Details z. Bsp. in ’F.Halzen, A.D.Martin: Quarks and Leptons, Seiten 320 ff’.

2. Schwache oder Elektromagnetische WW

su

du u du

d

uu

3. CKM Matrix

DasB⁰Meson besteht aus den Quarksd¯b, dasπ⁻hingegen ausdu. Beim Zerfall¯ B⁰−→π⁻l⁺νl

wandelt sich also ein ¯b-Quark (dritte Generation) in ein ¯u-Quark (erste Generation) um. Der kleinen Zerfallswahrscheinlichkeit f¨ur diesen Kanal entspricht daher ein kleiner Wert f¨ur den Betrag|Vub|des entsprechenden Elementes der CKM-Matrix.

(Der aktuell beste Wert betr¨agt|Vub|= (3.6±0.7)×10⁻³)

4. Kernspaltung

nthermisch+²³⁵92 U→¹³¹50 Sn+¹⁰²42 M o+ 3n

Mit der Weizs¨acker FormelM(A, Z) =N Mn+Z(Mp+me)−B(Z, A) erh¨alt man die folgenden Bindungsenergien:

B(92,235) = 1775.83 MeV, B(50,131) = 1076.12 MeV, B(42,102) = 872.05 MeV Der Q–Wert ist also:

Q=M(92,235)−M(50,131)−M(42,102)−2mn=

=B(50,131) +B(42,102)−B(92,235) = 172.3 MeV