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§3 Die Gram-Matrix

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Prof. Dr. Gabriele Nebe WS 2009/10

Dipl.-Math. Sebastian Thomas 22.10.2009

Lineare Algebra II

Kapitel 1: Bilinearformen und quadratische Formen

Jedem Skalarprodukt liegt eine sogenannte Bilinearform zu Grunde. In diesem Kapitel wollen wir ganz allgemein Bilinearformen studieren. Wir beginnen zunächst noch etwas allgemeiner mit beliebigen bilinearen Abbildungen.

§1 Bilineare Abbildungen

Es seiKein Körper.

Erinnerung. Eine Abbildungϕ:V → W zwischenK-VektorräumenV undW heißt linear, fallsϕ(V +V0) = ϕ(V) +ϕ(V0)für alleV, V0∈ V undϕ(aV) =aϕ(V)für alleV ∈ V,a∈K. Äquivalent hierzu ist die Bedingung ϕ(aV +V0) =aϕ(V) +ϕ(V0)für alleV, V0 ∈ V,a∈K.

Im Folgenden seienV1,V2 undW Vektorräume überK.

(1.1) Definition (bilineare Abbildung). Eine Abbildung β: V1× V2 → W heißt bilinear über K (oder K- bilinear), falls die Abbildungen β(V1,−) und β(−, V2) linear sind für alle V1 ∈ V1, V2 ∈ V2. Die Menge aller K-bilinearen Abbildungen von V1× V2 nach W notieren wir als Bilin((V1,V2),W) = BilinK((V1,V2),W) :=

{β∈ WV1×V2 |β bilinear über K}.

Eine Abbildung β: V1× V2→ W ist also bilinear genau dann, wenn β(V1, aV2+V20) = aβ(V1, V2) +β(V1, V20) undβ(aV1+V10, V2) =aβ(V1, V2) +β(V10, V2)für alleV1, V10 ∈ V1,V2, V20∈ V2,a∈Kgilt.

(1.2) Beispiel.

(a) Die MultiplikationsverknüpfungK×K→K,(x, y)7→xyist bilinear.

(b) DieStandardbilinearform Kn×1×Kn×1→K,(x, y)7→Pn

i=1xiyi ist bilinear.

(c) Es seiA∈Km×n. Dann ist Ae e

:Km×1×Kn×1→K,(x, y)7→xtrAybilinear.

(d) Es seienAi∈Km×n füri∈ {1, . . . , p}. Dann ist

Km×1×Kn×1→Kp×1,(x, y)7→

 xtrA1y

... xtrApy

bilinear.

(e) DasKreuzprodukt

R3×1×R3×1→R3×1,(x, y)7→

x2y3−x3y2

x3y1−x1y3

x1y2−x2y1

ist bilinear.

(f) Die Determinante

K2×1×K2×1→K,(x, y)7→det

x1 y1

x2 y2

ist bilinear.

(2)

(g) Alle Skalarprodukte sind insbesondere bilinear, zum Beispiel

C(I,R)×C(I,R)→R,(f, g)7→

Z 1 0

f(x)g(x) dx,

wobei I :={x∈R|0≤x≤1} das reelle Einheitsintervall bezeichnet.

Beweis. Selbst. Zu (e) vgl. auch Tutoriumsaufgabe 1.

(1.3) Bemerkung. Es istBilin((V1,V2),W)≤ WV1×V2.

Beweis. Die triviale Abbildung0 :V1× V2→ W,(V1, V2)7→0 erfüllt 0(V1, aV2+V20) = 0 =a0(V1, V2) + 0(V1, V20)

für alleV2, V20∈ V2,a∈K, d.h.0(V1,−)istK-linear für alleV1∈ V1. Aus Symmetriegründen ist auch0(−, V2) linear überK für alleV2 ∈ V2 und daher 0∈Bilin((V1,V2),W). Fürβ, γ∈Bilin((V1,V2),W)und c∈K gilt ferner

(cβ+γ)(V1, aV2+V20) =cβ(V1, aV2+V20) +γ(V1, aV2+V20)

=caβ(V1, V2) +cβ(V1, V20) +aγ(V1, V2) +γ(V1, V20)

=acβ(V1, V2) +aγ(V1, V2) +cβ(V1, V20) +γ(V1, V20)

=a(cβ+γ)(V1, V2) + (cβ+γ)(V1, V20)

für alle V2, V20 ∈ V2, a ∈ K, d.h. (cβ+γ)(V1,−) ist K-linear für alle V1 ∈ V1. Aus Symmetriegründen ist auch (cβ+γ)(−, V2) linear über K für alle V2 ∈ V2 und daher cβ+γ ∈ Bilin((V1,V2),W). Insgesamt ist Bilin((V1,V2),W)≤ WV1×V2.

(1.4) Definition (transponierte bilineare Abbildung). Für jede bilineare Abbildung β: V1× V2 → W heiße βtr:V2× V1→ W,(V2, V1)7→β(V1, V2)die zuβ transponierte bilineare Abbildung.

(1.5) Bemerkung.

(a) Die Abbildung(−)tr: Bilin((V1,V2),W)→Bilin((V2,V1),W)ist linear.

(b) Es ist(βtr)tr=β für jede bilineare Abbildungβ:V1× V2→ W.

Beweis.

(a) Fürβ, γ∈Bilin((V1,V2),W),a∈K, ist

(aβ+γ)tr(V2, V1) = (aβ+γ)(V1, V2)) =aβ(V1, V2) +γ(V1, V2) =aβtr(V2, V1) +γtr(V2, V1)

= (aβtrtr)(V2, V1)

für alleV1∈ V1,V2∈ V2, d.h.(aβ+γ)tr =aβtrtr. Folglich ist(−)tr: Bilin((V1,V2),W)→Bilin((V2,V1),W) eine lineare Abbildung.

(b) Es ist

tr)tr(V1, V2) =βtr(V2, V1) =β(V1, V2) für alleV1∈ V1,V2∈ V2, d.h.(βtr)tr=β.

Im Folgenden seienV undW Vektorräume überK.

(1.6) Definition(symmetrische, schiefsymmetrische, alternierende bilineare Abbildungen).

(a) Eine bilineare Abbildungβ:V × V → W heißtsymmetrisch, fallsβtr=β. Die Menge der symmetrischen bilinearen Abbildungen vonV ×VnachWnotieren wir alsBilinsym((V,V),W) = BilinK,sym((V,V),W) :=

{β∈Bilin((V,V),W)|β symmetrisch}.

