¨Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik

Prof. Dr. R. Egger WS 2016/17 Blatt 9

Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik ¨

Abgabe bis Freitag, 13.01.2017, 12:00 Uhr Ubungstermin: Montag, 16.01.2017 ¨

Hinweis: Am 09.01.2017 finden keine ¨ Ubungsgruppen statt!

Wir w¨ unschen allen H¨ orern einen Guten Rutsch und ein erfolgreiches und gesundes Neues Jahr!

Aufgabe 21: Grundlagen 9 Punkte

Beantworten Sie die folgenden Verst¨ andnisfragen und erl¨ autern Sie ggf. die Gleichungen auch kurz in Worten.

a) Wie lauten die Maxwellgleichungen (ohne dielektrische Materialen) f¨ ur die Felder E und B bei gegebener La- dungsdichte ρ und Stromdichte J? Geben Sie auch die jeweilige integrale Form an. (3 Punkte)

b) Geben Sie die Maxwellgleichungen aus a) nun in relativistischer Schreibweise an. Welche Gleichung folgt f¨ ur das

Viererpotential A µ in Lorenz-Eichung? (3 Punkte)

c) Wie berechnet sich das magnetostatische Vektorpotential A(r) zur vorgegebenen station¨ aren Stromdichte J(r)?

Ist das Resultat eindeutig? (1 Punkt)

d) Ein elektromagnetisches Feld wirke auf ein bewegtes Punktteilchen der Ladung q. Zeigen Sie, daß das Magnet-

feld keine Arbeit an dem Teilchen leistet. (1 Punkt)

e) Mit welcher Potenz des Abstands r fallen das elektrische Feld einer ruhenden Punktladung bzw. das Strahlungs-

feld eines Hertz’schen Dipols f¨ ur r → ∞ ab? (1 Punkt)

Aufgabe 22: Feld eines Drahtes bei abrupter Strom¨ anderung 11 Punkte

Ein unendlicher gerader Draht entlang ˆ e z (Einheitsvektor in z-Richtung) trage den zeitabh¨ angigen Strom I(t). Wir nehmen an, dass zur Zeit t = 0 der Strom eingeschaltet wird, d.h. I = 0 f¨ ur t < 0 und I(t ≥ 0) = I 0 . Dabei sei I(t) nicht vom Ort z abh¨ angig, und die Ladungsdichte im Draht verschwinde bei t < 0, d.h. ρ(z, t < 0) = 0.

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Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik, Blatt 9 ¨

a) Zeigen Sie, dass mit den obigen Annahmen auch ρ(z, t) = 0 f¨ ur t ≥ 0 gilt! Man kann daher die Eichung ϕ = 0 f¨ ur das Skalarpotential w¨ ahlen. Wie berechnen sich dann ganz allgemein die elektromagnetischen Felder E und

B aus dem Vektorpotential A(r, t)? (3 Punkte)

b) Berechnen Sie nun das Vektorpotential an einem beliebigen Ort r f¨ ur t > 0 aus dem retardierten Potential

A(r, t) = 1 c

Z

d ³ r ⁰ J(r ⁰ , t − |r − r ⁰ |/c)

|r − r ⁰ |

Zeigen Sie durch Ausf¨ uhren der Integration, dass das Vektorpotential gegeben ist durch

A(r, t) =







0, t < R/c,

2I

c e ˆ z ln ct+ √

(ct)

−R

R

, t > R/c,

wobei R = p

x ² + y ² der radiale Abstand vom Draht ist.

Hinweis: Es gilt

Z a 0

√ dz

z ² + R ² = ln a + √ a ² + R ² R

!

(4 Punkte)

c) Bestimmen Sie damit das elektrische und das magnetische Feld am Ort r f¨ ur beliebige t > 0. Was ergibt sich daraus f¨ ur t → ∞?

Hinweis: F¨ ur ein Vektorfeld der Form V = V _z (r)ˆ e _z , wobei wir Zylinderkoordinaten (r, φ, z ) mit Einheitsvektoren ˆ

e _r , ˆ e _φ , e ˆ _z annehmen, gilt:

∇ × V = − dV _z dr ˆ e _φ .

(4 Punkte)

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