Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik ¨

Prof. Dr. R. Egger WS 2016/17 Blatt 8

Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik ¨

Abgabe bis Freitag, 16.12.2016, 12:00 Uhr Ubungstermin: Montag, 19.12.2016¨

Aufgabe 19: Maxwellgleichungen

8 Punkte

Betrachten Sie die Maxwellgleichungen in Gegenwart einer zeitabh¨angigen Ladungsverteilung ρ(r, t) und Strom- dichteverteilungJ(r, t), welche der Kontinuit¨atsgleichung,∂tρ+∇ ·J= 0, gen¨ugen.

a) Weisen Sie nach, dass die Kontinuit¨atsgleichung mit den Maxwellgleichungen konsistent ist. (2 Punkte)

b) Falls magnetische Monopolladungen entdeckt werden sollten, m¨ussten die Maxwellgleichungen auch eine ma- gnetische Ladungsdichte ρ_m(r, t) 6= 0 ber¨ucksichtigen. Wie lautet die Kontinuit¨atsgleichung f¨ur magnetische Ladungen? Wie m¨ussten die Maxwellgleichungen abge¨andert werden, um magnetische Monopole konsistent zu

beschreiben? (3 Punkte)

c) Zeigen Sie unter Verwendung der Maxwellgleichungen die differentielle Form des Poynting-Theorems,

∂

∂te(r, t) =−J·E− c

4π∇ ·(E×B)

wobei e(r, t) = _8π¹(E²+B²) die elektromagnetische Feld-Energiedichte ist. Bestimmen Sie nun die zeitliche Anderung der Feldenergie¨ Eem(t) =R

V dre(r, t) in einem festen VolumenV, und diskutieren Sie Ihr Ergebnis.

(3 Punkte)

Aufgabe 20: Fernfeld einer rotierenden Ladung

12 Punkte Eine PunktladungQbewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeitω auf einer Kreisbahn um den Koordina- tenursprung. Die Kreisbahn liege in derxyEbene und habe den RadiusR. Wir betrachten die elektromagnetischen Felder im FernfeldrλR, wobei λ= 2πc/ω.

Hinweis: Es bietet sich an, Kugelkoordinaten (r, θ, φ) zu verwenden, wobei θ der Winkel mit der z-Achse ist, mit den lokalen Einheitsvektoren ˆer,eˆθ,ˆeφ. Beachten Sie auch die trigonometrischen Relationen sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ und cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ.

1

Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik, Blatt 8¨

a) Zeigen Sie, dass die elektromagnetischen FelderE(r, t) undB(r, t) in Dipoln¨aherung durch B(r, t) = ω²QR

c²r (cosθcos(ωτ−φ)ˆe_φ−sin(ωτ−φ)ˆe_θ) E(r, t) = ω²QR

c²r (cosθcos(ωτ−φ)ˆeθ+ sin(ωτ−φ)ˆeφ)

gegeben sind, wobeiτ =t−r/c. Weisen Sie damit nach:|E(r, t)|=|B(r, t)|undE⊥B⊥ˆer. (6 Punkte)

b) Bestimmen Sie die zeitgemittelte abgestrahlte Leistung pro Raumwinkelelement, und diskutieren Sie die resul- tierende Strahlungscharakteristik und die Polarisation des Strahlungsfeldes.

(6 Punkte)

2