(3)

(b) Eine bilineare Abbildung β: V × V → W heißt schiefsymmetrisch, falls βtr = −β für alle V1, V2 ∈ V. Die Menge der schiefsymmetrischen bilinearen Abbildungen von V × V nach W notieren wir als Bilinschief((V,V),W) = BilinK,schief((V,V),W) :={β∈Bilin((V,V),W)|β schiefsymmetrisch}.

(c) Eine bilineare Abbildungβ: V × V → W heißt alternierend, fallsβ(V, V) = 0für alle V ∈ V. Die Menge der alternierenden bilinearen Abbildungen von V × V nach W notieren wir als Bilinalt((V,V),W) = BilinK,alt((V,V),W) :={β∈Bilin((V,V),W)|β alternierend}.

(1.7) Beispiel. Die Beispiele (1.2)(a), (b) und (g) sind symmetrisch. Das Beispiel (1.2)(c) ist symmetrisch genau dann, wenn m = n und A symmetrisch ist, das Beispiel (1.2)(d) ist symmetrisch genau dann, wenn m=nundAi für allei∈ {1, . . . , p} symmetrisch ist. Die Beispiele (1.2)(e) und (f) sind alternierend.

(1.8) Bemerkung. Es sindBilinsym((V,V),W),Bilinschief((V,V),W)undBilinalt((V,V),W)Untervektorräu- me vonBilin((V,V),W)

Beweis. Wir habenBilinsym((V,V),W) = Kern((−)tr−IdBilin((V,V),W))undBilinschief((V,V),W) = Kern((−)tr+ IdBilin((V,V),W)), alsoBilinsym((V,V),W)≤Bilin((V,V),W)undBilinschief((V,V),W)≤Bilin((V,V),W).

Es bleibt zu zeigen, dassBilinalt((V,V),W)≤Bilin((V,V),W). In der Tat erfüllt die triviale Bilinearform0 :V × V → W insbesondere0(V, V) = 0für alleV ∈ V, d.h.0∈Bilinalt((V,V),W), und fürβ, γ∈Bilinalt((V,V),W), a∈K haben wir

(aβ+γ)(V, V) =aβ(V, V) +γ(V, V) =a0 + 0 = 0 für alleV ∈ V, d.h.aβ+γ∈Bilinalt((V,V),W).

(1.9) Proposition. Jede alternierende bilineare Abbildung ist schiefsymmetrisch. Falls 26= 0 in K gilt auch die Umkehrung.

Beweis. Es seiβ:V × V → W eine beliebige bilineare Abbildung. Fallsβ alternierend ist, so gilt insbesondere 0 =β(V1+V2, V1+V2) =β(V1, V1) +β(V1, V2) +β(V2, V1) +β(V2, V2) =β(V1, V2) +β(V2, V1)

und daherβ(V1, V2) =−β(V2, V1) für alleV1, V2∈ V, d.h. β ist schiefsymmetrisch. Umgekehrt, wennβ schief- symmetrisch ist, so haben wirβ(V, V) =−β(V, V)und daher, vorausgesetzt26= 0inK, auchβ(V, V) = 0für alleV ∈ V, d.h.β ist alternierend.

Falls 2 = 0in K stimmen symmetrische und schiefsymmetrische bilineare Abbildungen offensichtlich überein.

Falls jedoch26= 0ist, erhalten wir folgende Zerlegung.

(1.10) Proposition. Es sei26= 0 inK. Wir haben lineare Abbildungen (−)sym: Bilin((V,V),W)→Bilinsym((V,V),W), β7→ 1

2(β+βtr) und

(−)schief: Bilin((V,V),W)→Bilinschief((V,V),W), β7→ 1

2(β−βtr), welche Projektionen der inneren direkten Summenzerlegung

Bilin((V,V),W) = Bilinsym((V,V),W)⊕iBilinschief((V,V),W) sind.

Beweis. Für jede bilineare Abbildungβ:V×V →W definieren wirβsym:= 12(β+βtr)andβschief := 12(β−βtr).

Dann gilt

sym)tr= 1

2(β+βtr)tr =1

2(βtr+β) = 1

2(β+βtr) =βsym, d.h.βsym ist symmetrisch, sowie

schief)tr=1

2(β−βtr)tr= 1

2(βtr−β) =−1

2(β−βtr) =−βschief,

(4)

d.h. βschief ist schiefsymmetrisch für alleβ ∈Bilin((V,V),W). Wir erhalten also wohldefinierte lineare Abbil- dungen

(−)sym: Bilin((V,V),W)→Bilinsym((V,V),W), β7→ 1

2(β+βtr) und

(−)schief: Bilin((V,V),W)→Bilinschief((V,V),W), β7→ 1

2(β−βtr).

Wegen β =1

2(β+βtr) +1

2(β−βtr) =βsymschief

für alleβ ∈Bilin((V,V),W)haben wir alsoBilin((V,V),W) = Bilinsym((V,V),W) + Bilinschief((V,V),W). Es sei nunβ ∈Bilinsym((V,V),W)∩Bilinschief((V,V),W). Dann gilt

β(V1, V2) =β(V2, V1) =−β(V1, V2)

und wegen26= 0inKsomitβ(V1, V2) = 0für alleV1, V2∈ V. Wir haben alsoβ = 0und daherBilinsym((V,V),W)∩

Bilinschief((V,V),W) ={0}. Insgesamt folgt

Bilin((V,V),W) = Bilinsym((V,V),W)⊕iBilinschief((V,V),W).

§2 Bilinearformen

Wir führen Bilinearformen und Orthogonalität bzgl. Bilinearformen ein.

Es seiKein Körper undV einK-Vektorraum.

(1.11) Definition (Bilinearform). Eine Bilinearform überK (oderr K-Bilinearform) aufV ist eine bilineare Abbildung V × V → K. Die Menge aller K-Bilinearformen auf V notieren wir als Bifo(V) = BifoK(V) :=

Bilin((V,V), K). Ferner schreiben wir

Bifosym(V) = BifoK,sym(V) := Bilinsym((V,V), K), Bifoschief(V) = BifoK,schief(V) := Bilinschief((V,V), K)und Bifoalt(V) = BifoK,alt(V) := Bilinalt((V,V), K).

Man beachte die alternativen Notationen Bifo+(V) := Bifosym(V), Bifo(V) := Bifoschief(V) und Λ2(V) :=

Bifoalt(V).

(1.12) Beispiel. Die Beispiele (1.2)(a), (b), (c), (f) und (g) sind Bilinearformen.

(1.13) Definition(orthogonal). Es seiΦeine Bilinearform aufV und VektorenV, W ∈ V gegeben. Wir sagen, dassV orthogonal zuW (bzgl.Φ) ist, geschriebenV ⊥W oder exakterV ⊥ΦW, falls Φ(V, W) = 0ist.

