Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik ¨

Prof. Dr. R. Egger WS 2016/17 Blatt 7

Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik ¨

Abgabe bis Freitag, 09.12.2016, 12:00 Uhr Ubungstermin: Montag, 12.12.2016¨

Aufgabe 16: Solenoid mit Wechselstromantrieb

6 Punkte Wir betrachten eine (unendlich lange) zylindrische Magnetspule mit RadiusR entlang derz-Achse, welche durch einen Wechselstrom der Frequenzωangetrieben werde. Das zeitabh¨angige Magnetfeld im Inneren der Spule (r < R) sei durchB(r, t) =B0cos(ωt)ˆezgegeben, und verschwinde im Aussenbereichr > R.

Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten (x=rcosφ, y=rsinφ) mit Einheitsvektoren{ˆer,eˆφ,eˆz}, wobei

∇ ×E= 1

r

∂Ez

∂φ −∂Eφ

∂z

ˆ e_r+

∂Er

∂z −∂Ez

∂r

ˆ e_φ+1

r

∂(rEφ)

∂r −∂Er

∂φ

ˆ e_z

a) Bestimmen Sie aus dem Induktionsgesetz das elektrische FeldE(r, t) sowohl innerhalb der Magnetspule als auch

im Aussenbereich. (4 Punkte)

b) Es sei eine kreisf¨ormige und koaxial gelegene Leiterschleife mit Radius R0 < R und elektrischem Widerstand R innerhalb der Magnetspule eingebracht. Bestimmen Sie den zeitabh¨angigen Strom I(t) = E(t)/R, der in der Leiterschleife induziert wird. Dabei bezeichnetE die elektromotorische Kraft (Ringspannung) in der Leiter-

schleife. (2 Punkte)

Aufgabe 17: Polarisation ebener elektromagnetischer Wellen

9 Punkte Wir betrachten die ¨Uberlagerung von zwei ebenen monochromatischen Wellen mit gleichem Wellenvektor,k=kˆe_z, wobei ω=ck. Die erste Welle sei inx-Richtung linear polarisiert mit Amplitudea1, die zweite sei in y-Richtung linear polarisiert mit Amplitude a2. Dabei liege eine Phasenverschiebung δ zur ersten Welle vor, d.h. f¨ur das elektrische Feld erh¨alt man

E(z, t) = Re

a1ˆex+a2e^iδˆey

e^i(kz−ωt)

(1) a) Zeigen Sie, dass Gleichung (1) mit geeignet gew¨ahlten Vektoren w₁ und w₂, deren Komponenten reellwertig

sind und die orthogonal zueinander sind,w₁·w₂= 0, geschrieben werden kann als

E(r, t) =w1cos(kz−ωt+α)−w2sin(kz−ωt+α) (2)

Bestimmen Sie die Vektorenw1,2 und den Winkelα. (5 Punkte)

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Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik, Blatt 7¨

b) Gleichung (2) zeigt, dass die oben definierte ¨Uberlagerung der beiden Wellen einer elliptisch polarisierten ebenen Welle entspricht (warum?). F¨ur welche Parameter (a1, a2, δ) ist die Welle linear polarisiert? Wann ist sie zirkular

polarisiert? (4 Punkte)

Aufgabe 18: Gauß’sches Wellenpaket

5 Punkte

Ein Wellenpaket besteht aus einer ¨Uberlagerung von ebenen monochromatischen Wellen. Wir betrachten ein in x-Richtung linear polarisiertes eindimensionales Wellenpaket,

E(x, t) = Re Z ∞

−∞

dω 2π

Z ∞

−∞

dk

2πe^i(kx−ωt)a(k, ω) dessen Amplitudenfunktiona(k, ω) gegeben sei durch

a(k, ω) =a0exp

−(k−k0)²

2(∆k)² −(ω−ω0)² 2(∆ω)²

mit reellen Konstantena0, k0, ω0,∆kund ∆ω, die als positiv angenommen seien.

Hinweis:

Z ∞

−∞

dxcos(ax)e^−b2x2 =

√π

|b|e^−(a/2b)2

a) Bestimmen Sie die Amplitude des Wellenpakets als Funktion des Ortesxund der Zeitt. (3 Punkte)

b) Bestimmen Sie die Beziehung zwischen ∆kund der r¨aumlichen Ausdehnung ∆xdes Wellenpaketes. Gibt es eine

¨ahnliche Relation zwischen ∆ω und der zeitlichen Ausdehnung ∆t? (2 Punkte)

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