Im Folgenden seiΦeine symmetrische oder schiefsymmetrische Bilinearform aufV.

(1.14) Definition (Orthogonalraum). Der Orthogonalraum einer TeilmengeM ⊆ V (bzgl.Φ) ist definiert als M=M⊥,Φ:={V ∈ V |W ⊥V für alleW ∈M}.

(1.15) Bemerkung. Es istM≤ V für alle M ⊆ V.

Beweis. Wegen der Linearität vonΦ(W,−)istΦ(W,0) = 0 und daher W ⊥0 für alleW ∈M, d.h.0 ∈M. Es seien nunV, V0 ∈M unda∈K gegeben. Für alleW ∈M gilt dannW ⊥V undW ⊥V0, also

Φ(W, aV +V0) =aΦ(W, V) + Φ(W, V0) =a0 + 0 = 0

und daherW ⊥aV +V0. Folglich istaV +V0∈M und somitM ⊆ V.

(5)

(1.16) Bemerkung. FürM, M0⊆ V mit M ⊆M0 giltM0⊥⊆M. Beweis. In diesem Fall ist

M0⊥={V ∈ V |W0⊥V für alleW0 ∈M0} ⊆ {V ∈ V |W ⊥V für alleW ∈M}=M.

Erinnerung. Ist V endlich erzeugt und B = (B1, . . . , Bn) eine Basis von V, so gibt es für jedes V ∈ V eindeutig bestimmte KörperelementeVi∈Kfüri∈ {1, . . . , n} mitV =Pn

i=1ViBi. Für die LinearformBigilt Bi(Bj) =δi,j für allei, j∈ {1, . . . , n}, also

Bi(V) =Bi(

n

X

j=1

VjBj) =

n

X

j=1

VjBi(Bj) =

n

X

j=1

Vjδi,j=Vi. Folglich istV =Pn

i=1Bi(V)Bi für alleV ∈ V.

(1.17) Proposition. Es seiU ≤ V undB= (B1, . . . , Bk)eine Basis vonU. Dann ist U={B1, . . . , Bk}.

Beweis. Wegen{B1, . . . , Bk} ⊆ U giltU⊆ {B1, . . . , Bk} nach Bemerkung (1.16). Es sei also umgekehrt ein V ∈ {B1, . . . , Bk} gegeben. Für alle U ∈ U gilt dann

Φ(U, V) = Φ(

k

X

i=1

Bi(U)Bi, V) =

k

X

i=1

Bi(U)Φ(Bi, V) =

k

X

i=1

Bi(U)0 = 0, d.h.U ⊥V. Folglich istV ∈ U und insgesamtU={B1, . . . , Bk}. (1.18) Definition (Radikal). Es heißt V dasRadikal vonV (bzgl.Φ).

(1.19) Beispiel. Das Radikal von

K2×1×K2×1→K,(x, y)7→xtr 1 0

0 0

y

ist

(K2×1)=h 0

1

i.

(1.20) Definition(nicht-ausgeartete Bilinearform). Die BilinearformΦheißtnicht-ausgeartet, fallsV ={0}, und sonstausgeartet.

(1.21) Proposition. Es sei V endlich erzeugt und U ≤ V mit V =U ⊕iV⊥,Φgegeben. Dann ist Φ|U ×U eine nicht-ausgeartete Bilinearform aufU.

Beweis. Es seiU ∈ U⊥,Φ|U ×U =U ∩ U⊥,Φbeliebig gegeben. Für alleV ∈ V gibt es dannU0∈ U,V0∈ V⊥,Φmit V =U0+V0, und es folgt

Φ(V, U) = Φ(U0+V0, U) = Φ(U0, U) + Φ(V0, U) = 0.

Also istV ⊥U für alleV ∈ V, d.h.U ∈ V⊥,Φ. Da aber auchU ∈ U ist, gilt insgesamtU ∈ U ∩ V⊥,Φ={0}und daherU = 0. Folglich ist das RadikalU⊥,Φ|U ×U ={0} und daherΦ|U ×U nicht-ausgeartet.

(1.22) Proposition. Es seiV endlich erzeugt undU ≤ V. WennΦoderΦ|U ×U nicht-ausgeartet ist, dann ist V/U→ U, V +U7→Φ(−, V)|U

einK-Vektorraumisomorphismus.

Beweis. Übungsblatt 1, Aufgabe 4.

(1.23) Korollar. Es seiV endlich erzeugt undU ≤ V.

(6)

(a) WennΦnicht-ausgeartet ist, so gilt DimV = DimU+ DimU.

(b) WennΦ|U ×U nicht-ausgeartet ist, so gilt V=U ⊕iU⊥,Φ.

Beweis. WennΦoderΦ|U ×U nicht-ausgeartet ist, so gilt nach (1.21) in beiden Fällen DimV −DimU= Dim(V/U) = DimU= DimU

und daherDimV = DimU+DimU. FallsΦ|U ×U nicht-ausgeartet ist, gilt zusätzlichU ∩U⊥,Φ=U⊥,Φ|U ×U ={0}

und daherV =U ⊕iU.

Wir geben nachher noch einen alternativen Beweis von Korollar (1.23) mit Hilfe der Gram-Matrix, so dass dieses Korollar auch zum Beweis von Aufgabe 4 verwendet werden darf.

§3 Die Gram-Matrix

In diesem Abschnitt präsentieren wir einen Matrixkalkül zum Rechnen mit Bilinearformen auf endlich-dimensionalen Vektorräumen.

Es seiKein Körper undV ein endlich erzeugterK-Vektorraum. Ferner sei bis auf WeiteresΦeine Bilinearform aufV.

(1.24) Definition(Gram-Matrix). Für eine BasisB = (B1, . . . , Bn)vonV heißtBΦB∈Kn×ndefiniert durch

BΦB := (Φ(Bi, Bj))i,j∈{1,...,n}

dieGram-Matrix vonΦbzgl.B.

(1.25) Beispiel. Es sein∈NundA∈Kn×n. Die Gram-Matrix von Ae

e

:Kn×1×Kn×1→K,(x, y)7→xtrAy bzgl. der Standardbasise = (e1, . . . ,en)isteAe

e

e =A.

Beweis. Für allei, j∈ {1, . . . , n} ist (eAe

e

e)i,j=Ae e

(ei, ej) = etri Aej=Ai,j, alsoeAe

e

e =A.

Erinnerung. Für einen VektorV ∈ Vbezeichnen wir mit BV ∈Kn×1 die Koeffizientenspalte vonV und mit VB = (BV)tr∈K1×n die Koeffizientenzeile vonV bzgl. einer Basis B. D.h., es ist(BV)i,1= (VB)1,i=Bi(V) für allei∈ {1, . . . , n}.

(1.26) Proposition. Es seiB= (B1, . . . , Bn)eine Basis vonV. Dann ist Φ(V, W) = (BV)trBΦB BW =VB BΦB BW =

n

X

i=1 n

X

j=1

Bi(V)Φ(Bi, Bj)Bj(W) für alleV, W ∈ V.

Beweis. Für alleV, W ∈ V gilt

Φ(V, W) = Φ(

n

X

i=1

Bi(V)Bi,

n

X

j=1

Bj(V)Bj) =

n

X

i=1 n

X

j=1

Bi(V)Φ(Bi, Bj)Bj(W)

=

n

X

i=1 n

X

j=1

Bi(V)(BΦB)i,jBj(W) =VB BΦB BW.

(7)

Es sei n∈ N. Eine Matrix A∈Kn×n heißt alternierend, wenn A schiefsymmetrisch und Ai,i = 0 für alle i∈ {1, . . . , n}ist. Die Menge aller alternierenden Matrizen notieren wir alsKaltn×n :={A∈Kn×n|A alternierend}}.

Es istKaltn×n ≤Kn×n (Beweis selbst).

Man beachte auch die alternative NotationKschief,0n×n :=Kaltn×n. (1.27) Korollar. Es seiB= (B1, . . . , Bn)eine Basis vonV.

(a) Es istΦsymmetrisch genau dann, wennBΦB symmetrisch ist.

(b) Es istΦschiefsymmetrisch genau dann, wennBΦB schiefsymmetrisch ist.

(c) Es istΦalternierend genau dann, wennBΦB alternierend ist.

Beweis.

(a) IstΦsymmetrisch, so gilt insbesondere

(BΦB)i,j= Φ(Bi, Bj) = Φ(Bj, Bi) = (BΦB)j,i

für alle i, j∈ {1, . . . , n}, d.h.BΦB ist symmetrisch. Falls umgekehrtBΦB symmetrisch ist, liefert Propo- sition (1.26)

Φ(V, W) = (BV)trBΦB BW = ((BV)trBΦB BW)tr= (BW)tr(BΦB)trBV = (BW)trBΦB BV

= Φ(W, V) für alleV, W ∈ V.

(b) IstΦschiefsymmetrisch, so gilt insbesondere

(BΦB)i,j= Φ(Bi, Bj) =−Φ(Bj, Bi) =−(BΦB)j,i

für alle i, j ∈ {1, . . . , n}, d.h. BΦB ist schiefsymmetrisch. Falls umgekehrt BΦB schiefsymmetrisch ist, liefert Proposition (1.26)

Φ(V, W) = (BV)trBΦB BW = ((BV)trBΦB BW)tr= (BW)tr(BΦB)trBV =−(BW)trBΦB BV

=−Φ(W, V) für alleV, W ∈ V.

(c) IstΦalternierend, so ist Φschiefsymmetrisch nach Proposition (1.9) und damitBΦB schiefsymmetrisch nach (b). Ferner gilt

(BΦB)i,i= Φ(Bi, Bi) = 0

für alle i∈ {1, . . . , n}. Falls umgekehrt BΦB schiefsymmetrisch und(BΦB)i,i = 0 für allei∈ {1, . . . , n}

ist, liefert Proposition (1.26)

Φ(V, V) =

n

X

i=1 n

X

j=1

Bi(V)Φ(Bi, Bj)Bj(V) = 0

für alle V ∈ V, denn für allei ∈ {1, . . . , n} ist Φ(Bi, Bi) = 0 und für alle i, j ∈ {1, . . . , n} mit i6=j ist Φ(Bi, Bj) =−Φ(Bj, Bi).

(1.28) Korollar. Es seiB= (B1, . . . , Bn)eine Basis vonV. Dann ist V={V ∈ V |BΦB BV = 0}.

Insbesondere gilt

DimV = DimV −RgBΦB

undΦist nicht-ausgeartet genau dann, wennBΦB invertierbar ist.

(8)

Beweis. Wir haben

V={V ∈ V |W ⊥V für alleW ∈ V}={V ∈ V |Φ(W, V) = 0 für alleW ∈ V}

={V ∈ V |WB BΦB BV = 0für alleW ∈ V}={V ∈ V |BΦB BV = 0}.

Folglich ist

DimV = Dim(KernBB) = DimV −RgBΦB

und damitΦnicht-ausgeartet genau dann, wennRgBΦB= DimV ist, d.h. wenn BΦB invertierbar ist.

Alternativer Beweis zu Korollar (1.23). Es bleibt nur die DimensionsformelDimV= DimU+DimUzu zeigen, die Trivialität des Schnitts in (b) zeigt man wie oben.

Es sei B0 = (B1, . . . , Bk)eine Basis von U, die wir zu einer Basis B = (B1, . . . , Bn) von V. Nach Proposition (1.17) gilt dann

U={B1, . . . , Bk}={V ∈ V |Bi⊥V für allei∈ {1, . . . , k}}

={V ∈ V |Φ(Bi, V) = 0 für allei∈ {1, . . . , k}}

={V ∈ V |Φ(Bi,

n

X

j=1

Bj(V)Bj) = 0für allei∈ {1, . . . , k}}

={V ∈ V |

n

X

j=1

Φ(Bi, Bj)Bj(V) = 0für allei∈ {1, . . . , k}}

={V ∈ V |(Φ(Bi, Bj))i∈{1,...,k},j∈{1,...,n}BV = 0}={V ∈ V |ABV = 0}

mitA∈Kk×n definiert durchA:= (Φ(Bi, Bj))i∈{1,...,k},j∈{1,...,n}. Folglich ist DimU= Dim(KernA) = Dime V −RgA

und damitDimV = RgA+ DimU. Es bleibt also zu zeigen, dass RgA= DimU =k ist, d.h. dassA vollen Rang hat. Wenn nun aberΦ nicht-ausgeartet ist, so hatBΦB vollen Rang, und wennΦ|U ×U nicht-ausgeartet ist, so hatB0(Φ|U ×U)B0 = (Φ(Bi, Bj))i,j∈{1,...,k} vollen Rang. In beiden Fällen folgt, dass auchA vollen Rang hat.

(1.29) Proposition. Für jede BasisB= (B1, . . . , Bn)von V ist

B(−)B: Bifo(V)→Kn×n

einK-Vektorraumisomorphismus mit Inversem

Kn×n→Bifo(V), A7→((V, W)7→VBABW =

n

X

i=1 n

X

j=1

Bi(V)Ai,jBj(W)).

Beweis. FürΦ,Ψ∈Bifo(V)unda∈K gilt

(B(aΦ + Ψ)B)i,j= (aΦ + Ψ)(Bi, Bj) =aΦ(Bi, Bj) + Ψ(Bi, Bj) =a(BΦB)i,j+ (BΨB)i,j

für allei, j∈ {1, . . . , n} und damitB(aΦ + Ψ)B =aBΦB+BΨB, d.h.B(−)B ist eine lineare Abbildung.

Um Surjektivität zu zeigen sei eine MatrixA∈Kn×n beliebig gegeben. Dann ist Ae

e

:Kn×1×Kn×1→K,(x, y)7→xtrAy

eine Bilinearform aufKn×1. Da jedochB(−) :V →Kn×1einK-Vektorraumisomorphismus ist, der die BasisB vonV auf die StandardbasisevonKn×1abbildet, ist

ΦA:V × V →K,(V, W)7→VBABW =Ae e

(BV,BW)

(9)

eine Bilinearform aufV mit (BΦAB)i,j= ΦA(Bi, Bj) =Ae

e

(BBi,BBj) =Ae e

(ei,ej) = (eAe e

e)i,j=Ai,j

für allei, j∈ {1, . . . , n}, vgl. Beispiel (1.25). Also istBΦAB=Aund somitB(−)B surjektiv.

Es bleibt Injektivität zu zeigen. Hierzu sei einΦ∈Bifo(V)gegeben mitBΦB= 0. Nach Proposition (1.26) folgt dann

Φ(V, W) =VB BΦB BW =VB0BW = 0

für alleV, W ∈ V, d.h.Φ = 0. Folglich ist KernB(−)B ={0} und damitΦinjektiv.

(1.30) Korollar. Es ist Dim Bifo(V) = (DimV)2.

IstB eine Basis vonV, so ist ((V, W)7→Bi(V)Bj(W))i,j∈{1,...,n}eine Basis vonBifo(V).

Beweis. Es seiB= (B1, . . . , Bn)eine Basis vonV. Nach Proposition (1.29) ist dann Kn×n→Bifo(V), A7→((V, W)7→

n

X

i=1 n

X

j=1

Bi(V)Ai,jBj(W)) einK-Vektorraumisomorphismus, und folglich

Dim Bifo(V) = DimKn×n=n2= (DimV)2.

Ferner wird die Standardbasis E = (Ei,j)i,j∈{1,...,n} von Kn×n unter diesem Isomorphismus auf die Basis ((V, W)7→Bi(V)Bj(W))i,j∈{1,...,n} vonBifo(V)abgebildet.

Erinnerung. Die Basiswechselmatrix in Spaltenkonvention von einer Basis B = (B1, . . . , Bn)von V zu einer BasisB0 = (B10, . . . , B0n)bezeichnen wir mitBIdVB0. Ferner schreiben wir B0IdVB = (BIdVB0)tr für die Basis- wechselmatrix in Zeilenkonvention. D.h., es ist(BIdVB0)i,j= (B0IdVB)j,i=Bi(Bj0)für allei, j∈ {1, . . . , n}.

(1.31) Korollar. Es seiΦeine Bilinearform aufV und es seienB= (B1, . . . , Bn)undB0 = (B01, . . . , Bn0)Basen vonV. Dann gilt

B0ΦB0 = (BIdVB0)trBΦB BIdVB0 =B0IdVB BΦB BIdVB0. Insbesondere istRgBΦB = RgB0ΦB0.

Beweis. Für alleV, W ∈ V gilt

VB0B0ΦB0B0W = Φ(V, W) =VB BΦB BW =VB0B0IdVB BΦB BIdVB0B0W.

Es folgt B0ΦB0 = B0IdVB BΦB BIdVB0 wegen der Injektivität des Inversen aus Proposition (1.29). Da BIdVB0 undB0IdVB invertierbar sind, gilt ferner

RgB0ΦB0 = Rg(B0IdVB BΦB BIdVB0) = RgBΦB.

(1.32) Korollar. Es seiB= (B1, . . . , Bn)eine Basis vonV. Dann schränktB(−)Bein zuK-Vektorraumisomorphismen Bifosym(V)→Ksymn×n,

Bifoschief(V)→Kschiefn×n und Bifoalt(V)→Kaltn×n}.

Insbesondere ist

Dim Bifosym(V) =n(n+ 1)

2 ,

Dim Bifoschief(V) =

(n(n−1)

2 , falls26= 0inK,

n(n+1)

2 , falls2 = 0inK, Dim Bifoalt(V) = n(n−1)

2 .

Beweis. Folgt aus Proposition (1.29) und Korollar (1.27).

(10)

§4 Normalformen für Gram-Matrizen

In diesem Abschnitt suchen wir nach Basen, so dass die Gram-Matrix einer gegebenen Bilinearform eine beson- ders schöne Gestalt erhält.

Es seiKein Körper undV ein endlich erzeugterK-Vektorraum.

(1.33) Bemerkung. Es sein:= DimV. Dann operiertGLn(K)aufKn×n durch GLn(K)×Kn×n→Kn×n,(T, A)7→(T−1)trAT−1.

Jede Bahn dieser Operation besteht aus allen Gram-Matrizen einer BilinearformΦaufV, und es ist Rg : Kn×n →N0

eine Invariante der Operation.

Beweis. Es ist

ω: GLn(K)×Kn×n →Kn×n,(T, A)7→(T−1)trAT−1. eine Operation vonGLn(K)aufKn×n, denn

ω(S, ω(T, A)) = (S−1)trω(T, A)S−1= (S−1)tr(T−1)trAT−1S−1= ((ST)−1)trA(ST)−1=ω(ST, A) und

ω(In, A) = (I−1n )trAI−1n =A für alleS, T ∈GLn(K),A∈Kn×n.

Jetzt sei O eine beliebige Bahn von ω und es seien A∈ O sowie eine Basis B = (B1, . . . , Bn) von V beliebig gegeben. Nach Proposition (1.29) ist dann ΦA: V × V →K,(V, W)7→VBABW eine Bilinearform aufV mit Gram-Matrix BΦAB = A. Nun sei T ∈ GLn(K) beliebig und es sei eine Basis C von V mit BIdVC = T−1 gegeben. Dann ist

ω(T, A) = (T−1)trAT−1=CIdVB BΦB BIdVC=CΦC

nach Korollar (1.31). Umgekehrt ist für jede gegebene BasisC vonV die MatrixT := (BIdVC)−1 ein Element vonGLn(K), und es giltCΦC=ω(T, A). Insgesamt ist also

O={ω(T, A)|T ∈GLn(K)}={BΦAB|B Basis von V}.

WegenRgBΦAB = RgCΦAC für jede BasisC vonV ist ferner Rg : Kn×n →N0

eine Invariante vonω.

(1.34) Bemerkung. Es seiΦeine (schief-)symmetrische Bilinearform aufV und es seiU ≤ VmitV=U ⊕iV gegeben. Ferner sei B0 = (B1, . . . , Bk) eine Basis von U und B00 = (Bk+1, . . . , Bn) eine Basis von V. Für B= (B1, . . . , Bn)ist dann

BΦB =

B0(Φ|U ×U)B0 0

undB0(Φ|U ×U)B0 ist invertierbar.

Beweis. Die Gestalt der Gram-MatrixBΦBergibt sich aus der Wahl vonB. DaU ein Komplement vonVinV ist, ist außerdemΦ|U ×U nicht-ausgeartet nach Proposition (1.21), alsoB0(Φ|U ×U)B0 invertierbar nach Korollar (1.28).

(11)

(1.35) Korollar. Es sei n∈N undA ∈Kn×n eine (schief-)symmetrische Matrix. Dann existiert eine inver- tierbare MatrixT ∈GLn(K)und eine invertierbare MatrixA0∈GLRgA(K)mit

TtrAT =

A0 0 0 0

.

Beweis. Folgt aus Bemerkung (1.33) für die durch A gegebene Bilinearform Ae e

auf Kn×1 und Bemerkung (1.34).

(1.36) Definition (Orthogonal- und Orthonormalbasis). Es seiΦeine Bilinearform aufV.

(a) Eine BasisB= (B1, . . . , Bn)vonV heißtOrthogonalbasis (bzgl.Φ), fallsBΦB eine Diagonalmatrix ist.

(b) Eine BasisB= (B1, . . . , Bn)vonV heißtOrthonormalbasis (bzgl.Φ), fallsBΦB = In ist.

(1.37) Proposition. Es sei26= 0inK. Dann existiert eine Orthogonalbasis von V bzgl. jeder symmetrischen Bilinearform aufV.

Beweis. Wir führen vollständige Induktion nachn:= DimV, wobei für n= 0nichts zu zeigen ist. Es sei also n∈Nbeliebig gegeben und existiere eine Orthogonalbasis für jeden Vektorraum U mitDimU < n bzgl. jeder symmetrischen Bilinearform auf U. Es sei nunΦ eine symmetrische Bilinearform auf V und es gelte o.B.d.A.

Φ6= 0(denn sonst wäreBΦB = 0für jede BasisBvonV und daher jede Basis eine Orthogonalbasis). Nach den Propositionen (1.10) und (1.9) ist

Bifo(V) = Bifosym(V)⊕iBifoschief(V) = Bifosym(V)⊕iBifoalt(V).

WegenΦ6= 0ist alsoΦnicht alternierend, d.h. es gibt einV ∈ V \{0}mitΦ(V, V)6= 0. DaΦ|hVi×hVisomit nicht- ausgeartet ist, giltV =hVi ⊕ihVi nach Korollar (1.23)(b). Insbesondere istDimhVi= DimV − hVi=n−1, nach Induktionsvoraussetzung gibt es also eine Orthogonalbasis (B2, . . . , Bn) von hVi bzgl. Φ|hVi×hVi. Dann ist aber auch B := (V, B2, . . . , Bn) eine Orthogonalbasis vonV bzgl. Φ. Mittels Induktionsprinzip folgt die Behauptung für allen∈N0.

(1.38) Korollar. Es sei26= 0inK. Ferner sein∈NundA∈Kn×neine symmetrische Matrix. Dann existiert eine invertierbare MatrixT ∈GLn(K)und eine DiagonalmatrixD∈Kn×n mit

TtrAT =D.

Beweis. Folgt aus Bemerkung (1.33) für die durch A gegebene Bilinearform Ae e

auf Kn×1 und Proposition (1.37).

Das folgende Beispiel zeigt, dass Proposition (1.37) und Korollar (1.38) nicht gelten, falls2 = 0inK ist.

(1.39) Beispiel. Es gelte2 = 0in Kund es sei A:=

0 1 1 0

.

Dann gibt es keinT ∈GL2(K), so dass TtrAT eine Diagonalmatrix ist.

Beweis. Für jede invertierbare MatrixT∈GL2(K)gilt TtrAT =

T1,1 T2,1

T1,2 T2,2

0 1 1 0

T1,1 T1,2

T2,1 T2,2

=

T1,1 T2,1

T1,2 T2,2

T2,1 T2,2

T1,1 T1,2

=

T1,1T2,1+T2,1T1,1 T1,1T2,2+T2,1T1,2

T1,2T2,1+T2,2T1,1 T1,2T2,2+T2,2T1,2

=

0 detT detT 0

= (detT)A, und dies ist wegendetT 6= 0 keine Diagonalmatrix.

(12)

(1.40) Proposition. Es gelteK =Cund es seiΦeine symmetrische Bilinearform auf V. Dann existiert eine BasisB= (B1, . . . , Bn)von V mit

BΦB = Ik

0

,

wobeik= DimV −DimV. Insbesondere gilt: IstΦnicht-ausgeartet, dann existiert eine Orthonormalbasis von V bzgl.Φ.

Beweis. Nach Bemerkung (1.34) und Proposition (1.37) existiert eine BasisC= (C1, . . . , Cn)vonV mit

CΦC= D

0

,

wobeiD∈GLk(K)eine invertierbare Diagonalmatrix undk= DimV −DimV ist. Füri∈ {1, . . . , k} sei nun ri∈Cgegeben mitr2i =Di,i. Für die BasisB= (B1, . . . , Bn)von V definiert durch

Bi:=

(1

riCi, füri∈ {1, . . . , k}, Ci, füri∈ {k+ 1, . . . , n}, gilt dann

BΦB =BIdC CΦC CIdB

= Diag(1 r1

, . . . , 1 rk

,1, . . . ,1) Diag(D1,1, . . . , Dk,k,0, . . . ,0) Diag(1 r1

, . . . , 1 rk

,1, . . . ,1)

= Diag(1 r1

D1,1

1 r1

, . . . , 1 rk

Dk,k

1 rk

,0, . . . ,0) = Ik

0

.

(1.41) Korollar. Es sei n ∈ N und A ∈ Cn×n eine symmetrische Matrix. Dann existiert eine invertierbare MatrixT ∈GLn(C)mit

TtrAT = IRgA

0

.

Beweis. Folgt aus Bemerkung (1.33) für die durchAgegebene BilinearformAe e

aufCn×1und Proposition (1.40).

(1.42) Definition. Es sein∈N. FürA∈Cn×nsym heißt IRgA

0

diekomplexe symmetrische Normalform vonA.

Den Trick aus Proposition (1.40) können wir über den reellen Zahlen nicht anwenden, da dort keine Wurzeln aus negativen Zahlen existieren. Immerhin können wir noch stets die Wurzel aus den Beträgen der nicht- verschwindenden Diagonaleinträgen ziehen, und so eine Basis erhalten, bzgl. derer die Gram-Matrix nur die Einträge1,−1 und0 enthält. Der folgende Satz besagt, dass die Anzahlen dieser Einträge unabhängig von der Basis sind.

(1.43) Satz (Sylvesterscher Trägheitssatz). Es gelte K=Rund es seiΦeine symmetrische Bilinearform auf V. Für alle OrthogonalbasenB = (B1, . . . , Bn)undC= (C1, . . . , Cn)vonV gilt

|{i∈ {1, . . . , n} |Φ(Bi, Bi)>0}|=|{i∈ {1, . . . , n} |Φ(Ci, Ci)>0}|,

|{i∈ {1, . . . , n} |Φ(Bi, Bi)<0}|=|{i∈ {1, . . . , n} |Φ(Ci, Ci)<0}|und

|{i∈ {1, . . . , n} |Φ(Bi, Bi) = 0}|=|{i∈ {1, . . . , n} |Φ(Ci, Ci) = 0}|.

(13)

Beweis. Es seienB= (B1, . . . , Bn)undC= (C1, . . . , Cn)Orthogonalbasen vonV bzgl.Φ. Wir setzen V+:=hBi|i∈ {1, . . . , n},Φ(Bi, Bi)>0iund

V:=hBi|i∈ {1, . . . , n},Φ(Bi, Bi)<0i sowie

V+0 :=hCi|i∈ {1, . . . , n},Φ(Ci, Ci)>0iund V0 :=hCi|i∈ {1, . . . , n},Φ(Ci, Ci)<0i.

Wegen

V=hBi|i∈ {1, . . . , n},Φ(Bi, Bi) = 0i=hCi|i∈ {1, . . . , n},Φ(Ci, Ci) = 0i.

erhalten wir also Zerlegungen

V =V+iViV=V+0iV0iV.

Wir wollen zeigen, dassDimV+ = DimV+0 undDimV= DimV0 ist. Für alleV ∈ V+0 ∩ V giltCi(V) = 0für alle i∈ {1, . . . , n} mitΦ(Ci, Ci)≤0undBi(V) = 0 für allei∈ {1, . . . , n}mit Φ(Bi, Bi)≥0. Gäbe es nun ein V ∈ V+0 ∩ V mit V 6= 0, so wäre also

Φ(V, V) =

n

X

i=1

Ci(V)2Φ(Ci, Ci)>0 und

Φ(V, V) =

n

X

i=1

Bi(V)2Φ(Bi, Bi)<0,

und wir hätten einen Widerspruch. Also istV+0 ∩ V={0}und wir erhalten DimV+0 + DimV= Dim(V+0 +V)≤DimV −DimV= DimV++ DimV,

alsoDimV+0 ≤DimV+. Analog erhalten wirDimV+≤DimV+0 . Insgesamt folgt DimV+ = DimV+0 und daher auch

DimV= DimV −DimV+−DimV= DimV −DimV+0 −DimV= DimV0 .

(1.44) Korollar (Sylvesterscher Trägheitssatz für Matrizen). Es sein∈NundA∈Rn×n eine symmetrische Matrix. Ferner seienC, D ∈Rn×n Diagonalmatrizen so, dass invertierbare Matrizen S, T ∈GLn(R)mit C = StrAS undD=TtrAT existieren. Dann gilt

|{i∈ {1, . . . , n} |Ci,i>0}|=|{i∈ {1, . . . , n} |Di,i>0}|,

|{i∈ {1, . . . , n} |Ci,i<0}|=|{i∈ {1, . . . , n} |Di,i<0}|und

|{i∈ {1, . . . , n} |Ci,i= 0}|=|{i∈ {1, . . . , n} |Di,i= 0}|.

Beweis. Folgt aus Bemerkung (1.33) für die durchAgegebene BilinearformAe e

aufKn×1und dem Sylvesterschen Trägheitssatz (1.43).

(1.45) Definition (Signatur).

(a) Es seiK =R, Φ eine symmetrische Bilinearform aufV und B eine Orthogonalbasis vonV. Dann heißt (n+, n, n0)definiert durchn+:=|{i∈ {1, . . . , n} |Φ(Bi, Bi)>0}|,n:=|{i∈ {1, . . . , n} |Φ(Bi, Bi)<

0}|undn0:=|{i∈ {1, . . . , n} |Φ(Bi, Bi) = 0}|dieSignatur vonΦ.

(b) Es sein∈NundA∈Rn×n eine symmetrische Matrix. Ferner seiD∈Rn×n eine Diagonalmatrix so, dass eine invertierbare MatrixT ∈GLn(R)mit D=TtrAT existiert. Dann heißt (n+, n, n0)definiert durch n+ :=|{i∈ {1, . . . , n} |Di,i >0}|,n :=|{i∈ {1, . . . , n} |Di,i <0}|undn0 :=|{i∈ {1, . . . , n} |Di,i= 0}|die Signatur von A.

(14)

(1.46) Proposition. Es gelteK=Rund es seiΦeine symmetrische Bilinearform aufV. Ferner sei(n+, n, n0) die Signatur vonΦ. Dann existiert eine BasisB= (B1, . . . , Bn)vonV mit

BΦB =

 In+

−In

0

.

Beweis. Nach Bemerkung (1.34) und Proposition (1.37) existiert eine BasisC= (C1, . . . , Cn)vonV mit

CΦC= D

0

,

wobeiD∈GLk(K)eine invertierbare Diagonalmatrix und k= DimV −DimV=n−n0=n++n

ist. O.B.d.A. seiC so gewählt, dassDi,i >0 füri∈ {1, . . . , n+} undDi,i<0 füri∈ {n++ 1, . . . , k}. Für die BasisB= (B1, . . . , Bn)von V definiert durch

Bi:=

(√1

|Di,i|Ci, füri∈ {1, . . . , k}, Ci, füri∈ {k+ 1, . . . , n}, gilt dann

BΦB =BIdC CΦC CIdB

= Diag( 1

p|D1,1|, . . . , 1

p|Dk,k|,1, . . . ,1) Diag(D1,1, . . . , Dk,k,0, . . . ,0) Diag( 1

|D1,1|, . . . , 1

|Dk,k|,1, . . . ,1)

= Diag( 1

p|D1,1|D1,1

1

p|D1,1|, . . . , 1

p|Dk,k|Dk,k

1

p|Dk,k|,0, . . . ,0) =

 In+

−In

0

.

(1.47) Korollar. Es sein∈NundA∈Rn×n eine symmetrische Matrix. Ferner sei(n+, n, n0)die Signatur vonA. Dann existiert eine invertierbare MatrixT ∈GLn(K)mit

TtrAT =

 In+

−In

0

.

Beweis. Folgt aus Bemerkung (1.33) für die durch A gegebene Bilinearform Ae e

auf Kn×1 und Proposition (1.46).

(1.48) Definition. Es sein∈N. FürA∈Rn×nsym mit Signatur(n+, n, n0)heißt

 In+

−In

0

diereelle symmetrische Normalform vonA.

Nun betrachten wir noch alternierende Bilinearformen. Wir werden feststellen, dass sich diese in gewisser Weise besser verhalten als symmetrische Bilinearformen, denn wir erhalten hier eine Normalform über jedem Körper.

(1.49) Proposition. Es seiΦeine alternierende Bilinearform aufV und es seiJ ∈K2×2 gegeben durch J :=

0 1

−1 0

.

(15)

Dann existiert eine BasisB= (B1, . . . , Bn)von V mit

BΦB =

 J

. .. J

0 . ..

0

 .

Beweis. Wir führen vollständige Induktion nachn:= DimV, wobei für n= 0nichts zu zeigen ist. Es sei also n ∈N beliebig gegeben und existiere eine Basis wie behauptet für jeden Untervektorraum U mit DimU < n bzgl. jeder alternierenden Bilinearform aufU. Es sei nunΦeine alternierende Bilinearform aufV. Wir können o.B.d.A. annehmen, dass Φnicht-ausgeartet ist (denn sonst istV =U ⊕iV für einU <V und wir sind fertig mit Proposition (1.37) und Induktion). WegenDimV=n >0istV 6={0}, d.h. es gibt einen VektorV ∈ V \ {0}.

DaΦnicht-ausgeartet ist, gibt es ferner einen Vektor W0 mit Φ(V, W0)6= 0. Wir setzen W := Φ(V,W1 0)W0 und erhalten

Φ(V, W) = Φ(V, 1

Φ(V, W0)W0) = 1

Φ(V, W0)Φ(V, W0) = 1.

Da Φ alternierend ist, folgtW 6=aV für alle a ∈ K. Also istB0 = (V, W) linear unabhängig wegen V 6= 0.

Ferner ist

B0(Φ|hV,Wi×hV,Wi)B0 =

0 1

−1 0

=J

invertierbar und damit Φ|hV,Wi×hV,Wi nicht-ausgeartet. Mit Korollar (1.23)(b) folgt V = hV, Wi ⊕i hV, Wi. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Basis(B3, . . . , Bn)vonhV, Wi bzgl.Φ|hV,Wi×hV,Wi mit

B00(Φ|hV,Wi×hV,Wi)B00 = Diag(J, . . . , J)∈K(n−2)×(n−2). Dann liefert aber auchB:= (V, W, B3, . . . , Bn)die Gram-Matrix

BΦB = Diag(J, . . . , J)∈Kn×n.

Mittels Induktionsprinzip folgt die Behauptung für allen∈N0.

Eine nicht-ausgeartete Bilinearform nennt man auch einesymplektische Bilinearform.

(1.50) Korollar. Es sein∈N,A∈Kn×n eine alternierende Matrix und es seiJ ∈K2×2 gegeben durch J :=

0 1

−1 0

.

Dann existiert eine invertierbare MatrixT ∈GLn(K)mit TtrAT =

A0 0 0 0

,

wobeiA0= Diag(J, . . . , J)∈KRgA×RgA. Insbesondere istRgAgerade.

Beweis. Folgt aus Bemerkung (1.33) für die durch A gegebene Bilinearform Ae e

auf Kn×1 und Proposition (1.49).

(1.51) Definition (alternierende Normalform). Es sein∈N. FürA∈Kaltn×n heißt A0 0

0 0

wobeiA0= Diag(J, . . . , J)∈KRgA×RgA diealternierende Normalform vonA.

Wir bemerken noch, dass die in diesem Abschnitt vorgestellten Normalformen von Matrizen mit Hilfe des modifizierten Gauß-Algorithmus mit simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen berechnet werden können.

(16)

§5 Quadratische Formen

In diesem Abschnitt wollen wir eine weitere Besonderheit von symmetrischen Bilinearformen herausstellen. Wir werden zeigen, dass sie bereits durch ihre zugeordnete quadratische Form festgelegt sind (sofern 2 6= 0 im Grundkörper gilt).

Es seiKein Körper mit 26= 0 undV einK-Vektorraum.

(1.52) Lemma (Polarisationsformel). Es sei Φeine symmetrische Bilinearform auf V und es sei qΦ: V →K gegeben durchqΦ(V) := Φ(V, V). Dann gilt

qΦ(aV) =a2qΦ(V) für alleV ∈ V,a∈K und

Φ(V, W) = 1

2(qΦ(V +W)−qΦ(V)−qΦ(W)) für alleV, W ∈ V.

Beweis. Es ist

qΦ(aV) = Φ(aV, aV) =a2Φ(V, V) =a2qΦ(V) für alleV ∈ V,a∈K, sowie

qΦ(V +W) = Φ(V +W, V +W) = Φ(V, V) + Φ(V, W) + Φ(W, V) + Φ(W, W)

= qΦ(V) + 2Φ(V, W) + qΦ(W) und damit

Φ(V, W) = 1

2(qΦ(V +W)−qΦ(V)−qΦ(W)) für alleV, W ∈ V.

(1.53) Definition (quadratische Form).

(a) Eine Abbildungq: V →Kheißt einequadratische FormaufV, fallsq(aV) =a2q(V)für alleV ∈ V,a∈K, und falls Ψq:V × V →K,(V, W)7→ 12(q(V +W)−q(V)−q(W))eine (notwendigerweise symmetrische) Bilinearform aufV ist. In diesem Fall nennen wirΨq diePolarisationvonq. Die Menge aller quadratischen Formen aufV notieren wir als Qu(V) :={q∈KV |qist quadratische Form}.

(b) IstΦeine symmetrische Bilinearform aufV, so nennen wirqΦ:V →K, V 7→Φ(V, V)die zuΦassoziierte quadratische Form.

(1.54) Beispiel. Es sei

A:=

2 1 1 −3

∈Q2×2.

Dann ist Ae

e

(x, y) =xtrAy= 2x1y1+x1y2+x2y1−3x2y2 fürx, y∈Q2×1 und die zur BilinearformAe

e

assoziierte quadratische Formq

Ae

e

:Q2×1→Qist gegeben durch qAe

e

(x) =Ae e

(x, x) = 2x21+ 2x1x2−3x22 fürx∈Q2×1.

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